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2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准(A卷)


(A 卷)
说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只设 9 分和 0 分两档;其他 各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划 分档次评分,解答题中 5 分为一个档次,不要增加其他中间档次.

/>
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.函数 f ( x) ? A.0

5 ? 4x ? x2 在 (??, 2) 上的最小值是 2? x
B.1 C.2 D.3

( C )

[解] 当 x ? 2 时, 2 ? x ? 0 ,因此 f ( x) ?

1 ? (4 ? 4 x ? x 2 ) 1 1 ? ? (2 ? x) ? 2 ? ? (2 ? x) 2? x 2? x 2? x

1 当且仅当 而此方程有解 x ? 1? (??, 2) , 因此 f ( x) 在 (??, 2) ? 2, ? 2 ? x 时上式取等号. 2? x
上的最小值为 2. 2.设 A ? [?2,4) , B ? {x x 2 ? ax ? 4 ? 0} ,若 B ? A ,则实数 a 的取值范围为 A. [?1, 2) B. [?1, 2] C. [0,3] D. [0,3) ( D )

[解] 因 x 2 ? ax ? 4 ? 0 有两个实根

x1 ?

a a2 a a2 ? 4? , x2 ? ? 4 ? , 2 4 2 4

故 B ? A 等价于 x1 ? ?2 且 x2 ? 4 ,即

a a2 a a2 ? 4? ? ?2 且 ? 4 ? ?4, 2 4 2 4
解之得 0 ? a ? 3 . 3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对 方多 2 分或打满 6 局时停止. 设甲在每局中获胜的概率为

2 1 , 乙在每局中获胜的概率为 , 3 3
( B ) D.

且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 ? 的期望 E? 为

241 266 274 B. C. 81 81 81 [解法一] 依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6.
A. 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为

670 243

2 1 5 ( )2 ? ( )2 ? . 3 3 9
若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对 下轮比赛是否停止没有影响.从而有

5 P(? ? 2) ? , 9

4 5 20 , P(? ? 4) ? ( )( ) ? 9 9 81 4 16 P(? ? 6) ? ( ) 2 ? , 9 81
5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . 9 81 81 81
[解法二] 依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6. 令 Ak 表示甲在第 k 局比赛中获胜,则 Ak 表示乙在第 k 局比赛中获胜. 由独立性与互不相容性得

P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 ) ?

5 , 9

P(? ? 4) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 )

2 1 1 2 20 , ? 2[( )3 ( ) ? ( )3 ( )] ? 3 3 3 3 81
P(? ? 6) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 )

2 1 16 ? 4( ) 2 ( ) 2 ? , 3 3 81

5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . 9 81 81 81
4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为 564 cm2,则这三个正方体的 体积之和为 A. 764 cm3 或 586 cm3 C. 586 cm3 或 564 cm3 B. 764 cm3 D. 586 cm3 ( A )

[解] 设这三个正方体的棱长分别为 a, b, c ,则有 6 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 564 , a2 ? b2 ? c2 ? 94 ,不 妨设 1 ? a ? b ? c ? 10 ,从而 3c ? a ? b ? c ? 94 ,c ? 31 .故 6 ? c ?10 .c 只能取 9,8,
2 2 2 2 2

7,6. 若 c ? 9 ,则 a 2 ? b2 ? 94 ? 92 ? 13 ,易知 a ? 2 , b ? 3 ,得一组解 (a, b, c) ? (2,3,9) .

若 c ? 8 , a 2 ? b2 ? 94 ? 64 ? 30 ,b ? 5 . 2b2 ?3 ,b ? 4 , 则 但 从而 b ? 4 或 5. b ? 5 , 若 0 则 a ? 5 无解,若 b ? 4 ,则 a ? 14 无解.此时无解.
2 2

若 c ? 7 ,则 a2 ? b2 ? 94 ? 49 ? 45 ,有唯一解 a ? 3 , b ? 6 . 若 c ? 6 ,则 a 2 ? b2 ? 94 ? 36 ? 58 ,此时 2b ? a ? b ? 58 , b ? 29 .故 b ? 6 ,但
2 2 2 2

b ? c ? 6 ,故 b ? 6 ,此时 a 2 ? 58 ? 36 ? 22 无解.
?a ? 2, ?a ? 3, ? ? 综上,共有两组解 ?b ? 3, 或 ?b ? 6, ?c ? 7. ?c ? 9 ? ?
体积为 V1 ? 2 ? 3 ? 9 ? 764 cm3 或 V2 ? 3 ? 6 ? 7 ? 586 cm3.
3 3 3
3 3 3

? x ? y ? z ? 0, 5.方程组 ? xyz ? z ? 0, 的有理数解 ( x, y, z ) 的个数为 ? ? xy ? yz ? xz ? y ? 0 ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

( B )

? x ? y ? 0, ? x ? 0, ? x ? ?1, [解] 若 z ? 0 ,则 ? 解得 ? 或? y ? 0 ? y ? 1. ? xy ? y ? 0. ?
若 z ? 0 ,则由 xyz ? z ? 0 得 xy ? ?1 . 由 x ? y ? z ? 0 得 z ? ?x ? y . ① ② ③

将②代入 xy ? yz ? xz ? y ? 0 得 x 2 ? y 2 ? xy ? y ? 0 . 由①得 x ? ?

1 ,代入③化简得 ( y ? 1)( y 3 ? y ? 1) ? 0 . y

易知 y 3 ? y ? 1 ? 0 无有理数根,故 y ? 1 ,由①得 x ? ?1 ,由②得 z ? 0 ,与 z ? 0 矛盾,

? x ? 0, ? x ? ?1, 故该方程组共有两组有理数解 ? y ? 0, 或 ? y ? 1, ? ? ? z ? 0. ?z?0 ? ?
6.设 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a, b, c 成等比数列,则

sin A cot C ? cos A 的取值范围是 sin B cot C ? cos B
( C )

5 ?1 ) 2 5 ?1 5 ?1 5 ?1 C. ( D. ( , ) , ??) 2 2 2 [解] 设 a, b, c 的公比为 q ,则 b ? aq, c ? aq 2 ,而
A. (0, ??) B. (0,

sin A cot C ? cos A sin A cos C ? cos A sin C ? sin B cot C ? cos B sin B cos C ? cos B sin C
? sin( C ) A? ? sin( C ) B?

?s?i nB( ? ?s?i nA (

)B s i n b ? ? q. )A s i n a

因此,只需求 q 的取值范围.

因 a, b, c 成等比数列,最大边只能是 a 或 c ,因此 a, b, c 要构成三角形的三边,必需且 只需 a ? b ? c 且 b ? c ? a .即有不等式组

? a ? aq ? aq 2 , ? q 2 ? q ? 1 ? 0, ? ? 即? 2 ? 2 ? aq ? aq ? a ? q ? q ? 1 ? 0. ? ?

?1 ? 5 5 ?1 ?q? , ? ? 2 2 解得 ? ? q ? 5 ? 1 或q ? ? 5 ? 1 . ? ? 2 2
从而

5 ?1 5 ?1 5 ?1 5 ?1 ?q? ,因此所求的取值范围是 ( , ). 2 2 2 2

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.设 f ( x) ? ax ? b ,其中 a, b 为实数, f1 ( x) ? f ( x) , f n?1 ( x) ? f ( f n ( x)) , n ? 1, 2,3,? ,若

f 7 ( x) ? 128 x ? 381 ,则 a ? b ?

5

.

[解] 由题意知 f n ( x) ? a n x ? (a n ?1 ? a n ?2 ? ? ? a ? 1)b

? an x ?

an ?1 ?b , a ?1

由 f 7 ( x) ? 128 x ? 381 得 a 7 ? 128 ,

a7 ?1 ? b ? 381 ,因此 a ? 2 , b ? 3 , a ? b ? 5 . a ?1

1 8.设 f ( x) ? cos 2 x ? 2a(1 ? cos x) 的最小值为 ? ,则 a ? 2
[解] f ( x) ? 2cos 2 x ?1 ? 2a ? 2a cos x

?2 ? 3



a 1 ? 2(cos x ? )2 ? a 2 ? 2a ? 1, 2 2
(1) a ? 2 时, f ( x) 当 cos x ? 1 时取最小值 1 ? 4a ; (2) a ? ?2 时, f ( x) 当 cos x ? ?1 时取最小值 1; (3) ?2 ? a ? 2 时, f ( x) 当 cos x ?

a 1 时取最小值 ? a 2 ? 2a ? 1 . 2 2

1 又 a ? 2 或 a ? ?2 时, f ( x) 的最小值不能为 ? , 2

1 1 故 ? a 2 ? 2a ? 1 ? ? ,解得 a ? ?2 ? 3 , a ? ?2 ? 3 (舍去). 2 2
9.将 24 个志愿者名额分配给 3 个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配 方法共有 222 种.

[解法一] 用 4 条棍子间的空隙代表 3 个学校,而用 ? 表示名额.如

| ???? | ??? | ?? |
表示第一、二、三个学校分别有 4,18,2 个名额. 若把每个“ ? ”与每个“ | ”都视为一个位置,由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方法 相当于 24 ? 2 ? 26 个位置(两端不在内)被 2 个“|”占领的一种“占位法”. “每校至少有一个名额的分法”相当于在 24 个“ ? ”之间的 23 个空隙中选出 2 个空隙插入 “|”,故有 C2 ? 253 种. 23 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种. 综上知,满足条件的分配方法共有 253-31=222 种. [解法二] 设分配给 3 个学校的名额数分别为 x1 , x2 , x3 ,则每校至少有一个名额的分法数为不 定方程

x1 ? x2 ? x3 ? 24 .
的正整数解的个数,即方程 x1 ? x2 ? x3 ? 21 的非负整数解的个数,它等于 3 个不同元素中取 21 个元素的可重组合:
21 21 2 H3 ? C23 ? C23 ? 253 .

又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种. 综上知,满足条件的分配方法共有 253-31=222 种. 10.设数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: Sn ? an ? [解] an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? 即 2 a n ?1 ?

n ?1 , n ? 1, 2,? ,则通项 a n = 1n ? 1 . n(n ? 1) 2 n(n ? 1)

n n ?1 ? an ?1 ? ? an , (n ? 1)(n ? 2) n( n ? 1)

n?2?2 1 1 ? ? ? an (n ? 1)( n ? 2) n ? 1 n(n ? 1)

=

?2 1 , ? an ? (n ? 1)( n ? 2) n(n ? 1)
1 1 . ) ? an ? (n ? 1)( n ? 2) n(n ? 1)

由此得 2 (a n ?1 ? 令 bn ? an ?

1 1 1 , b1 ? a1 ? ? ( a1 ? 0 ), 2 2 n(n ? 1)

1 1 1 1 有 bn?1 ? bn ,故 bn ? n ,所以 a n ? n ? . 2 2 n(n ? 1) 2
11.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) ? 2008 ,且对任意 x ?R ,满足

f ( x? 2 )? f ( x ) 3x , f ( x ? 6) ? f ( x) ? 63 ? 2 x ,则 f (2008 ) = ? ? 2
[解法一] 由题设条件知

22008 ? 2007



f ( x ? 2) ? f ( x) ? ?( f ( x ? 4) ? f ( x ? 2)) ? ( f ( x ? 6) ? f ( x ? 4)) ? ( f ( x ? 6) ? f ( x)) ? ?3 ? 2x?2 ? 3 ? 2x?4 ? 63 ? 2x ? 3 ? 2x ,
因此有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2 x ,故

f (2008) ? f (2008) ? f (2006) ? f (2006) ? f (2004) ? ? ? f (2) ? f (0) ? f (0)
? 3 ? (22006 ? 22004 ? ? ? 22 ? 1) ? f (0)

? 3?

41003?1 ? 1 ? f (0) 4 ?1

? 22008 ? 2007 .
[解法二] 令 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,则

g ( x ? 2) ? g ( x) ? f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2 x ? 2 ? 2 x ? 3 ? 2 x ? 3 ? 2 x ? 0 , g ( x ? 6) ? g ( x) ? f ( x ? 6) ? f ( x) ? 2 x ?6 ? 2 x ? 63 ? 2 x ? 63 ? 2 x ? 0 ,
即 g ( x ? 2) ? g ( x), g ( x ? 6) ? g ( x) , 故 g ( x) ? g ( x ? 6) ? g ( x ? 4) ? g ( x ? 2) ? g ( x) , 得 g ( x) 是周期为 2 的周期函数, 所以 f (2008) ? g (2008) ? 22008 ? g (0) ? 22008 ? 22008 ? 2007 . 12.一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由运动, 则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是

72 3



[解] 如答 12 图 1, 考虑小球挤在一个角时的情况, 记小球半径为 r , 作平面 A1 B1C1 //平面 ABC , 与小球相切于点 D ,则小球球心 O 为正四面体 P ? A 1 B1C1 的中心,PO ? 面A1B1C1 ,垂足 D 为

A1 B1C1 的中心.

1 因 VP ? A B C ? S?A B C ? PD 1 1 1 3 111
? 4 ?VO ? A1B1C1

1 ? 4 ? ? S?A1B1C1 ? OD , 3
故 PD ? 4OD ? 4r ,从而 PO ? PD ? OD ? 4r ? r ? 3r . 记此时小球与面 PAB 的切点为 P1 ,连接 OP ,则 1

PP ? PO 2 ? OP 2 ? (3r ) 2 ? r 2 ? 2 2r . 1 1
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 PAB )相切 时的情况,易知小球在面 PAB 上最靠近边的切点的轨迹 仍为正三角形,记为 P EF ,如答 12 图 2.记正四面体 1 的棱长为 a ,过 P1 作 PM ? PA 于 M . 1 因 ?MPP ? 1 答 12 图 1

3 ? ,有 PM ? PP ? cos MPP ? 2 2r ? ? 6r , 故 小 三 角 形 的 边 长 1 1

6

2

P E? P A2 ? 1

PM ?

? 6. r a 2

小球与面 PAB 不能接触到的部分的面积为(如答 12 图 2 中阴影部分)

S?PAB ? S?P1EF ?

3 2 2 (a ? (a ? 2 6r ) 2 ) ? 3 2ar ? 6 3r . 4

又 r ? 1 , a ? 4 6 ,所以

S?PAB ? S?P1EF ? 24 3 ? 6 3 ? 18 3 .

答 12 图 2

由对称性,且正四面体共 4 个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 72 3 . 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13. 已知函数 f ( x) ?| sin x | 的图像与直线 y ? kx (k ? 0) 有且仅有三个交点, 交点的横坐标的 最大值为 ? ,求证:

cos ? 1? ? 2 . ? sin ? ? sin 3? 4?
[证]

f ( x) 的图象与直线 y ? kx

答 13 图

且在 (? , (k ? 0) 的三个交点如答 13 图所示, …5 分

3? 内相切, 其切点为 A(? , ? sin ? ) , ? (? , 3? ) . ) ? 2 2

3 由于 f ?( x) ? ? cos x , x ? (? , ? ) ,所以 ? cos ? ? ? sin ? ,即 ? ? tan ? . 2 ?
因此

…10 分

cos ? cos ? ? sin ? ? sin 3? 2sin 2? cos ?

?
? ?

1 4sin ? cos ?
cos 2 ? ? sin 2 ? 4sin ? cos ? 1 ? tan 2 ? 4 tan ?

…15 分

?
14.解不等式

1? ? 2 . 4?

…20 分

log 2 ( x12 ? 3x10 ? 5 x8 ? 3x6 ? 1) ? 1 ? log 2 ( x 4 ? 1) .
[解法一] 由 1 ? log 2 ( x 4 ? 1) ? log 2 (2 x 4 ? 2) ,且 log 2 y 在 (0, ??) 上为增函数,故原不等式等价 于

x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x6 ? 1 ? 2 x4 ? 2 .
即 分组分解

x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x6 ? 2 x4 ? 1 ? 0 . x12 ? x10 ? x8

…5 分

?2 x10 ? 2 x8 ? 2 x6
?4 x8 ? 4 x6 ? 4 x4

? x6 ? x 4 ? x 2 ? x4 ? x2 ? 1 ? 0 ,

( x8 ? 2 x6 ? 4 x 4 ? x 2 ? 1)( x 4 ? x 2 ? 1) ? 0 ,
所以

…10 分

x4 ? x2 ? 1 ? 0 ,

( x2 ?
所以 x 2 ?

?1 ? 5 2 ?1 ? 5 )( x ? ) ? 0. 2 2
?1 ? 5 . 2

…15 分

?1 ? 5 ?1 ? 5 ,即 x ? ? 或x? 2 2

故原不等式解集为 (??, ?

5 ?1 )?( 2

5 ?1 , ??) . 2

…20 分

[解法二] 由 1 ? log 2 ( x 4 ? 1) ? log 2 (2 x 4 ? 2) ,且 log 2 y 在 (0, ??) 上为增函数,故原不等式等价 于

x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x6 ? 1 ? 2 x4 ? 2 .


…5 分

2 1 ? 6 ? x6 ? 3x 4 ? 3x 2 ? 1 ? 2 x 2 ? 2 ? ( x 2 ? 1)3 ? 2( x 2 ? 1) , 2 x x

(

1 3 1 ) ? 2( 2 ) ? ( x 2 ? 1) 3 ? 2( x 2 ? 1) , 2 x x

…10 分

令 g (t ) ? t 3 ? 2t ,则不等式为

g(

1 ) ? g ( x 2 ? 1) , 2 x

显然 g (t ) ? t 3 ? 2t 在 R 上为增函数,由此上面不等式等价于

1 ? x 2 ? 1, x2
即 ( x 2 )2 ? x2 ? 1 ? 0 ,解得 x 2 ? 故原不等式解集为 (??, ?

…15 分 ( x2 ? ?

5 ?1 2

5 ?1 舍去), 2
…20 分

5 ?1 )?( 2

5 ?1 , ??) . 2

15.如题 15 图, P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的动点,点 B,C 在 y 轴上,圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 内切于

?PBC ,求 ?PBC 面积的最小值.
[解] 设 P( x0 , y0 ), B(0, b), C (0, c) ,不妨设 b ? c . 直线 PB 的方程: y ? b ?

y0 ? b x, x0

化简得 ( y0 ? b) x ? x0 y ? x0b ? 0 . 又圆心 (1, 0) 到 PB 的距离为 1,

y0 ? b ? x0b
2 ( y0 ? b) 2 ? x0

?1 ,

…5 分

2 2 故 ( y0 ? b)2 ? x0 ? ( y0 ? b)2 ? 2 x0b( y0 ? b) ? x0 b 2 ,

易知 x0 ? 2 ,上式化简得 ( x0 ? 2)b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 , 同理有 ( x0 ? 2)c 2 ? 2 y0c ? x0 ? 0 .

题 15 图 …10 分

所以 b ? c ?

? x0 ?2 y0 , ,则 bc ? x0 ? 2 x0 ? 2
2 2 4 x0 ? 4 y0 ? 8 x0 . ( x0 ? 2) 2

(b ? c) 2 ?

2 因 P( x0 , y0 ) 是抛物线上的点,有 y0 ? 2 x0 ,则
2 2 x0 4 x0 ,b ?c ? . 2 ( x0 ? 2) x0 ? 2

(b ? c) 2 ?

…15 分

x 所以 S?PBC ? 1 (b ? c) ? x0 ? 0 ? x0 ? ( x0 ? 2) ? 4 ? 4 2 x0 ? 2 x0 ? 2

?2

4 ? 4 ?. 8

当 ( x0 ? 2)2 ? 4 时,上式取等号,此时 x0 ? 4, y0 ? ?2 2 . 因此 S ?PBC 的最小值为 8. …20 分


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