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广东省十校2014届高三上学期第一次联考数学文试题


“十校”2013——2014 学年度高三第一次联考
数学(文科)试题
注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2. 选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 用 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他

答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求 作答的答案无效. 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 设全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7}, P ? {1, 2,3, 4,5}, Q ? {3, 4,5,6,7}, 则P ? (CU Q) =( A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,6,7} D.{1,2,3,4,5} ) )
2013.8

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试时间 120 分钟.

2.设复数 z1 ? 1 ? i , z 2 ? 2 ? bi A. 2 B. 1

(b ? R) ,若 z1 ? z 2 为实数,则 b 的值为(
C. ? 1 D. ? 2

3.若平面向量 a ? (?1, 2) 与 b 的夹角是 180 ? ,且︱ b ︱ ? 3 5 ,则 b 的坐标为( A. (?3, 6) B. (3, ? 6) C. (6, ? 3) D. (?6, 3)



4. 已知函数 f ? x ? ? ? A. 1

? x ? x ? 4 ?, x ? 0, ? 则函数 f ? x ? 的零点个数为 ( x ? x ? 4 ?, x ? 0. ? ?
B. 2 C. 3 D. 4 )



5. 在等比数列 ? an ? 中, 若 a3a6 ? 9, a2 a4 a5 ? 27 , 则 a2 的值为( A. 2 B.

3

C. 4 ).
2

D.

9

6. 下列有关命题的说法正确的是 (
2

A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” .
·1·

B. x ? ?1 ” 是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件. “
2

C.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. D.命题“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ” “ .
2 2

7. 已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?
2

)( x ? R) ,下面结论错误的是( ..



A. 函数 f ( x) 的最小正周期为 2? C. 函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? 0 对称

B. 函数 f ( x) 在区间 ?0, D. 函数 f ( x) 是奇函数

? ?? 上是增函数 ? 2? ?

8. 若双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0) 的离心率为 2,则 a 等于( a 2 32
B.



A. 2

3

C.

3 2

D. 1

9. 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,则这个几何体 的体积是( A. 3 10. 已 知 f ) B.

5 2

C. 2

D.

3 2

(第 9 题图)
' '

? x? , g ?x 都 是 定 义 在 R ?
g ?1? f ?1? ?

上 的 函 数 , g ? x? ? 0 , f ? x? g ? x? ? f

? x? g ? x? ,

f ? x ? ? a x ? g ? x ?? a ? 0, a ? 1? ,

g ? ?1?

f ? ?1?

?

? 5 ? f ?n? ? ? ,在有穷数列 ? ? ? n ? 1, 2 ?10 ? 中,任意 2 ? g ? n? ? ? ?
)

取正整数 k ?1 ? k ? 10 ? ,则前 k 项和大于

15 的概率是 ( 16 D. 4 5

A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题, 两题全答的,只计算前一题得分. 11. 如图,函数 f ? x ? ? 2 , g ? x ? ? x ,若输入的 x 值为 3,
x 2

开始 输入 x

则输出的 h ? x ? 的值为

.

12.函数 y ? log a ( x ? 1) ? 1 ( a ? 0, a ? 1) 的图象必定 经过的点坐标为 .
·2·

f ( x) ? g ( x)
否 是 h( x) ? f ( x) 输出 h( x) 结束

h( x) ? g ( x)

?x ? y ? 5 ? 0 ? 13. 已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2x ? 4 y ?y ? 0 ?
的最小值是 . 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,圆 ? ? ?4 cos? 的圆心极坐标为 15. (几何证明选讲选做题) 如图, AB 是半圆 O 的直径, C 是半圆 O 上异于 A, B 的点, A D O B . C

CD ? AB ,垂足为 D . 若 AD ? 2 , CB ? 4 3 ,则 CD ?

. (第 15 题图)

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16(本小题满分 12 分) .已知锐角 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 c ? 6 , sin 2C ? ? 3 cos 2C , (1)求角 C 的大小;
1 (2)若 sin A ? ,求 ?ABC 的面积. 3

17.(本小题满分12分) 某学校高二年级共有1000名学生,其中男生650人,女生350人,为了调查学生周末的休闲方式,用 分层抽样的方法抽查了200名学生. (1)完成下面的 2 ? 2 列联表; 不喜欢运动 女生 男生 合计 100 200 50 喜欢运动 合计

(2)在喜欢运动的女生中调查她们的运动时间, 发现她们的运动时间介于30分钟到90分钟之间,右图是测量结果的频率分布直方图,若从区间段

[40,50 ) 和 [60,70 ) 的所有女生中随机抽取两名女生,求她们的运动时间在同一区间段的概率.

·3·

18.(本小题满分 14 分) 在如图所示的几何体中, ?ABC 是边长为 2 的正三角形. 若 AE ? 1, AE ? 平面 ABC , 平面 BCD ? 平面 ABC , BD ? CD ,且 BD ? CD. (1)求证: AE //平面 BCD ; (2)求证:平面 BDE ? 平面 CDE .

(第 18 题图) 19.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 ? 3? 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 ? ?1, 0 ?、F2 ?1, 0 ? , 且经过点 P ? 1, ? , M a b ? 2?
为椭圆上的动点,以 M 为圆心, MF2 为半径作圆 M . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若圆 M 与 y 轴有两个交点,求点 M 横坐标的取值范围.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? mx ? nx ( m , n ? R , m ? n 且 m ? 0 )的图象在 (2, f (2)) 处的切线与 x 轴
3 2

平行. (1)确定实数 m 、 n 的正、负号; (2)若函数 y ? f (x) 在区间 [n, m] 上有最大值为 m ? n ,求 m 的值.
2

21.(本小题满分 14 分) 已知数列 ? an
2 ? 是各项均不为0的等差数列, 公差为d,S n 为其前n项和, 且满足 an

? S 2 n ?1 , n ? N* . 数

·4·

列 ? bn

? 满足 bn ? a

1 , n ? N* , Tn 为数列 ? bn ? 的前n项和. ? an ?1 n

(1)求数列 ? an

? 的通项公式 an ;
n

(2)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) 恒成立,求实数 ? 的取值范围; (3)是否存在正整数 m,

n

(1 ? m ? n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m, n

的值;若不存在,请说明理由.

“十校”2013——2014 学年度高三联考
2013.8

数学(文科)评分标准

一、选择题 题号 答案 二.填空 11. 9 12. ( 2,1) 13. ? 15 14. 1 A 2 D 3 B 4 C 5 B 6 C 7 D 8 B 9 D 10 C

(2, ? )

15. 2 3

三、解答题 16. (1)? sin 2C ? ? 3 cos 2C ,即 tan 2C ? ? 3 . 又? C 为锐角, ∴ 2C ? ? 0, ? ? , (2)∵在锐角 ?ABC 中, ∴ 2C ?
2? ? , ∴C ? . 3 3

???????????3 分 ?????????5 分

c a 4 3 ? ?a ? . ?????????????7 分 sin C sin A 3
????????????????8 分
·5·

2 2 1 ∵又 sin A ? ,且 A 为锐角,∴ cos A ? . 3 3

∴ sin B ? sin(A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C ?

1? 2 6 6

,

?????10 分

∴ S ?ABC ?

1 2 3 ? 12 2 ac sin B ? . 2 3

????????12 分

17. 解: (1)根据分层抽样的定义,知抽取男生 130 人,女生 70 人, ?????1 分 不喜欢运动 女生 男生 合计 50 50 100 喜欢运动 20 80 100 合计 70 130 200 ???3 分 (2)由直方图知在 ?60,70 ? 内的人数为 4 人,设为 a, b, c, d . 在 ?40,50 ? 的人数为 2 人,设为 A, B . ???????5 分

从这 6 人中任选 2 人有 AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd 共 15 种情况 若 x, y ? ?60,70 ? 时,有 ab, ac, ad , bc, bd , cd 共六种情况. 若 x, y ? ?40,50 ? 时,有 AB 一种情况. ?????????7 分 ?????????9 分 ??????????10 分

事件 A:“她们在同一区间段”所包含的基本事件个数有 6 ? 1 ? 7 种,????????11 分 故

P(A ) ?

7 15 7 . 15
?????????12分

答:两名女生的运动时间在同一区间段的概率为

18

·6·

E

D A C M B

证明:(1) 取 BC 的中点 M ,连接 DM 、 AM , 因为 BD ? CD ,且 BD ? CD. BC ? 2 所以 DM ? 1, DM ? BC , AM ? BC . 又因为平面 BCD ⊥平面 ABC , 所以 DM ? 平面 ABC 因为 AE ? 平面 ABC , 所以 AE ∥ DM , 又因为 AE ? 平面 BCD , DM ? 平面 BCD , 所以 AE ∥平面 BCD . (2)由(1)已证 AE ∥ DM ,又 AE ? 1 , DM ? 1, 所以四边形 DMAE 是平行四边形, 所以 DE ∥ AM . ????????????7 分 ????????????8 分 ??????????4 分 ????????????5 分 ????????????6 分 ???????????3 分 ???????????1 分

由(1)已证 AM ? BC ,又因为平面 BCD ⊥平面 ABC , 所以 AM ? 平面 BCD , 所以 DE ? 平面 BCD . 又 CD ? 平面 BCD ,所以 DE ? CD . 因为 BD ? CD , BD ? DE ? D , 所以 CD ? 平面 BDE . 因为 CD ? 平面 CDE ,
·7·

????????????10 分 ???????????11 分 ????????????12 分

????????????13 分

所以平面 BDE ⊥平面 CDE .

????????????14 分

19. 解: (1)由椭圆定义得 PF1 ? PF2 ? 2a ,

????1 分

?3? 即 2a ? ?1 ? 1? ? ? ? ? ?2?
2

2

3 ?1 ? 1? ? ? ? ? 4 , ? ? ?2?
2

2

????3 分

?a ? 2 .

又 c ? 1 , ?b ? a ? c ? 3 .
2 2 2

??5 分

故椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

??6 分

(2)设 M ? x0 , y0 ? ,则圆 M 的半径 r ? 圆心 M 到 y 轴距离 d ? x0 , 若圆 M 与 y 轴有两个交点则有 r ? d 即 化简得 y0 ? 2 x0 ? 1 ? 0 .
2

? x0 ?1?

2

2 ? y0 , ??7 分

????8 分

? x0 ?1?

2

2 ? y0 ? x0 , ????9 分

????10 分 ????11 分

3 2 2 ? M 为椭圆上的点 ? y0 ? 3 ? x0 , 4
代入以上不等式得
2 3x0 ? 8 x0 ? 16 ? 0 ,解得 ?4 ? x0 ?

4 . 3

????12 分 ????13 分

? ?2 ? x0 ? 2 ,

??2 ? x0 ?

4 . 3

????14 分

20. 解: (1) f ?( x) ? 3mx ? 2nx
2

????1 分 0 3 2 ?????????? 3 分
2

由图象在 (2, f (2)) 处的切线与 x 轴平行, 知 f ?(2) ? 0 ,∴ n ? ?3m . 又 n ? m ,故 n ? 0 , m ? 0 . (2) 令 f ?( x) ? 3mx ? 2nx ? 3mx ? 6mx ? 0 ,
2

????2 分 n

·8·

得 x ? 0或 x ? 2 .

?????????? 4 分

∵ m ? 0 ,令 f ?( x) ? 3mx( x ? 2) ? 0 ,得 x ? 0, 或 x ? 2 令 f ?( x) ? 3mx( x ? 2) ? 0 ,得 0 ? x ? 2 . 于是 f (x) 在区间 (??,0) 内为增函数,在 (0, 2) 内为减函数,在 (2, ??) 内为增函数. ∴ x ? 0 是 f (x) 的极大值点, x ? 2 是极小值点. 令 f ( x) ? f (0) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 3 . ?????????? 5 分

????????????????6 分
2

分类:① 当 0 ? m ? 3 时, f ( x) max ? f (0) ? 0 ,∴ m ? n ? 0 .

?n ? ?3m 1 ? 由 ?m ? n 2 ? 0 解得 m ? , 9 ?0 ? m ? 3 ?
② 当 m ? 3 时, f ( x) max ? f (m) ? m ? m n ,
4 2

????????? 8 分

?????????? 9 分

∴m ?m n ? m?n .
4 2 2

?m 4 ? m 2 n ? m ? n 2 由? 得 ?n ? ?3m
3 2

m3 ? 3m 2 ? 9m ? 1 ? 0 . ?????????? 10 分

记 g (m) ? m ? 3m ? 9m ? 1, ∵ g ?(m) ? 3m ? 6m ? 9 ? 3(m ? 1) ? 6 ? 0 , ????????????? 11 分
2 2

∴ g (m) 在 R 上是增函数,又 m ? 3 ,∴ g (m) ? g (3) ? 26 ? 0 ,?????? 12 分 ∴ g (m) ? 0 在 3, ?? 上无实数根. 综上, m 的值为

?

?

???????????? 13 分 ???????????? 14 分

1 . 9

2 21. 解: (1)在 an ? S 2 n ?1 中,令 n ? 1 , n ? 2 ,

·9·

?a1 2 ? S1 , ? 得? 2 ?a 2 ? S 3 , ?

?a1 2 ? a1 , ? 即? ?(a1 ? d ) 2 ? 3a1 ? 3d , ?

????????2分

解得 a1 ? 1 , d ? 2 ,? an ? 2n ? 1

????????3分

2 又? an ? 2n ? 1 时, Sn ? n 2 满足 an ? S2 n ?1 ,? an ? 2n ? 1 ????????4分

(2)? bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

????????5分

? Tn ?

1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ? ? ? )? . 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
n

????6分

①当 n 为偶数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) 恒成立,即需不等式

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 17 恒成立. n n 8 ? 2n ? ? 8 ,等号在 n ? 2 时取得. n ? 此时 ? 需满足 ? ? 25 .

??

???????????7分

?????????????8分
n

②当 n 为奇数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) 恒成立,即需不等式

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 15 恒成立. n n 8 8 ? 2n ? 是随 n 的增大而增大, ? n ? 1 时 2n ? 取得最小值 ?6 . n n ? 此时 ? 需满足 ? ? ?21 . ?????????????9分

??

?

综合①、②可得 ? 的取值范围是 ? ? ?21 . ?????????????10分

(3) T1 ?

1 m n , Tm ? , Tn ? , 3 2m ? 1 2n ? 1
m 2 1 n ) ? ( ), 2m ? 1 3 2n ? 1

若 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则 ( 即 由
m2 n ? . 2 4m ? 4m ? 1 6n ? 3

????????11分

3 ?2m 2 ? 4m ? 1 m2 n ?0, ,可得 ? ? n m2 4m 2 ? 4m ? 1 6n ? 3

????????12分

即 ?2m 2 ? 4m ? 1 ? 0 ,

?1? 6 ? m ? 1? 6 . 2 2
又 m ? N ,且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 .
·10·

????????13分

因此,当且仅当 m ? 2 , n ? 12 时,数列 ?Tn ?中的 T1 , Tm , Tn 成等比数列. ?14分

n 1 1 ? ? m2 1 [另解] 因为 6n ? 3 3 6 ,故 ? ,即 2m 2 ? 4m ? 1 ? 0 , 2 6? 4m ? 4m ? 1 6 n

?1? 6 ? m ? 1? 6 , (以下同上 ) . 2 2

·11·


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