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人教A版数学选修2-1《2.2.1 椭圆及其标准方程》课件 (共18张PPT)


2007年10月24日18时05分,嫦娥一号卫星在西昌卫星发射中 心顺利发射,2010年10月1日下午18时59分57秒,中国探月二期工 程先导星“嫦娥二号”在西昌点火升空,准确入轨,赴月球拍摄月 球表面影象、获取极区表面数据,为嫦娥三号在月球软着陆做准备。 标志着我国航天事业又上了一个新台阶。

荔中 高二数学——张锐君

生 活 中

的 椭 圆

如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢?

一、合作探究,形成概念:
请同学们用事先准备好的学习用具小组内共同完成一下 任务,并思考相应问题。 1.取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一 点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点) 画出的轨迹是一个什么图形?笔尖(动点)满足什么几何条 件? 2.如果把细绳的两端拉 开一段距离,分别固定在图 板的两点处,套上铅笔,拉 紧绳子,移动笔尖,画出的 又是什么图形?这一过程中, 笔尖(动点)满足什么几何 条件?

数学实验
? (1)取一条细绳, ? (2)把它的两端固定在板 上的两个定点F1、F2 ? (3)用铅笔尖(M)把细 绳拉紧,在板上慢慢移 动看看画出的 图形

思 1.在椭圆形成的过程中,细绳的两端的位置是固定的还是运动 考 的?
2.在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?说明了什么? 3.在画椭圆的过程中,绳子长度与两定点距离大小有怎样的关 系?

请同学们根据上面作图过程,总结椭圆的定义。小组内交 流,代表回答。

椭圆的定义:
我们把平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数 (大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的 焦点,两焦点的距离叫做焦距。 思考:当点M到F1、F2的距离之和不大于|F1F2|时,点M的 轨迹是什么?

结论:若常数大于|F1F2|,则点M的轨迹是( 椭圆



若常数等于|F1F2|,则点M的轨迹是( 线段F1F2) 若常数小于|F1F2|,则点M的轨迹( 不存在 )
几何画板演示

椭圆的方程的推导
独立思考轨迹方程的一般步骤,并按其方法及提示独立 逐步求椭圆的一般方程。 y 以经过椭圆焦点 F1,F2 的直 建 线为 x 轴,线段F1F2的中垂线为y 轴,建立直角坐标系xoy。

o

x



设 M(x,y)是椭圆上任一点,

设椭圆的焦距为 2c,点M与两焦点 的距离之和为常数 2a。 故椭圆的两焦点坐标分别为 F1(-c,0) 和 F2(c,0)

现(限)
由椭圆的定义得

| MF1 | ? | MF2 |? 2a (a > c)




( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? 2a
2 2 2 2

移项,得

( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a ? ( x ? c ) 2 ? y 2
平方化简,得

a 2 ? cx ? a ( x ? c ) 2 ? y 2
再平方化简,得
2 2 2 2 2 2 2 2 a ? c x ? a y ? a a ? c ? ? ? ?

2 2 2 两边同时除以 a a ? c ,得

?

?

x y ? 2 2 ?1 2 a a ?c

2

2

y
b

观察左图, 和同桌讨论你们能从中找 出表示c 、 a 的线段吗?

a c

o

x

a2-c2 有什么几何意义?

令 | OP |? a ? c ? b
2 2

则方程可化为

x y ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 a b

2

2

设|F1F2|=2c(c>0),M(x,y)为椭圆上任意一点, y 则有F1(0,-c),F2(0,c),
又由椭圆 的定义可得:
F2 M

|MF1|+ |MF2|=2a
由两点间的距离公式,可知:
焦点在 Y轴

o
2 2

x

( y ? c ) ? x ? ( y ? c ) ? x ? 2a y2 x2 y 2 x2 2 2 2 ? ? 1 ? ? ? 1 b ? a ? c ? ? 2 2 2 2 2 a a ?c a b
2 2

F1

焦点在 X轴

(x ? c)2 ? y 2 ? (x ? c)2 ? y 2 ? 2a
x2 y2 x2 y2 2 2 2 ? ? 1 ? ? ? 1 b ? a ? c ? ? 2 2 2 2 2 a a ?c a b

(请大家比较一下上面两式的不同,独立思考后回答 椭圆的标准方程。)

?焦点在x轴上的标准方程:

x y ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 a b
?焦点在y轴上的标准方程:

2

2

?b

2

? a ?c
2

2

?

y x ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 a b

2

2

2 2 2 b ? a ? c ? ?

如果已知椭圆的标准方程,如何确定焦点在哪条坐 标轴上?
(1)焦点在x轴的椭圆,x2项分母较大. (2)焦点在y轴的椭圆,y2 项分母较大.

练习:下列方程哪些表示椭圆?若表示椭圆 焦点在那个轴上?(独立思考后回答)
x y (1) ? ?1 16 16 2 2 x y (2) ? ?1 25 16
2 2

(3)9 x ? 25 y ? 225 ? 0
2 2

(4) ? 3x ? 2 y ? ?1
2 2

x2 y2 (5) 2 ? 2 ?1 m m ?1

三、迁移应用,能力提高 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的 准则: 例1、填空:(独立思考后回答) 焦点在分母大的那个轴上。

x y (1)已知椭圆的方程为: ? ? 1,则 4 5 5 ,b=_______ a=_____ 1 , 2 ,c=_______
焦点坐标为: (0,-1)、(0,1) ,焦距

2

2

F2

F1

2 等于_____;
若曲线上一点P到左焦点F1的距离为3,则

2 5 ?3 , 点P到另一个焦点F2的距离等于_________ 2 5?2 则?F1PF2的周长为___________
|PF1|+|PF2|=2a

x (2)已知椭圆的方程为: 25 16 a=_____ ,c=_______ ,焦点坐标 5 ,b=_______ 4 3 (3,0)、(-3,0) 焦距等于______; 为:____________ 若CD为过 6 左焦点F1的弦,则?F2CD的周长为________ 20
C

2

判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的 准则: y2 ? ?焦点在分母大的那个轴上。 1 ,则

|CF1|+|CF2|=2a
F1 D (3)a=5,c=4的椭圆标准方程是
2 2
2 2

F2

y x x y ? ?1 ? ? 1或 25 9 。 25 9

课堂小结:
1、椭圆的定义:我们把平面内与两个定点 F1 , F2的距离之 和等于常数(大于 | F1 F2 | ) 的点的轨迹叫做椭圆。 即

| MF1 | ? | MF2 |? 2a(a > c)

这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离 |F1F2|叫做焦距。 2、椭圆的图形与标准方程

焦点在x轴上
y M

焦点在y轴上







F1

O

F2

x

同 标 准 方 程 焦 点 坐 标
2 2 y x x y + 2 = 1 ? a > b > 0 ? 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b a b
2 2



F1 ? -c , 0 ?,F2 ? c , 0 ? F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

2 2 2 相 a、b、c 的关系 c ? a ?b 同 标准方程中,分母哪个大,焦 点 焦点位置的判断 点就在哪个轴上!

作业布置
一、书面作业:课本P49,A组第2题
要求:书写具体解题过程

二、课后练习: 《风向标》P32 三、课后探究:课本P41 例2、例3


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