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2015高考数学(广东专用,文科)大一轮复习配套课时训练:第五篇 数列 大题冲关集训(三) word版含答案


大题冲关集训(三) 1.(2012 年高考重庆卷)已知 {an}为等差数列,且 a1+a3=8,a2+a4=12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1,ak,Sk+2 成等比数列,求正整数 k 的值. 解:(1)设数列{an} 的公差为 d, 由题意知错误!未找到引用源。 解得 a1=2,d=2. 所以 an=a1+(n-1)d=

2+2(n-1)=2n. (2)由(1)可得 Sn=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =n(1+n), 因 a1,ak,Sk+2 成等比数列, 所以错误!未找到引用源。=a1Sk+2. 从而(2k)2=2(k+2)(k+3), 即 k2-5k-6=0. 解得 k=6 或 k=-1(舍去),因此 k=6. 2.(2013 年高考福建卷)已知等差数列{an}的公差 d=1,前 n 项和为 Sn. (1)若 1,a1,a3 成等比数列,求 a1; (2)若 S5>a1a9,求 a1 的取值范围. 解:(1)因为数列{an}的公差 d=1,且 1,a1,a3 成等比数列, 所以错误!未找到引用源。=1×(a1+2), 即错误!未找到引用源。-a1-2=0, 解得 a1=-1 或 a1=2. (2)因为数列{an}的公差 d=1,且 S5>a1a9, 所以 5a1+10>错误!未找到引用源。+8a1, 即错误!未找到引用源。+3a1-10<0, 解得-5<a1<2. 3.(2013 清远市调研)已知数列{an}的各项均为正数,且 a1=1,当 n≥2 时,都有 an=an-1+2n-1,记 Tn=错误!未找到引用源。+错误!未找到引 用源。+…+错误!未找到引用源。. (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:Tn<2. (1)解:当 n≥2 时,∵an=an-1+2n-1, ∴a2-a1=2×2-1, a3-a2=2×3-1,…,an-an-1=2×n-1, 各式相加得 an-a1=2(2+3+…+n)-(n-1), ∴an-a1=2×错误!未找到引用源。-(n-1), ∴an=n2. 又当 n=1 时,a1=1 满足上式,故 an=n2. (2)证明:Tn=1+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+…+错 误!未找到引用源。 <1+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+…+错误!未找到 引用源。 =1+1-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到 引用源。+…+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 =2-错误!未找到引用源。<2. 4.(2013 泰安二模)已知等差数列{an}的首项 a1=3,且公差 d≠0,其前 n 项和为 Sn,且 a1,a4,a13 分别是等比数列{bn}的 b2,b3,b4 项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)证明:错误!未找到引用源。≤错误!未找到引用源。+错误!未 找到引用源。+…+错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。. (1)解:设等比数列的公比为 q, ∵a1,a4,a13 分别是等比数列{bn}的 b2,b3,b4, ∴(a1+3d)2=a1(a1+12d). 又 a1=3, ∴d2-2d=0, ∴d=2 或 d=0(舍去). ∴an=3+2(n-1)=2n+1. 等比数列{bn}的公比为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =3,b1=错误!未找到引用源。=1.∴bn=3n-1. (2)证明:由(1)知 Sn=n2+2n, ∴错误!未找到引用源。=错误!

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