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2015届广东省海珠区等四区高三联考数学(理)


数学(理科)
1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

参考公式:锥体体积公式 V ?

项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ?( x, y ) x ? y ? 2?, B ? ?( x, y ) x ?

y ? 4?,那么集合 A B 为 A. {(- 1,3)} B. (3, - 1) C. {3, - 1} D. {(3, - 1)}

2.若复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? i ,则 z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.函数 y ? cos 2 x ? sin 2 x 的一条对称轴为 A. x =
p 4

B. x =

p 8

C. x = -

p 8

D. x = -

p 4

4.已知向量 a , b 的夹角为 120 , a ? 2 ,且 a ? b ? ?8 ,则 b ? A.6 5.函数 y = ln x 与 y = B.7 C.8 D.9

- x 2 + 1 在同一平面直角坐标系内的大致图象为
-

6.阅读如图所示的程序框图,输出的结果 S 的值为 A.0 B.
3 2

C. 3

D. ?

3 2

x2 x2 y 2 2 7.已知椭圆 ? y ? 1 与双曲线 2 ? 2 ? 1 9 a b
共焦点 F1 , F2 ,设它们在第一象限的交点为 P , 且 PF1 ? PF2 ? 0 ,则双曲线的渐近线方程为 A. y ? ? 7 x C. y ? ?
7 x 3

B. y ? ? D. y ? ?

7 x 7
3 7 x 7

8.若实数 a, b, c, d 满足 (b ? a 2 ? 3ln a) 2 ? (c ? d ? 2) 2 ? 0 ,则 (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 的最小值为
1

A.8

B. 2 2

C.2

D.

2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9 . 已 知 {an } 是 等 差 数 列 , a1 ? a2 ? 4 , a9 ? a10 ? 28 , 则 该 数 列 前 10 项 和
S10 ?



10.一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是边长为 2 的等边 三角形,俯视图如图所示,则这个几何体的体积为 11.不等式 x ? x ? 1 ? 3 的解集是 . 种(用 .

12.从 5 种不同的书中买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,则不同的送法有 数字作答). 13.给出下列四个命题: ①已知 ? 服从正态分布 N 0, ? 2 ,且 P?? 2 ? ? ? 2 ? ? 0.4 ,则 P?? ? 2 ? ? 0.2 ; ②“ x 2 - 4 x - 5 = 0 ”的一个必要不充分条件是“ x = 5 ”;
3 2 ③函数 f ( x) = x - 3x +1 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y = - 3 ;

?

?

④命题 p : ?x ? R, tan x ? 1 ;命题 q : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 .则命题“ 其中正确命题的序号是 .

p ? ? ?q ? ”是假命题.

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)

14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标中,圆 ? ? 4sin ? 与直 线 ? (sin ? ? cos ? ) ? 4 相交所得的弦长为 .

15.(几何证明选讲选做题)如图,⊙ O 是 ?ABC 的外接圆, AB ? AC ,延长 BC 到点 D ,使 得 CD ? AC , 连结 AD 交⊙ O 于点 E , 连结 BE , 若 ?D ? 350 ,则 ?ABE 的大小为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.错误! 未找到引用源。

2

16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边长分别是 a, b, c ,已知 A ? (1)求 cos C 的值; (2)若 a ? 10 , D 为 AB 的中点,求 CD 的长.

?
4

, cos B ?

4 . 5

17.(本小题满分 12 分) 甲、乙两种元件的质量按测试指标划分为:指标大于或等于 85 为正品,小于 85 为次品, 现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标 元件甲 元件乙

?75,80 ?
8 7

?80,85?
12 18

?85,90 ?
40 40

?90,95?
32 29

?95,100?
8 6

(1)试分别估计元件甲、元件乙为正品的概率; (2)生产一件元件甲,若是正品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元;生产一件元件乙, 若是正品可盈利 100 元,若是次品则亏损 20 元. 在(1)的前提下,记 X 为生产 1 件 元件甲和 1 件元件乙所得的总利润,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

3

18.(本小题满分 14 分) 如图所示,已知 PD 垂直以 AB 为直径的圆 O 所在平面,点 D 在线段 AB 上,点 C 为圆 O 上 一点,且 BD ? PD ? 3 , AC ? 2 AD ? 2 , (1)求证: PA ⊥CD ; (2)求二面角 C ? PB ? A 的余弦值.

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,满足 S n + (1)求 S1 , S 2 , S3 ; (2)求 S n ;
2 (3)设 bn = (2n + 1) an ,求证:对任意正整数 n ,有 b1 + b2 + L + bn < 1 .

1 + 2 = an (n Sn

N* ) .

4

20.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, A, B 两点的坐标分别为 (0,1) 、 (0, - 1) ,动点 P 满足直线 AP 与
1 直线 BP 的斜率之积为 ? ,直线 AP 、 BP 与直线 y ? ?2 分别交于点 M , N . 4

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)求线段 MN 的最小值; (3)以 MN 为直径的圆是否经过某定点?若经过定点,求出定点的坐标;若不经过定点, 请说明理由.

21.(本小题满分 14 分)
?1 ? ( x ? 0) 已知函数 f ( x) ? ? x , F ( x) ? f ( x) ? kx ( k ? R ). x ?e ( x ? 0) ?

(1)当 k ? 1 时,求函数 F ( x) 的值域;
5

(2)试讨论函数 F ( x) 的单调性.

海珠区 2014 学高三综合测试(二)

理科数学参考答案与评分标准
6

说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与参考答案不同, 可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的 分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的得分, 但所给分数不得超过该部分正确解答应得分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.错误!未找到引用 源。 16. 解:(1)

4 3 cos B ? , 且 B ? (0, ? ) ,∴ sin B ? 1 ? cos 2 B ? .………………1 分 5 5 3? ? B) 4
………………2 分

∴ cos C ? cos(? ? A ? B ) ? cos(

? cos

3? 3? cos B ? sin sin B 4 4

………………4 分

??
??

2 4 2 3 ? ? ? 2 5 2 5
2 . 10

………………5 分

………………6 分

(2)由(1)可得 sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ( ?

2 2 ? 7 2 . ………………7 分 ) 10 10
………………8 分

10 c ? a c 7 ? 由正弦定理得 ,即 2 , 2 sin A sin C 10 2

7

………………12 分

17 . 解 : ( 1 ) 在 分 别 抽 取 的 100 件 产 品 中 , 为 正 品 的 元 件 甲 有 80 件 , 为 正 品 的 元 件 乙 有 75 件. 所以元件甲、乙为正品的频率分别为 ………………1 分

80 4 75 3 ? , ? . 100 5 100 4
4 3 , . 5 4

………………3 分

根据频率可估计元件甲、乙为正品的概率分别为

………………4 分 ………………5 分

(2)随机变量 X 的所有取值为 150,90,30,-30, 则 P ( X ? 150) ?

4 3 3 1 3 3 ? ? , P( X ? 90) ? ? ? , 5 4 5 5 4 20
………………9 分

P( X ? 30) ?

4 1 1 1 1 1 ? ? , P( X ? ?30) ? ? ? . 5 4 5 5 4 20
X

所以 X 的分布列为: 150 90 30 -30

P

3 5

3 20

1 5

1 20
………………10 分

3 3 1 1 ? 30 ? ? 30 ? ? 108 .……………12 分 X 的数学期望为 EX ? 150 ? ? 90 ? 5 20 5 20
18.解:(1)由 BD ? 3 , AD ? 1 ,知 AB ? 4 , AO ? 2 ,点 D 为 AO 的中点.……1 分连接

OC .∵ AO ? AC ? OC ? 2 ,∴ ?AOC 为等边三角形.
又点 D 为 AO 的中点,∴ CD ? AO .……………3 分 ∵ PD ? 平面 ABC , CD ? 平面 ABC , ∴ PD ? CD . ……………4 分

……………2 分

又 PD ? AO ? D , PD ? 平面 PAB ,

AO ? 平面 PAB ,
∴ CD ? 平面 PAB . 又 PA ? 平面 PAB , ∴ PA ⊥ CD .
8

……………5 分

……………6 分

(2)解法 1:过点 D 作 DE ? PB ,垂足为 E ,连接 CE . 由(1)知, CD ? 平面 PAB ,又 PB ?平面 PAB ,∴ CD ⊥ PB .……………7 分 又 DE ? CD ? D ,∴ PB ⊥平面 CDE . 又 CE ?平面 CDE ,∴ CE ⊥ PB . ∴ ?DEC 为二面角 C ? PB ? A 的平面角. 因为 BD ? PD ? 3 , ∴ PB ? 3 2 ,则 DE ? 在 Rt ?CDE 中,由(1)可知 CD ? ∴ cos ?DEC ? ……………8 分 ……………9 分

PD ? BD 3 2 .……………12 分 ? PB 2

3 ,∴ tan ?DEC ?

CD 6 , ………13 分 ? DE 3
……………14 分

15 15 ,即二面角 C ? PB ? A 的余弦值为 . 5 5

解法 2: 由(1)可知, DC , DB, DP 三线两两垂直,以 O 原点,以 DC , DB, DP 分别为 x, y, z 轴建立 空间直角坐标系. 则 P ? 0, 0,3? , C ∴ BC ? ………7 分

?

3, 0, 0 , B ? 0,3, 0 ? , ………8 分

?

?

3, ?3, 0 , PB ? ? 0,3, ?3? , ………9 分

?

设平面 PBA 与平面 CPB 的法向量分别为 n1 , n2 , 显然平面 PBA 法向量为 n1 ? ?1, 0, 0 ? ,………10 分 由 BC ? n2 ? 0 , PB ? n2 ? 0 , ∴?

? ? 3 x2 ? 3 y2 ? 0 ,解得 ? ?3 y2 ? 3 z2 ? 0

? ? x2 ? 3 y2 ………11 分 ? ? ? y2 ? z 2
………12 分

∴ n2 ?

?

3,1,1

?
? 3 1? 5 ?

cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 n1 n2

15 ,………13 分 5
15 .………14 分 5

∴二面角 C ? PB ? A 的余弦值为

19.解:(1)当 n = 1 时, S1 + 当 n ? 2 时, S n + ∴ S2 = -

1 1 + 2 = S1 ,∴ S1 = - , S1 2

……………1 分

1 1 + 2 = S n - S n- 1 ,∴ S n = , Sn 2 + S n- 1

……………2 分

2 3 , S3 = - . 3 4

……………4 分

9

(2)由(1)猜想: S n = 下面用数学归纳法证明: 当 n = 1 , S1 = -

n . n+ 1

……………5 分

1 显然成立; 2

假设当 n = k 时命题成立,即 S k = -

k ,那么当 n = k + 1 时, k+1

Sk + 1 = -

1 1 k+1 ==k 2 + Sk k+ 2, 2k+1

即 n = k + 1 时命题也成立, 综上可知, S n = -

n . n+ 1
1 1 + 2= , Sn n (n + 1)
2

……………9 分

(3)由(2)知 an = S n +

……………10 分

(n + 1) - n 2 1 1 bn = (2n + 1) an = 2 = 2 = 2∴ 2 2 2 n n (n + 1) n (n + 1) (n + 1)
2

2n + 1

, ………11 分

b1 + b2 + L + bn = ∴

1 1 1 1 1 1 1 - 2+ 2- 2+L + 2= 12 2 , …13 分 2 1 2 2 3 n (n + 1) (n + 1)
……………14 分

b1 + b2 + L + bn < 1 . ∴
20. 解:(1)已知 A (0,1), B (0, - 1) ,设动点 P 的坐标 ? x, y ? , ∴直线 AP 的斜率 k1 ? 又 k1 ? k2 ? ? 即

y ?1 y ?1 ,直线 BP 的斜率 k2 ? ( x ? 0 ), ………2 分 x x
………………3 分

1 y ?1 y ?1 1 ? ?? , ,∴ 4 x x 4

x2 ? y2 ? 1 ? x ? 0? . 4

………………4 分

(2)设直线 AP 的方程为的 y ? 1 ? k1 ? x ? 0 ? ,直线 BP 的方程为的 y ? 1 ? k2 ? x ? 0 ? , ………………6 分

3 ? ? y ? 1 ? k1 x ? 3 ? ?x ? ? k1 , ∴ M ? ? , ?2 ? ; 由? ,得 ? ? k1 ? ? y ? ?2 ? y ? ?2 ? 1 ? ? y ? 1 ? k2 x ? 1 ? ?x ? ? k2 ,∴ N ? ? , ?2 ? , 由? ,得 ? ? k2 ? ? y ? ?2 ? y ? ?2 ?
10

………………7 分

………………8 分

由 k1 ? k2 ? ? 当且仅当

3 1 3 3 1 ? ? ? 4k1 ? 2 ? 4 k1 ? 4 3 ,………9 分 ,∴ MN ? k1 k2 k1 k1 4

3 ? 4 k1 ,即 k ? ? 3 时,等号成立, 1 k1 2

∴线段 MN 长的最小值 4 3 .

………………10 分

(3)设点 Q ? x, y ? 是以 MN 为直径的圆的任意一点,则 QM QN ? 0 ,即

? 3 ?? 1 ? ? x ? ? ? x ? ? ? ? y ? 2 ?? y ? 2 ? ? 0 , k1 ? ? k2 ? ?
又 k1 ? k2 ? ?

………………11 分

1 , 4

?3 ? 2 2 故以 MN 为直径的圆的方程为: x ? ? ? 4k1 ? x ? ? y ? 2 ? ? 12 ? 0 , ………………12 分 k ? 1 ?

令 x ? 0 ,得 ? y ? 2 ? ? 12 ,解得 y ? ?2 ? 2 3 ,
2

………………13 分

∴以 MN 为直径的圆经过定点 0, ?2 ? 2 3 或 0, ?2 ? 2 3 .

?

? ?

?

………………14 分

?1 ? ? x( x ? 0) 21.解:(1)当 k ? 1 时, F ( x) ? ? x , ?e x ? x( x ≤ 0) ?
当 x ? 0 时, F ( x) ?

………………1 分

1 ? x ≥ 2 ,当且仅当 x ? 1 时, F ( x) 取最小值 2. …………2 分 x
F ( x) 在 ?? ?,0 ? 上 单 调 递 增 , 所 以
………………3 分 ………………4 分

当 x ≤ 0 时 , F ( x) ? e x ? x , F ?( x) ? e x ? 1 ? 0 ,

F ( x) ≤ F (0) ? 1 .
所以当 k ? 1 时, F ( x) 的值域为 (??,1] [2, ??) .

1 ?1 ? ? ? kx( x ? 0) ?k ? 2 ( x ? 0) x (2)由 F ( x) ? ? x ,得 F ?( x) ? ? , x x ?e ? kx( x ≤ 0) ?e ? k ( x ≤ 0) ? ?

………………5 分

? 1 ?? 2 ( x ? 0) ①当 k ? 0 时, F ?( x) ? ? x , ?e x ( x ≤ 0) ?
当 x ? 0 时, F ?( x) ? 0 , F ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递减, 当 x ≤ 0 时, F ?( x) ? 0 , F ( x) 在区间 (??, 0] 上单调递增. ………………6 分 ………………7 分

1 ? ?k ? 2 ( x ? 0) x ②当 k ? 0 时, F ?( x) ? ? , ?e x ? k ( x ≤ 0) ?
当 x ≤ 0 时, F ?( x) ? e x ? k ? 0 , F ( x) 在区间 (??, 0] 上单调递增.………………8 分
11

当 x ? 0 时,令 F ?( x) ? k ?

1 k k ? 0 ,解得 x ? ? ,舍去负值,得 x ? , 2 x k k

当0 ? x ? 当x?

k k 时, F ?( x) ? 0 , F ( x) 在区间 (0, ) 上单调递减, ………………9 分 k k

k k 时, F ' ( x) ? 0 , F ( x) 在区间 ( , ??) 上单调递增. ………………10 分 k k

1 ? ?k ? 2 ( x ? 0) x ③当 k ? 0 时, F ?( x) ? ? , x ?e ? k ( x ≤ 0) ?
当 x ? 0 时, F ?( x) ? k ?

1 ? 0 , F ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递减.……………11 分 x2

当 x ? 0 时,令 F ?( x) ? e x ? k ? 0 ,得 x ? ln(? k ) , 下面讨论 x ? ln(? k ) 是否落在区间 (??, 0) 上, 令 ln(? k ) ? 0 ,解得 k ≤ ?1 ,令 ln(? k ) ? 0 ,解得 ?1 ? k ? 0 , 当 k ≤ ?1 时,当 x ? 0 时, F ?( x) ? 0 , F ( x) 在 ? ??, 0 ? 上单调递减.……………12 分 当 ?1 ? k ? 0 时,在 ? ??, 0 ? 上存在极值点 x ? ln(? k ) , 当 ln(? k ) ? x ? 0 时, F ?( x) ? 0 , F ( x) 在 (ln(? k ), 0] 上单调递增, 当 x ? ln(? k ) 时, F ?( x) ? 0 , F ( x) 在 (??, ln(? k )) 上单调递减.……………13 分 综上所述: 当 k ? 0 时, F ( x) 在 (??, 0] 和 (

k k , ??) 上单调递增,在 (0, ) 上单调递减; k k

当 k ? 0 时, F ( x) 在 (??, 0] 上单调递增,在 (0, ??) 上单调递减; 当 ?1 ? k ? 0 时, F ( x) 在 (ln(? k ), 0] 上单调递增,在 (??, ln(? k )) 和 (0, ??) 上 单调递减; 当 k ≤ ?1 时, F ( x) 在 ? ??, 0? 和 ? 0, ?? ? 上单调递减. ……………14 分

12


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