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高三文科复习不等式


高三文科《 选修 4-5:不等式选讲》复习
贵州省册亨县民族中数学组 梅瑰

考纲要求:
一、贵州省高考数学(新课标卷)考试大纲对选做题不等式选讲说明(选考内容与要求) 不等式选讲(选修 4-5) (1)理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: ①|a+b|<=|a|+|b|。 ②|a-b|≤|a-c|+| c-b|。 ③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: | ax+b |≤ c ;| ax+b |≥c;| x-a |+| x-b |≥c。 (2)了解下列柯西不等式的几 种不同形式,理解它们的几何意义 并会证明. ① 柯西不等式的向量形式:lα l·| β |≥|a·β |。 ② (a2+b2)(c2+d2)≥ (ac+bd) ③ 常称为平面三角不等式.) ( 此不等式通

(3)用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形: (4)会用向量递归方法讨论排序不等式。 (5)了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用故学归纳法证明一些简单问题。 (6)会用数学归纳法证明贝努利不等式。(1+x)n>1+nx (x>-1,x≠0,n 为大于 1 的正整 数),了解当 n 为大于 1 的实数时贝努利不等式也成立。 (7)会用上述不等式证明一些简单问题,能够利川平均值不等式、柯西不等式求一些特 定函数的极值。 (8)了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。

课时建议:3-4 课 复习建议:
2013 年、2014 年高考题(选做题题 24) 贵州省进入新课改来 2013 年首次开始设置选做题。 (一)高考试题 (2013 年新课标 I) 24. 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集;

? a 1? (2)设 a>-1,且当 x∈?- , ?时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. ? 2 2?
( 2013 年新课标Ⅱ卷) (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

设 a , b , c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明:

ab ? bc ? ca ?
(I)

1 3;

a2 b2 c2 ? ? ?1 a b (II) c .
( 2013 年全国新课标卷 B) 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 2 | . (Ⅰ) 当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (Ⅱ) f ( x) ?| x ? 4 | 的解集包含 [1,2] ,求 a 的取值范围. (2013 年辽宁卷) 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 (I)

f ? x ? ? x ? a , 其中a ? 1.

当a=2时,求不等式f ? x ? ? 4 ? x ? 4 的解集; 已知关于x的不等式? f ? 2x ? a ? ? 2 f ? x ?? ? 2的解集为?x |1 ? x ? 2?,

(II)

求a的值.
(2014 全国课标 I) (24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲

1 1 ? ? ab 若 a ? 0 , b ? 0 ,且 a b .
(I)求 a ? b 的最小值;
3 3

(II)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由. (2014 全国课标 II) (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

f ( x) ?| x ?
设函数

1 | ? | x ? a | (a ? 0) a .

(I)证明: f ( x) ? 2 ; (II)若 f (3) ? 5 ,求 a 的取值范围.

(2014 年辽宁卷) 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
2 ) ? 1 的解集为 M,g ( x) ? 4 的 设函数 f ( x) ? 2 | x ? 1| ? x ? 1 ,g ( x) ? 16 x ? 8x ? 1 , 记 f (x

解集为 N. (1)求 M; (2)当 x ? M

N 时,证明:

x 2 f ( x) ? x[ f ( x)]2 ?

1 4

(二)从高考试题来看: 1、试卷总体结构: 2013 年、 2014 年在考查 《 选修 4-5: 不等式选讲》 两部分知识都是安排在试卷 (Ⅱ) 解答题最后部分;理科、文科高考选做题题都一样在第 23、24 两题中任选一题作答; 分值 10 分,每题有两个小问。 2、试卷知识点考法 24 题是《选修 4-5:不等式选讲》内容。从 2013 年、2014 年试题看第 1 小问主要 是考查绝对值不等式的解法; 第 2 小问主要是在第 1 问的基础上解不等式; 可有时是考查不 等式的性质应用,利用基本不等式和均值不等式的转化。 3、高考选选做题 在做高考题时: 首先, 大致看考题的考点, 根据自己对知识点的把握度选尽可能得分多的题; 其次,根据选做题题的要求(请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意: 只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题 卡上将所选题号后的 方框涂黑。 )选择填涂。 高考选做题题的分值是 10 分,难度系数不大,属于中低档题。 《选修 4-5:不等式选讲》的解题方法 不等式知识点 在人教版高中数学教科书必修系列中,直接涉及“不等式”内容的部分为必修 5 第三章 《不等式》 。另外,在实际教学过程中,在学到必修 5《不等式》之前的某些章节(如集合、 函数的值域等) ,无论文理科班,基于教学内容的关联性和完整性,老师们基本上都要对选 修 4-5 中的部分基础性内容进行选讲。所以“不等式”的内容主要来自必修 5 第三章《不等 式》以及选修系列 4-5《不等式选讲》 。 1、 不等式的考查内容主要可分为:不等式的求解、证明和应用三部分。 不等式分别以一元二次不等式的求解、均值不等式相关的证明、不等式在应用题以及线 性规划中的应用为主。 不等式是中学数学的主干内容之一, 它不仅是中学数学的基础知识,而且在中学数学 中起着广泛的工具性作用, 对学生们步入大学之后的数学学习也具有基础性的铺垫作用。 在 历年的高考中,不等式虽很少单独命题(理科附加卷除外) ,但无论从它所涉及到的知识点 或是题量来看, 有关不等式的试题分布范围极广 (甚至有些题目很难界定其中对不等式的考 查所占到的比重,所以我们也很难准确给出高考中不等式所占分值) ,试题不仅考查了不等 式的基础知识、基本技能、基本思想方法,还考查了运算能力、逻辑思维能力以及分析问题 和解决问题的应用能力等数学素养。 2、高考中不等式试题的考点主要有: (1)不等式的性质,常与指数函数、对数函数、三角函数等结合起来,考查不等式的性质、 函数的单调性、最值等;

(2)解不等式,往往与公式、根式和参数的讨论联系在一起,考查学生的等价转化能力和 分类讨论能力; 3、不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础,对于这些性质,关键是正确理解和熟练 运用,要弄清每一个条件和结论,学会对不等式进行条件的放宽和加强。 (1)两个实数的大小:

a ?b ? 0 ? a ? b ;a ?b ? 0 ? a ? b ;a ?b ? 0 ? a ? b
(2)不等式的基本性质: ①不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式.不等号的方向不变。如果 a ? b , 那么 a ? c ? b ? c 。 ②不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。

a b ? a ? b , c ? 0 ac ? bc c c) 如果 ,那么 (或 。
③不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。

a b ? 如果 a ? b , c ? 0 ,那么 ac ? bc (或 c c )
④由上面三条可以衍生出如下的性质:

a ? b ? b ? a (对称性) a ? b, b ? c ? a ? c (传递性)
a ? b ? a ? c ? b ? c (加法单调性) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式相加)
a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (异向不等式相减) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (同向不等式相乘)

a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (乘法单调性)
a ? b ? 0 ? a n ? b n (n ? Z , 且n ? 1) (平方法则)a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? Z , 且n ? 1)(开方法则)

4、解一元二次不等式(组) (1)一般的一元二次不等式的解法: 一元二次不等式的解集可以联系二次函数 上方部分对应的横坐标 值的集合为不等式 对应的横坐标 值的集合为不等式 设一元二次方程 相应的不等式的解集的各种情况如下表: 的解集。 的两根为 且 , ,则 的图象,图象在 轴 的解集,图象在 轴下方部分

(a>0)的图象

有两相异 实根

有两相等 无实根 实根

{x | x ? x1或x ? x2 }

注:表中不等式的二次系数均为正,如果不等式的二次项系数为负,可先利用不等式的性质 转化为二次项系数为正的形式,然后讨论解决; (2)规律方法指导: ①解一元二次不等式首先要看二次项系数 a 是否为正; ②若为负,则将其变为正数; ③若相应方程有实数根,求根时注意灵活运用因式分解和配方法; ④写不等式的解集时首先应判断两根的大小,若不能判断两根的大小应分类讨论; ⑤根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根, 我们可以利用韦达定理, 找到不等式的解 集与其系数之间的关系; ⑥若所给不等式最高项系数含有字母,还需要讨论最高项的系数。 5、解分式不等式 形如 f(x)/g(x)>0 或 f(x)/g(x)<0(其中 f(x)、g(x)为整式且 g(x)不为0)的不等式称 为分式不等式。 (通俗的说就是分母中含未知数的不等式称之为分式不等式。 ) (1)归纳分式不等式的解法: (不知道分母正负的时候)

f ( x) 化分式不等式为标准型:方法:移项,通分,右边化为 0,左边化为 g ( x ) 的形式
将分式不等式进行形如以下四类的等价变形:

f ( x) ?0? f ( x) g ( x) ? 0 g ( x ) ① f ( x) ?0? f ( x) g ( x) ? 0 g ( x ) ② f ( x) ?0? g ( x ) ③

? f ( x) g ( x) ? 0 ? ? g ( x) ? 0

f ( x) ?0? ④ g ( x)

? f ( x) g ( x) ? 0 ? ? g ( x) ? 0

6、解高次不等式(可分解的) (1)解高次不等式的步骤: ①因式分解 ②未知数系数化正 ③穿根(从右上角开始,奇穿偶回) 2、穿根法使用步骤: ①将不等式化为 “+” ; ②求方程

( x ? x1 )(x ? x2 )(x ? x3 )?( x ? xn ) ? 0(? 0) 形式,并将各因式 x 的系数化

( x ? x1 )(x ? x2 )(x ? x3 )?( x ? xn ) ? 0 各根,并在数轴上表示出来(从小根到大

根按从左至右方向表示) 。 ③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点 ④若不等式 (x 的系数化 “+” 后) 是 “>0”,则找 “线” 在 x 轴上方的区间; 若不等式是 “<0”, 则找“线”在 x 轴下方的区间. + x1 x2 x3 + xn-1 xn +

说明:注意不等式若带“=”号,点画为实心,解集边界处应有等号; 7、解无理不等式 根号下含有未知数的不等式。 无理不等式的类型(高考对这方面的要求不太高)
(1) ( 2) (3) ( 4) f ( x) ? g ( x) f ( x) ? g ( x) f ( x) ? g ( x) f ( x) ? g ( x) ? 0

根式不等式的解法解法:解无理不等式的主要思路是去根号。但去根号的时候要注意下 根号里的数和根号外的数的正负。 8、解绝对值不等式的常用方法 解含有绝对值的不等式的关键是想法把它转化为不含绝对值的不等式, 常见的解法有以下 几种: (1)利用绝对值的定义 例:解不等式

1 ? 2x ? 1 ? 5

.

?2 x ? 1 ? 0 ?2 x ? 1 ? 0 ? ? 1 ? 2 x ? 1 ? 5 1 ? ?(2 x ? 1) ? 5 ? 解:原不等式于: (Ⅰ) 或(Ⅱ) ?
由(Ⅰ)得: 1 ? x ? 3 或(Ⅱ)得 ? 2 ? x ? 0

∴原不等式的解集为:

? x ?2 ? x ? 0或1 ? x ? 3? .

2 ? ? x ? 3x ? 1 ? 0 ① ? 2 ? ? x ? 3x ? 2 ? 0 ②

(2)利用绝对值的性质 例:解不等式

x 2 ? 3x ? 1 ? 3

? x 2 ? 3x ? 4 ? 3 ? x 2 ? 3x ? 1 ? ?3 即: 解:原不等式等价于 ?
由①得 ? 1 ? x ? 4 由②得 x ? 2或x ? 1

∴原不等式的解集为: (3)利用平方法 例:解不等式

? x ?1 ? x ? 1或2 ? x ? 4? .

2 2 2

3x ? 2 ? 2x ? 3

解:将原不等式两边平方为: 9 x ? 12x ? 4 ? 4 x ? 12x ? 9即x ? 1 ∴原不等式的解集为:

? x x ? 1或x ? ?1? 。
.

(4)利用分段讨论法(即零点分段法) 例:解不等式

x?2 ? x ?4

解:当 x ? ?2 时,不等式化为: ? ( x ? 2) ? x ? 4 ∴ x ? ?3 当 ? 2 ? x ? 0 时,不等式化为: x ? 2 ? x ? 4 当 x ? 0 时, x ? 2 ? x ? 4 综上所述,不等式的解集为: ∴x ?1 ∴ x ??

? x x ? ?3, 或x ? 1? .

注:利用此法解题时要注意 x 的系数为正。 (5)利用绝对值的几何意义 例:解不等式 解:不等式 程

x ?3 ? x ? 2 ? 5

.

x ?3 ? x ? 2 ? 5

表示数轴距 A(3) 、B(-2)两点的距离之和大于 5 的点,方

x ?3 ? x ? 2 ? 5

表示在数轴上距 A、B 两点的距离之和等于 5 的点。

∴原不等式的解集为:

?x x ? ?2, 或x ? 3?.
x ? 2 ? x ?1 ? a
有解,求 a 的取值范围。

(6)利用不等式组法(即等价转化法) 例:已知关于 x 的不等式

?y ? 3 ? y ? x ? 2 ? ?x ? 1? y?a 解:令 则 y ? 3 , 可将原不等式变为不等式组 ?
等式有解,如图,易得 a ? 3 。 (7)利用数形结合法 例 解不等式 解 : 画出

,因原不

x ? 1 ? 2x ? 3


y1 ? x ? 1

y2 ? 2x ? 3

的图像,如图所示,求出他们

x?
的交点的横坐标分别是

2 3 和 x ? 4 因为 x ? 1 ? 2x ? 3 ,所以原

不等式的解是 y1 ? y 2 的交点的横坐标,由图像知:原不等式的解是

x?

2 3 或x ? 4.

0 ? k ? 1 ,即 k 的取值范围是 [0,1] 。
注:运用数形结合的方法求解绝对值不等式问题,既直观形象,又简单易行。 (8)利用利用定比分点法

x 2 ? 1 ? 2ax ?a ? 0? 例 解不等式 。
? 解:在数轴上取 p1 ? ?2 x, p ? x ? 1, p2 ? 2ax ,其中 x ? R ,使 P 为 p1 , p2

2

??
的内分点即可,这就顺利地去掉了绝对值符号, 由

p1 p pp2 ? 0

?x
?x

2

即: 等价于整式不等式:
2

2ax ? ? x ? 1?
2

? 1? ? ? ?2ax ?

?0

x 2 ? 2ax ? 1 ?0 2 即:解不等式: x ? 2ax ? 1 .

? 2ax ? 1?? x 2 ? 2ax ? 1? ? 0.

? x ? a ? 1 ? a2


?

?? x ? a ?

1 ? a2

?? x ? a ?

1 ? a2

?? x ? a ?

1 ? a 2 ? 0.

?

x?0

??a ? 1? a2 ? x ? a ? 1? a2 .

?x | ?a ? 故不等式的解集为:
(9)利用绝对值不等式

1 ? a2 ? x ? a ? 1 ? a2 .

?

主要指绝对值的三角不等式 | a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b | 例: 解不等式: | 2 x ? log2 x |? 2 x? | log2 x | 。 解析:首先应有 x ? 0 ,所以原不等式等价于 | 2 x ? log2 x |?| 2 x | ? | log2 x | ,由于在不等 式 | a ? b |?| a | ? | b | 中, " ?" 成立的条件是 ab ? 0 ,所以原不等式等价于 2 x ? log2 x ? 0 , 而 x ? 0 ,所以 log2 x ? 0 ,因此得 x ? 1 ,故原不等式的解集为 ?x | x ? 1? 。 评注:要特别注意不等式 | a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b | 中各部分等号及不等号成立的条件, 利用这些条件可以解决一些绝对值不等式或方程问题。 9、不等式的证明 (1)比较法证明不等式

loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) a ? 0 例: 若 0 ? x ? 1 ,证明 ( 且 a ? 1) .
分析: 用作差法来证明.需分为 a ? 1 和 0 ? a ? 1 两种情况,去掉绝对值符号,然后比较 法证明。 解法 1 : (1)当 a ? 1 时,因为 0 ? 1 ? x ? 1,1 ? x ? 1 , 所以

loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? ? loga (1 ? x 2 ) ? 0 .

(2)当 0 ? a ? 1 时,因为 0 ? 1 ? x ? 1,1 ? x ? 1 , 所以

loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x 2 ) ? 0 . loga (1 ? x) ? loga (1 ? x)


综合(1) (2)知

分析 2 : 直接作差,然后用对数的性质来去绝对值符号. 解法 2: 作差比较法.

因为

loga (1 ? x) ? loga (1 ? x)

?

1 lg(1 ? x) lg(1 ? x) ?lg(1 ? x) ? lg(1 ? x) ? ? ? lg a lg a lg a

?

1 ?? lg(1 ? x) ? lg(1 ? x)? ? ? 1 lg(1 ? x 2 ) ? 0 lg a lg a



所以

loga (1 ? x) ? loga (1 ? x)



说明:解法一用分类相当于增设了已知条件,便于在变形中脱去绝对值符号;解法二用对数 性质(换底公式)也能达到同样的目的,且不必分而治之,其解法自然简捷、明快。 例 2 : 设 a ? b ? 0 ,求证: a b ? a b .
a b b a

分析:发现作差后变形、判断符号较为困难.考虑到两边都是正数,可以作商,判断比值与 1 的大小关系,从而证明不等式。

a abb a a a ? 1, a ? b ? 0. ( ) a ?b ? 1 ? a a ?b ? b b ? a ? ( ) a ? b b a b 证明: a b ,∵ a ? b ? 0 ,∴ b ∴ b . ∴
a abb a b b a ? 1 . 又∵ a bb a ? 0 ,∴ a abb ? a bb a . .
说明:本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤 是:判断符号、作商、变形、判断与 1 的大小. (2)综合法证明不等式

a 4 ? b4 a?b 4 ?( ) 2 2 例 1: 对于任意实数 a 、 b ,求证 (当且仅当 a ? b 时取等号)
a?b 4 ) 分析: 这个题若使用比较法来证明,将会很麻烦,因为,所要证明的不等式中有 2 , (
展开后很复杂。若使用综合法,从重要不等式: a ? b ? 2ab 出发,再恰当地利用不等式
2 2

的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。 证明:∵ a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取等号)
2 2
2 2

两边同加 (a ? b ) : 2(a ? b ) ? (a ? b ) ,
4 4 4 4 2 2 2

a 4 ? b4 a 2 ? b2 2 ?( ) 2 2 即:
又:∵

(1)

a 2 ? b2 ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取等号)
2 2 2 2 2

两边同加 (a ? b ) : 2(a ? b ) ? (a ? b)

a 2 ? b2 a?b 2 ?( ) 2 2 ∴ a 2 ? b2 2 a?b 4 ( ) ?( ) 2 2 ∴

(2)

a 4 ? b4 a?b 4 ?( ) 2 2 由(1)和(2)可得 (当且仅当 a ? b 时取等号) .
说明:此题参考用综合法证明不等式.综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明,要 注意均值不等式的变形应用,一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解。

a?b c?b a?c ? lg ? lg ? lg a ? lg b ? lg c 2 2 2 例 2 若 a、b、c 是不全相等的正数,求证: lg

【分析】根据本题的条件和要证明的结论,既可用分析法由可用综合法。

a?b c?b a?c ? ab ? 0 ? cb ? 0 ? ac ? 0 ? ? ? a , b , c ? R 2 证法一: (综合法) : , , 2 , 2

a?b c?b a?c ? ? ? abc 2 2 又∵a、b、c 是不全相等的正数,∴有 2 。 lg(


a?b c?b a?c a?b c?b a?c ? ? ) ? lg abc lg ? lg ? lg ? lg a ? lg b ? lg c 2 2 2 2 2 2 即 lg a?b c?b a?c ? lg ? lg ? lg a ? lg b ? lg c 2 2 2

证法二: (分析法)要证

lg(
即证

a?b c?b a?c a?b c?b a?c ? ? ) ? lg abc ? ? ? abc 2 2 2 2 2 2 成立。只需证 成立。
c?b ? cb ? 0 2 a?c ? ac ? 0 2



a?b ? ab ? 0 2









a?b c?b a?c ? ? ? abc ? 0 2 2 2

(*)

又∵a、b、c 是不全相等的正数,∴(*)式等号不成立。 ∴原不等式成立。 (3)分析法证明不等式

1 1 1 ? ? 例 1: 已知 a ? b ? c ,求证: a ? b b ? c c ? a >0.
分析: 此题直接入手不容易, 考虑用分析法来证明, 由于分析法的过程可以用综合法来书写, 所以此题用两种方法来书写证明过程. 证明一:(分析法书写过程)

1 1 1 ? ? 为了证明 a ? b b ? c c ? a >0

1 1 1 ? 只需要证明 a ? b b ? c > a ? c
∵a ? b ? c ∴ a ? c ? a ? b ? 0, b ? c ? 0

1 1 1 ? , ∴ a ? b a ? c b ? c >0

1 1 1 ? ∴ a ? b b ? c > a ? c 成立
1 1 1 ? ? ∴ a ? b b ? c c ? a >0 成立
证明二:(综合法书写过程) ∵ a ? b ? c ∴ a ? c ? a ? b ? 0, b ? c ? 0

1 1 ∴a?b>a?c

1 b ? c >0

1 1 1 ? ∴ a ? b b ? c > a ? c 成立
1 1 1 ? ? ∴ a ? b b ? c c ? a >0 成立
说明:学会分析法入手,综合法书写证明过程,但有时这两种方法经常混在一起应用,混合 应用时,应用语言叙述清楚. 例 2、 若 a ? 0, b ? 0 ,且 2c ? a ? b ,求证: c ? c ? ab ? a ? c ? c ? ab.
2 2

分析 这个不等式从形式上不易看出其规律性,与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么 直接的联系,所以可以采用分析的方法来寻找证明途径.但用“分析”法证不等式,要有严 格的格式,即每一步推出的都是上一步的充分条件,直到推出的条件是明显成立的(已知条 件或某些定理等) . 证明:为要证 c ? c ? ab ? a ? c ? c ? ab.
2 2

只需证 ? c ? ab ? a ? c ? c ? ab ,
2 2

即证

a ? c ? c 2 ? ab
2 2



也就是 (a ? c) ? c ? ab , 即证 a ? 2ac ? ?ab ,
2

即证 2ac ? a(a ? b) , ∵ a ? 0, 2c ? a ? b, b ? 0 ,

c?


a?b ? ab 2 2 2 ,故 c ? ab 即有 c ? ab ? 0 ,

又 由 2c ? a ? b 可得 2ac ? a(a ? b) 成立,

∴ 所求不等式 c ? c ? ab ? a ? c ? c ? ab 成立.
2 2

说明:此题考查了用分析法证明不等式.在题目中分析法和综合法是综合运用的,要注意在 书写时,分析法的书写过程应该是: “欲证??需证??” ,综合法的书写过程是: “因为 (∵)??所以(∴)??” ,即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混. 例 3 设 x 、 y 为正数,求证

x2 ? y 2 ? 3 x3 ? y3



分析:用综合法证明比较困难,可试用分析法. 证明:要证

x 2 ? y 2 ? 3 x 3 ? y 3 ,只需证 ( x 2 ? y 2 ) 3 ? ( x 3 ? y 3 ) 2 ,

6 4 2 2 4 6 6 3 3 6 即证 x ? 3x y ? 3x y ? y ? x ? 2x y ? y , 2 2 2 2 4 2 2 4 3 3 化简得 3x y ? 3x y ? 2x y , x y (3x ? 2xy ? 3 y ) ? 0 .
2 2 ∵ ? ? 4 y ? 4 ? 3 ? 3y ? 0 , 2 2 ∴ 3x ? 2xy ? 3 y ? 0 .

2 2 2 2 ∴ x y (3x ? 2xy ? 3 y ) ? 0 .

∴原不等式成立.

x 2 ? y 2 ? 2xy , 3 x 3 ? y 3 ? 2 x 2 y 2 ,然后 说明:1、本题证明易出现以下错误证法:
分(1) x ? y ? 1 ;(2) x ? y ? 1 ;(3) x ? 1 且 0 ? y ? 1 ;(4) y ? 1 且 0 ? x ? 1 来讨论,结果无效。 2、用分析法证明数学问题,要求相邻两步的关系是 A ? B ,前一步是后一步的必要条件, 后一步是前一步的充分条件,当然相互为充要条件也可以。 (4)反正法证明不等式 例 1 若 a ? b ? 2 ,求证 a ? b ? 2 .
3 3

3

3

3

分析:本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法. 证法一:假设 a ? b ? 2 ,则 a ? b ? (a ? b)(a ? ab ? b ) ? 2(a ? ab ? b ) ,
3 3 2 2 2 2
2 2 3 3 而 a ? b ? 2 ,故 (a ? ab ? b ) ? 1 .

∴ 1 ? ab ? a ? b ? 2ab .从而 ab ? 1 ,
2 2

∴ a ? b ? 1 ? ab ? 2 .
2 2

2 2 2 ∴ (a ? b) ? a ? b ? 2ab ? 2 ? 2ab ? 4 .

∴a ?b? 2.

这与假设矛盾,故 a ? b ? 2 . 证法二:假设 a ? b ? 2 ,则 a ? 2 ? b ,
3 3 3 3 2 2 故 2 ? a ? b ? (2 ? b) ? b , 即 2 ? 8 ? 12b ? 6b , 即 (b ? 1) ? 0 , 这不可能。 从而 a ? b ? 2 . 3 3 3 证法三:假设 a ? b ? 2 ,则 (a ? b) ? a ? b ? 3ab(a ? b) ? 8
3 3 由 a ? b ? 2 ,得 3ab(a ? b) ? 6 ,故 ab(a ? b) ? 2

3 3 2 2 又 a ? b ? (a ? b)(a ? ab ? b ) ? 2 2 2 ∴ ab(a ? b) ? (a ? b)(a ? ab ? b )
2 2 2 ∴ a ? ab ? b ? ab ,即 (a ? b) ? 0

这不可能,故 a ? b ? 2 . 说明:本题三种方法均采用反证法,有的推至与已知矛盾,有的推至与已知事实矛盾。 一般说来,结论中出现“至少” “至多” “唯一”等字句,或结论以否定语句出现,或结论肯 定“过头”时,都可以考虑用反证法。

1 | f ( 1 ) |, | f ( 2 ) |, | f ( 3 ) | 例 2 已知 f ( x) ? x ? px ? q ,求证: 中至少有一个不小于 2 。
2

1 【分析】由于题目的结论是:三个函数值中“至少有一个不小于 2 ” ,情况较复杂,会出现
多个异向不等式组成的不等式组,一一证明十分繁冗,而结论的反面构成三个同向不等式, 结构简单,故采用反证法为宜。

1 【证明】 (反证法)假设 | f (1) |, | f (2) |, | f (3) | 都小于 2 ,则

| f (1) | ?2 | f (2) | ? | f (3) |? 2 ,
而 | f (1) | ?2 | f (2) | ? | f (3) |?| f (1) ? f (3) ? 2 f (2) |

?| (1 ? p ? q) ? (9 ? 3 p ? q) ? (8 ? 4 p ? 2q) |? 2 ,相互矛盾
1 ∴ | f (1) |, | f (2) |, | f (3) | 中至少有一个不小于 2 。
注:用反证法证明命题时,推导出的矛盾可能多种多样。有的与已知矛盾,有的与假设 矛盾,有的与事实相违背等等,推导出的矛盾必须是明显的。 (5)三角换元法证明不等式

1 ? x 2 ? xy ? y 2 ? 3 例 1 已知 1 ? x ? y ? 2 ,求证 2 .
2 2

分析:联想三角函数知识,进行三角换元,然后利用三角函数的值域进行证明. 证明:从条件看,可用三角代换,但需要引入半径参数 r .
2 2 0 ? ? ? 2? ∵ 1 ? x ? y ? 2 ,∴可设 x ? r cos ? , y ? r sin ? ,其中 1 ? r ? 2 ,

1 x 2 ? xy ? y 2 ? r 2 ? r 2 sin ? cos ? ? r 2 (1 ? sin 2?) 2 ∴ 1 2 1 3 1 1 3 r ? r 2 (1 ? sin 2?) ? r 2 ? 1 ? sin 2? ? 2 2 ,故 2 2 2 由2
1 2 1 3 2 1 ? x 2 ? xy ? y 2 ? 3 r ? r ?3 2,2 而2 ,故 2
x2 y2 ? 2 ?1 2 2 2 2 2 2 2 b 说明: 1、 三角代换是最常见的变量代换, 当条件为 x ? y ? r 或 x ? y ? r 或 a
时,均可用三角代换.2、用换元法一定要注意新元的范围,否则所证不等式的变量和取值 的变化会影响其结果的正确性。 (6)放缩法证明不等式

1 1 1 1 ? ? ??? ?1 2n 例 1 设 n 是正整数,求证 2 n ? 1 n ? 2 .
1 1 1 ? ??? 2n 的范围, 分析: 要求一个 n 项分式 n ? 1 n ? 2 它的和又求不出来, 可以采用 “化
整为零”的方法,观察每一项的范围,再求整体的范围。

? ? 证明:由 2n ? n ? k ? n (k ? 1,2, ?, n) ,得 2n n ? k n . 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 当 k ? 1 时, 2n n ? 1 n ;当 k ? 2 时, 2n n ? 2 n ,?? 1 1 1 ? ? k ? n 当 时, 2n n ? n n .

1

1

1

1 n 1 1 1 n ? ? ? ? ?? ? ?1 2n n ∴ 2 2n n ? 1 n ? 2 .
说明:1、用放缩法证明不等式,放缩要适应,否则会走入困境.典型例题如证明

1 1 1 7 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? ? ? 2 2 4 .由 k k ? 1 k ,如果从第 3 项开始放缩,正好可证明;如果从 1 2 n

第 2 项放缩,可得小于 2.当放缩方式不同,结果也在变化。 放缩法一般包括:用缩小分母,扩大分子,分式值增大;缩小分子,扩大分母,分式值缩小; 全量不少于部分;每一次缩小其和变小,但需大于所求,第一次扩大其和变大,但需小于所 求,即不能放缩不够或放缩过头,同时放缩后便于求和。

1?
例 2、 证明不等式:

1 2

?

1 3

??? 1

1 n ?

?2 n 2

, ?n ? N ?

解 因为对于任意自然数 k ,都有

k

k ? k ?1

? 2 k ? k ?1

?

?
,所以,

1?

1 2

?

1 3

???

1 n

? 2 1 ? 0 ? 2 2 ? 1 ? 2 3 ? 2 ? ? ? 2 n ? n ?1 ?2 n

?

? ?

? ?

?

?

?

从而不等式得证. 注: 放缩法是一种证明的技巧, 要想用好它, 必须有目标, 目标可以从要证的结论中考察. 如 本题中注意到所要求证的式子左右两端的差异,以及希望把左式化简的目标。

1 (1 ? b)c, (1 ? c)a 三数不都大于 4 . 例 3 已知 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 , 0 ? c ? 1 ,求证: (1 ? a)b,
分析:此命题的形式为否定式,宜采用反证法证明.假设命题不成立,则

(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a 三数都大于 4 ,从这个结论出发,进一步去导出矛盾。
1 ( 1 ? a ) b , ( 1 ? b ) c , ( 1 ? c ) a 证明:假设 三数都大于 4 ,

1



(1 ? a)b ?

1 1 1 (1 ? b)c ? (1 ? c)a ? 4, 4, 4.

又∵ 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 , 0 ? c ? 1 ,



(1 ? a)b ?

1 1 1 (1 ? b)c ? (1 ? c)a ? 2, 2, 2.



(1 ? a)b ? (1 ? b)c ? (1 ? c)a ?

3 2



又∵

(1 ? a)b ?

1? a ? b 1? b ? c 1? c ? a (1 ? b)c ? (1 ? c)a ? 2 2 2 , , .

以上三式相加,即得:

(1 ? a) ? b ? (1 ? b) ? c ? (1 ? c) ? a ?

3 2



显然①与②相矛盾,假设不成立,故命题获证。 说明:一般情况下,如果命题中有“至多” 、 “至少” 、 “都”等字样,通常情况下要用反证法, 反证法的关键在于“归谬” ,同时,在反证法的证明过程中,也贯穿了分析法和综合法的解 题思想。

1?
例 4 求证

1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 2 2 2 3 n .

分析:此题的难度在于,所求证不等式的左端有多项和且难以合并,右边只有一项.注意到

1 2 这是一个严格不等式,为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律,这只需从 n 下手
考查即可。

证明:∵

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? (n ? 2) n 2 n n n(n ? 1) n ? 1 n



1?


1? 1 ? 1 1 1 1 ?1 1 ? ? 1 1 ? ? ? ? 2? ? 2 ? 2 ? ?? 2 ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 n 2 3 n ? n ?1 n ? ?1 2 ? ? 2 3? .

说明:此题证明过程并不复杂,但思路难寻.本题所采用的方法也是解不等式时常用的一种 方法,即放缩法.这类题目灵活多样,需要巧妙变形,问题才能化隐为显,这里变形的这一 步极为关键。 (7)基本不等式法证明不等式
8 8 8 2 3 3 2 3 3 2 3 3 例 1 如果 x , y , z ? R ,求证: x ? y ? z ? x y z ? y z x ? z x y .

分析:注意到不等式左边各字母在项中的分布处于分离状态,而右边却结合在一起,因而要 寻 求 一 个 熟 知 的 不 等 式 具 有 这 种 转 换 功 能 ( 保 持 两 边 项 数 相 同 ), 由
2 2 2 (a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a)2 ? 0 , 易得 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca , 此式的外形特征符合要求,

因此,我们用如下的结合法证明。
8 8 8 4 2 4 2 4 2 证明:∵ x ? y ? z ? ( x ) ? ( y ) ? ( z ) ? x y ? y x ? z x
4 4 4 4 4 4

? ( x2 y 2 )2 ? ( y 2 z 2 )2 ? ( z 2 x2 )2 ? x 2 y 2 ? y 2 z 2 ? y 2 z 2 ? z 2 x 2 ? z 2 x 2 ? x 2 y 2 ? ( xy 2 z) 2 ? ( yz 2 x)2 ? ( zx2 y) 2 ? xy 2 z ? yz 2 x ? yz 2 x ? zx2 y ? zx2 y ? xy 2 z ? x 2 y 3 z 3 ? y 2 z 3 x3 ? z 2 x3 y 3 .
8 8 8 2 3 3 2 3 3 2 3 3 ∴x ?y ?z ?x y z ?y z x ?z x y .
2 2 说明: 分析时也可以认为是连续应用基本不等式 a ? b ? 2ab 而得到的. 左右两边都是三项,

2 2 2 实质上是 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca 公式的连续使用。

1 1 1 x8 ? y8 ? z 8 ? x3 y 3 z 3 ( ? ? ) ? x y z , 如果原题限定 x , y , z ? R ,则不等式可作如下变形:

y5 x5 z5 1 1 1 ? ? ? ? ? 3 3 3 3 3 3 x y z. x z x y 进一步可得到: y z
显然其证明过程仍然可套用原题的思路,但比原题要难,因为发现思路还要有一个转化 的过程。 例 2 已知 x 是不等于 1 的正数, n 是正整数,求证 (1 ? x )(1 ? x) ? 2
n n n?1

? xn .

分析:从求证的不等式看,左边是两项式的积,且各项均为正,右边有 2 的因子,因此可考 虑使用均值不等式。 证明:∵ x 是不等于 1 的正数, ∴1 ? x ? 2 x ? 0 ,
n n n ∴ (1 ? x) ? 2 x .
n n 又1 ? x ? 2 x ? 0 .

① ②

将式①,②两边分别相乘得

(1 ? x n )(1 ? x) n ? 2 x n ? 2 n ? x n ,
n n n?1 n ∴ (1 ? x )(1 ? x) ? 2 ? x .

说明:本题看起来很复杂,但根据题中特点,选择综合法求证非常顺利.由特点选方法是 解题的关键,这里因为 x ? 1 ,所以等号不成立,又因为①,②两个不等式两边均为正,所 以可利用不等式的同向乘性证得结果.这也是今后解题中要注意的问题。
? x? y? z? 3 例 3 已知, x , y , z ? R ,且 x ? y ? z ? 1 ,求证 .

分析:从本题结构和特点看,使用比较法和综合法都难以奏效.为找出使不等式成立的充分 条件不妨先用分析法一试,待思路清晰后,再决定证题方法。 证明:要证 只需证

x ? y ? z ? 3 ,只需证 x ? y ? z ? 2( xy ? xz ? yz ) ? 3 ,


xy ? xz ? yz ? 1
?

∵ x , y , z ? R ,∴ ∴ ∴

x ? y ? 2 xy

y ? z ? 2 yz , x ? z ? 2 xz , ,
,∴

2( x ? y ? z) ? 2( xy ? xz ? yz )
x? y? z? 3


xy ? xz ? yz ? 1

成立.

说明: 此题若一味地用分析法去做, 难以得到结果。 在题中得到只需证

xy ? xz ? yz ? 1

后,思路已较清晰,这时改用综合法,是一种好的做法.通过此典型例题可以看出,用分析 法寻求不等式的证明途径时,有时还要与比较法、综合法等结合运用,决不可把某种方法看 成是孤立的。

1 1 1 ? ? ? 9. 例 4、已知 a 、 b 、 c ? R , a ? b ? c ? 1 ,求证 a b c
?

1 1 1 ? ? 分析: 显然这个题用比较法是不易证出的。若把 a b c 通分,则会把不等式变得较复杂
而不易得到证明.由于右边是一个常数,故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形

b a ? 式,比如 a b ,再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径,这也常称为“凑倒数”
的技巧。 证明:∵ a ? b ? c ? 1

1 1 1 ? ? ∴ a b c

?

a ?b?c a ?b?c a ?b?c ? ? a b c b c a c a b ? (1 ? ? ) ? ( ? 1 ? ) ? ( ? ? 1) a a b b c c b a c a c b ? 3? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) a b a c b c

b a b a c a c b ? ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 a b ∵a b ,同理: a c ,b c 。
1 1 1 ? ? ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 9. ∴ a b c
说明:此题考查了变形应用综合法证明不等式.题目中用到了“凑倒数” ,这种技巧在很多 不等式证明中都可应用,但有时要首先对代数式进行适当变形,以期达到可以“凑倒数”的 目的。 (8)化归法证明不等式
4 4 4 例 1 在 ?ABC 中, 角 A 、B 、C 的对边分别为 a ,b ,c , 若 A ? C ? 2B , 求证 a ? c ? 2b .

分析:因为涉及到三角形的边角关系,故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化。

? 1 B ? ,cos B ? 3 2. 证明:∵ A ? C ? ? ? B ? 2 B ,∴
2 2 2 2 2 由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? c ? ac

2 2 2 ∴ a ? c ? b ? ac ,

4 4 2 2 2 2 2 ∴ a ? c ? (a ? c ) ? 2a c 2 2 2 2 = (a ? c ? 2ac)(a ? c ? 2ac)

? [b 2 ? ( 2 ? 1)ac] ? [b 2 ? ( 2 ? 1)ac]
? b 4 ? 2ac ? b 2 ? a 2 c 2

? ?(ac ? b) 2 ? 2b 4 ? 2b 4
说明:三角形中最常使用的两个定理就是正弦和余弦定理,另外还有面积公式

S?

1 ab sin C 2 .本题应用知识较为丰富,变形较多。这种综合、变形能力需要读者在平时

解题时体会和总结,证明不等式的能力和直觉需要长期培养。 (9)判别式法法证明不等式

7 [1, ] 例 1: 已知 x ? y ? z ? 5 , x ? y ? z ? 9 求证: x, y , z 都属于 3 。
2 2 2 2 2 2 【证明】由已知得: z ? 5 ? x ? y ,代入 x ? y ? z ? 9 中得:

x 2 ? ( y ? 5) x ? y 2 ? 5 y ? 8 ? 0
∵ x ? R ,∴△≥0,即 ( y ? 5) ? 4( y ? 5 y ? 8) ? 0
2 2

1? y ?
解得

7 7 7 7 [1, ] [1, ] [1, ] 3 。同理可证 x∈ 3 ,z∈ 3 。 3 ,即 y∈
2 2 2

1 ?c?0 变式:设 a ? b ? c ? 1, a ? b ? c ? 1 ,且 a ? b ? c ,求证: 3 ?
2 2 2 因为 a ? b ? 1 ? c, 所以a ? b ? 2ab ? 1 ? c ? 2c ,而 a ? b ? 1 ? c

2

2

2

2 所以 ab ? c ? c ,所以 a,b 为方程 x ? (1 ? c) x ? c ? c ? 0 (1)的二实根

2

2

而 a ? b ? c ,故方程(1)有均大于 c 的二不等实根。 记 f ( x) ? x ? (1 ? c) x ? c ? c ,则
2 2

?? ? 0, ?1 ? c ? ? c, ? ? 2 ? ? f (c ) ? 0

1 ?c?0 解得 3 。 ?

在比较法、综合法无效时,如果能利用主元素法把原式整理成关于某函数的二次式,可 考虑用判别式,要注意根的范围和题目本身的条件限制。
2 2 例 2 证明不等式 a ? b ? ab ? a ? b ? 1

证法:令 f (a) ? a ? b ? (ab ? a ? b ? 1)
2 2

? a 2 ? (b ? 1)a ? b 2 ? b ? 1
关于 a 的二次三项式

? ? (b ? 1) 2 ? 4(b 2 ? b ? 1) ? ?3b 2 ? 6b ? 3 ? ?3(b ? 1) 2 ? 0
∴f(a)≥0
2 ? ∴ a ? b ? ab ? a ? b ? 1

(10)构造函数法证明不等式 例 1 设 0<x<1,0<y<1,0<z<1,证明 x(1 ? y) ? y(1 ? z ) ? z (1 ? x) ? 1 。 分析 构造一次函数解答本题。 证明 构造函数 f ( x) ? x(1 ? y) ? y(1 ? z ) ? z (1 ? x) 整理,得 f(x)=(1-y-z)+(y+z-yz)

(0<x<1) (1)当 0<1―y―z<1 时,f(x)在(0,1)上是增函数,于是 f(x)<f(1)=1―yz<1; (2)当―1<1―y―z<0 时,f(x)在(0,1)上是减函数,于是 f(x)<f(0)=y+z―yz=1―(1―y)(1―z)<1; (3)1―y―z=0 时,即 y+z=1 时, f(x)=y+z―yz=1―yz<1, 综上,原不等式成立。 注: 由于―1<1―y―z<1,所以本题就“0<1―y―z<1,―1<1―y―z<0,1―y―z=0”三种 情况进行了讨论,所用数学思想是分类讨论的思想。 (11)等量代换法证明不等式

1 1 4 ? ? 例 1 已知 a>b>c,求证: a ? b b ? c a ? c
分析 考虑到 a―c= (a―b) + (b―c) , 由此可以令 x=a-b>0, y=b-c>0, 使问题转化为 “若

1 1 4 ? ? x、y>0,证明 x y x ? y ” 。 1 1 4 ? ? 证明 令 x=a―b>0,y=b―c>0,a―c=x+y,下面只要证明 x y x ? y 即可。

∵x,y>0,

1 1 y x ( ? )(x ? y ) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 4 x y ∴ x y ,
x y ? y x ,即 x=y,2b=a+c 取等号) (当且仅当
1 1 4 ? ? ∴ x y x? y,
1 1 4 ? ? 即 a?b b?c a?c 。
(12)数学归纳法证明不等式

1?
例 1 证明不等式:

1 2

?

1 3

???

1 n

?2 n

, ?n ? N ?

讲解:此题为与自然数有关的命题,故可考虑用数学归纳法证明. 解 1 ① n ? 1 时,不等式的左端=1,右端=2,显然 1<2, 所以, n ? 1 时命题成立. ②假设 n ? k ?k ? N ? 时命题成立,即: 则当 n ? k ? 1 时,

1?

1 2

?

1 3

???

1 k

?2 k


? 1?
不等式的左端

1 2

?

1 3

???

1 k

?

1 k ?1

?2 k ?

1 k ?1

不等式的右端 ? 2 k ? 1 .

? 1 ? 1 ?? ? ?2 k ? ? 2 k ?1 ? k ? k ?1 ? = k ?1 由于 2 k ? 1 ?
? 2 k ?1 ? k ? 1 k ?1

?

?

?
1

2 k ?1 ? k ?1

?

1 k ?1

?0


2 k?
所以,

k ? 1 ? 2 k ? 1 ,即 n ? k ? 1 时命题也成立。

由①②可知:原不等式得证。


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