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高中数学复习专题讲座(第9讲)指数函数、对数函数问题


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高中数学复习专

题系列讲座

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题目 高中数学复习专题讲座 指数函数、对数函数问题 高考要求 指数函数、 对数函数是高考考查的重点内容之一, 本节主要帮助考生掌 握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题 重难点归纳 (1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题 此类题目要求考生熟 练掌握函数的图象和性质并能灵活应用 (2)综合性题目 此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能 力 (3)应用题目 此类题目要求考生具有较强的建模能力 典型题例示范讲解 例 1 已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点, 分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点 (1)证明 点 C、D 和原点 O 在同一条直线上; (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标 命题意图 本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、 指数方程等基础知识,考查学生的分析能力和运算能力 知识依托 (1)证明三点共线的方法 kOC=kOD (2)第(2)问的解答中 蕴涵着方程思想,只要得到方程(1),即可求得 A 点坐标 错解分析 不易考虑运用方程思想去解决实际问题 技巧与方法 本题第一问运用斜率相等去证明三点共线;第二问运用 方程思想去求得点 A 的坐标 (1)证明 设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2, 由题意知 x1>1,x2>1,则 A、B 纵坐标分别为 log8x1,log8x2 因为 A、B 在过点 O 的直线上,
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所以

log

8

x1

?

log

8

x2

x1

x2

,点 C、D 坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),

由于 log2x1=

log log

8 8

x1 2

= 3 log 8

x 1 , log

2

x2 ?

log log

8 8

x2 2

?

3log8x2,

所以 OC 的斜率

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k1=

log

2

x1

?

3 log

8

x1

,

x2

x1

OD 的斜率 由此可知
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k2=

log

2

x2

?

3 log

8

x2



x2

x2
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k1=k2,即 O、C、D 在同一条直线上
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(2)解

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由 BC 平行于 x 轴知
1 3

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log2x1=log8x2

即 log2x1=

log2x2,代入 x2log8x1=x1log8x2 得 x13log8x1=3x1log8x1,
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由于 x1>1 知 log8x1≠0,∴x13=3x1

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又 x1>1,∴x1= 3 ,则点 A 的坐标为( 3 ,log8 3 )

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例 2 在 xOy 平面上有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),?,Pn(an,bn)?,对每个自然 数 n 点 Pn 位于函数 y=2000(
a 10

)x(0<a<1)的图象上, 且点 Pn,点(n,0)与点(n+1,0)
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构成一个以 Pn 为顶点的等腰三角形 (1)求点 Pn 的纵坐标 bn 的表达式; (2)若对于每个自然数 n,以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形,求 a 的取值范围; (3)设 Cn=lg(bn)(n∈N*),若 a 取(2)中确定的范围内的最小整数, 问数列{Cn} 前多少项的和最大?试说明理由 命题意图 本题把平面点列,指数函数,对数、最值等知识点揉合在 一起, 构成一个思维难度较大的综合题目, 本题主要考查考生对综合知识分 析和运用的能力 知识依托 指数函数、对数函数及数列、最值等知识 错解分析 考生对综合知识不易驾驭,思维难度较大,找不到解题的 突破口 技巧与方法 本题属于知识综合题,关键在于读题过程中对条件的思 考与认识,并会运用相关的知识点去解决问题
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(1)由题意知

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an=n+
a 10

1 2

,∴bn=2000(

a 10

n?

1 2
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)

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(2)∵函数 y=2000(

)x(0<a<10)递减,
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∴对每个自然数 n,有 bn>bn+1>bn+2 则以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn+2+bn+1>bn,
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即(

a 10

)2+(

a 10

)-1>0,
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解得 a<-5(1+ 2 )或 a>5( 5 -1) (3)∵5( 5 -1)<a<10,∴a=7

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∴5( 5 -1)<a<10

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∴bn=2000(

7 10

n?

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数列{bn}是一个递减的正数数列,
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对每个自然数 n≥2,Bn=bnBn-1 于是当 bn≥1 时,Bn<Bn-1,当 bn<1 时,Bn≤Bn-1, 因此数列{Bn}的最大项的项数 n 满足不等式 bn≥1 且 bn+1<1,
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由 bn=2000(

7 10

n?

1 2

)

≥1 得

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n≤20
1 2? x

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∴n=20

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例 3 设 f(x)=log2

1? x 1? x

,F(x)=

+f(x)

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(1)试判断函数 f(x)的单调性,并用函数单调性定义,给出证明; - (2)若 f(x)的反函数为 f 1(x),证明 对任意的自然数 n(n≥3),都有
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f 1(n)>



n n ?1

;

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(3)若 F(x)的反函数 F 1(x),证明 解
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方程 F 1(x)=0 有惟一解



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(1)由

1? x 1? x

>0,且 2-x≠0 得 F(x)的定义域为(-1,1),

设-1<x1<x2<1,则 F(x2)-F(x1)=(
1 2 ? x2 ? 1 2 ? x1

)+( log

1 ? x2
2

1 ? x2

? log

1 ? x1
2

1 ? x1

)

?

x 2 ? x1 ( 2 ? x 1 )( 2 ? x 2 )

? log

(1 ? x 1 )( 1 ? x 2 )
2

(1 ? x 1 )( 1 ? x 2 )

,

∵x2-x1>0,2-x1>0,2-x2>0,∴上式第 2 项中对数的真数大于 1 因此 F(x2)-F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(-1,1)上是增函数
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(2)证明

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由 y=f(x)= log

1? x
2

1? x



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2y=

1? x 1? x

,x ?

2 2

y y

?1 ?1

,

∴f 1(x)=



2 2

x x

?1 ?1

,∵f(x)的值域为 R,∴f- 1(x)的定义域为 R



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当 n≥3 时, f-1(n)>
n n ?1 ? 2 2
n n

?1 ?1

?

n n ?1

? 1? 2

2
n

?1
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?1?

1 n ?1

? 2

n

? 2n ? 1

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用数学归纳法易证 2n>2n+1(n≥3),证略
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(3)证明

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∵F(0)=

1 2

,∴F 1(



1 2

)=0,∴x=
1 2

1 2

是 F 1(x)=0 的一个根



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假设 F 1(x)=0 还有一个解 x0(x0≠ 是 F(0)=x0(x0≠
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),则 F-1(x0)=0,于
-1
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1 2

)

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这是不可能的,故 F (x)=0 有惟一解

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学生巩固练习 1 定义在(-∞,+∞)上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数 g(x)和 一个偶函数 h(x)之和,如果 f(x)=lg(10x+1),其中 x∈(-∞,+∞),那么( ) -x x A g(x)=x,h(x)=lg(10 +10 +2)
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B C

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g(x)= g(x)=

1 2 x 2

[lg(10x+1)+x],h(x)= ,h(x)=lg(10x+1)-
x 2 x 2

1 2

[lg(10x+1)-x]

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D 2
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g(x)=-

,h(x)=lg(10x+1)+

x 2

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当 a>1 时,函数 y=logax 和 y=(1-a)x 的图象只可能是(

)

y
o
1

y
x A
o
1

y

y
o
1

x B

x C


o

1

x D

3

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已知函数 f(x)= ?

?2 x ? log 2 ( ? x )

( x ? 0)
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(?2 ? x ? 0)

则 f- 1(x-1)=_________

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4 如图,开始时,桶 1 中有 a L 水,t 分钟后剩 - 余的水符合指数衰减曲线 y1=ae nt,那么桶 2 中水就是 - y2=a-ae nt,假设过 5 分钟时,桶 1 和桶 2 的水相等,
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y1=ae-nt
桶1

则再过_________分钟桶 1 中的水只有
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a
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8
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2 5 设函数 f(x)=loga(x-3a)(a>0 且 a≠1),当点 桶2 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点时,点 Q(x-2a,-y)是 函数 y=g(x)图象上的点 (1)写出函数 y=g(x)的解析式; (2)若当 x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)-g(x)|≤1,试确定 a 的取值范围 6 已知函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),(x∈(0,+∞)),若 x1,x2∈(0,+∞),判断
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y =a-ae-nt

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1 2

[f(x1)+f(x2)]与 f(
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x1 ? x 2 2

)的大小,并加以证明

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7 已知函数 x,y 满足 x≥1,y≥1 且 a≠1),求 loga(xy)的取值范围
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loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0

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设不等式 2(log 1 x) +9(log 1 x)+9≤0 的解集为 M, 求当 x∈M 时函数
2 2

2

f(x)=(log2

x 2

)(log2
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x 8

)的最大、最小值

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参考答案 1 解析 由题意 g(x)+h(x)=lg(10x+1) - - 又 g(-x)+h(-x)=lg(10 x+1) 即-g(x)+h(x)=lg(10 x+1) ②
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由①②得
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g(x)=

x 2

,h(x)=lg(10x+1)-

x
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2

答案 C 2 解析 当 a>1 时,函数 y=logax 的图象只能在 A 和 C 中选,又 a>1 时,y=(1-a)x 为减函数 答案 B
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解析

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容易求得 f-

-1

(x)= ?

? log ?? 2

2 x

x

( x ? 1) ( x ? 1)

,

从而

f 1(x-1)= ?



? log 2 ( x ? 1 ), ( x ? 2 ) ?? 2
x ?1

,

( x ? 2 ).

答案 4

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? log 2 ( x ? 1 ), ( x ? 2 ) ? x ?1 , ( x ? 2) ?? 2
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解析
1 5

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由题意,5 分钟后,y1=ae
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-nt

,y2=a-ae
a 8

-nt

,y1=y2

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∴n=

ln2

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设再过 t 分钟桶 1 中的水只有 =
a 8

,

则 y1=ae
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-n(5+t)

,解得 t=10

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答案 10 5 解 (1)设点 Q 的坐标为(x′,y′), 则 x′=x-2a,y′=-y 即 x=x′+2a,y=-y′ ∵点 P(x,y)在函数 y=loga(x-3a)的图象上,
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∴-y′=loga(x′+2a-3a),即 y′=loga
x

1
2

? a
1

,∴g(x)=loga =
1

1
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x ? a

(2)由题意得 x-3a=(a+2)-3a=-2a+2>0; 又 a>0 且 a≠1,∴0<a<1,
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x ? a

(a ? 3) ? a

>0,

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∵|f(x)-g(x)|=|loga(x-3a)-loga

1 x ? a

|

=|loga(x2-4ax+3a2)|·|f(x)-g(x)|≤1, ∴-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤1, ∵0<a<1,∴a+2>2a f(x)=x2-4ax+3a2 在[a+2,a+3]上为减函数, ∴μ (x)=loga(x2-4ax+3a2)在[a+2,a+3]上为减函数, 从而[μ (x)]max=μ (a+2)=loga(4-4a),[μ (x)]min=μ (a+3)=loga(9-6a),
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?0 ? a ? 1 ? 于是所求问题转化为求不等式组 ? log a ( 9 ? 6 a ) ? ? 1 的解 ? ? log a ( 4 ? 4 a ) ? 1

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由 loga(9-6a)≥-1 解得 0<a≤ 由 loga(4-4a)≤1 解得 0<a≤ ∴所求 a 的取值范围是 0<a≤ 6
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9 ? 12

57

,

4 5

,
57
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9 ? 12

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f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,
x1 ? x 2 2

∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤(

)2(当且仅当 x1=x2 时取“=”号), )2,
x1 ? x 2 2

当 a>1 时,有 logax1x2≤loga( ∴ 即
1 2 1 2

x1 ? x 2 2 1 2

logax1x2≤loga(
[

x1 ? x 2 2

),

(logax1+logax2)≤loga

,

f(x1)+f(x2)]≤f(

x1 ? x 2 2

)(当且仅当 x1=x2 时取“=”号)
x1 ? x 2 2 1 2

当 0<a<1 时,有 logax1x2≥loga( ∴
1 2

)2,
x1 ? x 2 2

(logax1+logax2)≥loga
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x1 ? x 2 2

,即

[f(x1)+f(x2)]≥f(

)(当且

仅当 x1=x2 时取“=”号) 7 解 由已知等式得 loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay), 即(logax-1)2+(logay-1)2=4, 令 u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0),k=u+v 在直角坐标系 uOv 内, 圆弧(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0)与平行直线系 v=-u+k 有公共点, 分两类讨论 (1)当 u≥0,v≥0 时,即 a>1 时,结合判别式法与代点法得
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1+ 3 ≤k≤2(1+ 2 ); (2)当 u≤0,v≤0,即 0<a<1 时,同理得到 2(1- 2 )≤k≤1- 3
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综上,当 a>1 时,logaxy 的最大值为 2+2 2 ,最小值为 1+ 3 ; 当 0<a<1 时,logaxy 的最大值为 1- 3 ,最小值为 2-2 2 8
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∵2( log 1 x)2+9( log 1 x)+9≤0
2 2

∴(2 log 1 x+3)(
2

log

1 2

x+3)≤0

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∴-3≤ log 1 x≤-
2

3
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2

即 log

1 2

(

1 2

) 3≤ log 1 x≤ log 1 (
2 2



1 2

?

3 2

)

?

∴(

1 2

?

3 2

)

≤x≤(

1 2

) 3,∴2 2 ≤x≤8



即 M={x|x∈[2 2 ,8]} 又 f(x)=(log2x-1)(log2x-3)=log22x-4log2x+3=(log2x-2)2-1 ∵2 2 ≤x≤8,∴
3 2
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≤log2x≤3
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∴当 log2x=2,即 x=4 时 ymin=-1;当 log2x=3,即 x=8 时,ymax=0 课前后备注
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