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高中数学圆的方程典型例题全


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类型七:圆中的最值问题 例 18:圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是

例 19 (1)已知圆 O1: ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 , P( x , y) 为圆 O 上的动点,求 d ? x 2 ? y 2 的最大、最 小值. (2)已知圆 O2: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 ,P( x , y) 为圆上任一点.求

y?2 的最大、 最小值, 求 x ? 2y 的 x ?1

最大、最小值. 分析:(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标,可考虑用圆的参数方程或数形结合解决. 解:(1)(法 1)由圆的标准方程 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 1 . 可设圆的参数方程为 ?

? x ? 3 ? cos? , ( ? 是参数) . ? y ? 4 ? sin ? ,

则 d ? x 2 ? y 2 ? 9 ? 6 cos? ? cos2 ? ? 16 ? 8 sin ? ? sin 2 ?

? 26 ? 6 cos? ? 8 sin ? ? 26 ? 10cos(? ? ? ) (其中 tan ? ?
所以 d max ? 26 ? 10 ? 36 , d min ? 26 ? 10 ? 16 .

4 ) . 3

(法 2)圆上点到原点距离的最大值 d 1 等于圆心到原点的距离 d 1 加上半径 1,圆上点到原点距离 的最小值 d 2 等于圆心到原点的距离 d 1 减去半径 1. 所以 d1 ? 32 ? 42 ? 1 ? 6 .
'

'

d 2 ? 32 ? 42 ? 1 ? 4 .
所以 dmax ? 36 . d min ? 16 . (2) (法 1)由 ( x ? 2) ? y ? 1 得圆的参数方程: ?
2 2

? x ? ?2 ? cos? , ? 是参数. ? y ? sin ? ,



y ? 2 sin ? ? 2 sin ? ? 2 ? ?t, .令 x ? 1 cos ? ? 3 cos ? ? 3

得 sin ? ? t cos ? ? 2 ? 3t , 1 ? t 2 sin(? ? ? ) ? 2 ? 3t

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? 2 ? 3t 1? t
2

? sin(? ? ? ) ? 1 ?

3? 3 3? 3 . ?t ? 4 4

所以 t max ?

3? 3 3? 3 , t min ? . 4 4



y?2 3? 3 3? 3 的最大值为 ,最小值为 . x ?1 4 4

此时 x ? 2 y ? ?2 ? cos? ? 2 sin? ? ?2 ? 5 cos( ? ??) . 所以 x ? 2 y 的最大值为 ?2 ? 5 ,最小值为 ?2 ? 5 . (法 2)设 图所示,

y?2 ? k ,则 kx ? y ? k ? 2 ? 0 .由于 P( x , y) 是圆上点,当直线与圆有交点时,如 x ?1

两条切线的斜率分别是最大、最小值. 由d ?

? 2k ? k ? 2 1? k 2

? 1 ,得 k ?

3? 3 . 4

所以

y?2 3? 3 3? 3 的最大值为 ,最小值为 . x ?1 4 4

令 x ? 2 y ? t ,同理两条切线在 x 轴上的截距分别是最大、最小值. 由d ?

?2?m 5

? 1 ,得 m ? ?2 ? 5 .

所以 x ? 2 y 的最大值为 ?2 ? 5 ,最小值为 ?2 ? 5 . 例 20:已知 A(?2,0) , B(2,0) ,点 P 在圆 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 上运动,则 PA ? PB 的最小
2 2

2

2

值是

.
2 2

解:设 P ( x, y ) ,则 PA ? PB

? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2( x 2 ? y 2 ) ? 8 ? 2 OP ? 8 .设圆心

2

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为 C (3,4) ,则 OP 练习: 1:已知点 P ( x, y ) 在圆 x ? ( y ? 1) ? 1 上运动.
2 2
min

2 ? OC ? r ? 5 ? 2 ? 3 ,∴ PA ? PB 的最小值为 2 ? 3 ? 8 ? 26 .

2

2

y ?1 的最大值与最小值; (2)求 2 x ? y 的最大值与最小值. x?2 y ?1 解: (1)设 ? k ,则 k 表示点 P ( x, y ) 与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切时, k 取得 x?2
(1)求 最大值与最小值.由

2k k ?1
2

? 1 ,解得 k ? ?

3 3 3 y ?1 ,∴ 的最大值为 ,最小值为 ? . 3 3 3 x?2

(2)设 2 x ? y ? m ,则 m 表示直线 2 x ? y ? m 在 y 轴上的截距. 当该直线与圆相切时, m 取得最

大值与最小值.由

1? m 5

? 1,解得 m ? 1 ? 5 ,∴ 2 x ? y 的最大值为 1 ? 5 ,最小值为1 ? 5 .
y?2 的取值范围. x ?1

2 设点 P( x , y) 是圆 x 2 ? y 2 ? 1 是任一点,求 u ?

分析一:利用圆上任一点的参数坐标代替 x 、 y ,转化为三角问题来解决.
2 2 解法一:设圆 x ? y ? 1 上任一点 P(cos? , sin ? )

则有 x ? cos ? , y ? sin ? ? ?[0 , 2? ) ∴u ?

sin ? ? 2 ,∴ u cos ? ? u ? sin ? ? 2 cos ? ? 1

∴ u cos? ? sin ? ? ?(u ? 2) . 即 u 2 ? 1 sin(? ? ? ) ? u ? 2 ( tan ? ? u ) ∴ sin(? ? ? ) ?

(u ? 2) u2 ?1



又∵ sin(? ? ? ) ? 1



u?2 u2 ?1

?1

解之得: u ? ?

3 . 4 y?2 2 2 分析二: u ? 的几何意义是过圆 x ? y ? 1 上一动点和定点 (?1 , 2) 的连线的斜率,利用 x ?1
2 2

此直线与圆 x ? y ? 1 有公共点,可确定出 u 的取值范围.
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解法二:由 u ? 直线的距离 d ? 1 . ∴

y?2 得: y ? 2 ? u( x ? 1) ,此直线与圆 x 2 ? y 2 ? 1 有公共点,故点 (0 , 0) 到 x ?1

u?2 u2 ?1

?1
3 . 4

解得: u ? ?

另外,直线 y ? 2 ? u( x ? 1) 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 的公共点还可以这样来处理: 由?

? y ? 2 ? u( x ? 1) ?x ? y ? 1
2 2

消去 y 后得: (u 2 ? 1) x 2 ? (2u 2 ? 4u) x ? (u 2 ? 4u ? 3) ? 0 ,

此方程有实根,故 ? ? (2u 2 ? 4u)2 ? 4(u 2 ? 1)(u 2 ? 4u ? 3) ? 0 , 解之得: u ? ?

3 . 4

说明:这里将圆上的点用它的参数式表示出来,从而将求变量 u 的范围问题转化成三角函数的 有关知识来求解.或者是利用其几何意义转化成斜率来求解,使问题变得简捷方便. 3、已知点 A(?2,?2), B(?2,6), C (4,?2) ,点 P 在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上运动,求 PA ? PB ? PC 的 最大值和最小值. 类型八:轨迹问题 例 21、基础训练:已知点 M 与两个定点 O(0,0) , A(3,0) 的距离的比为
2 2 2

1 ,求点 M 的轨迹方程. 2

例 22、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆 ( x ? 1) ? y ? 4 上运动,求线段 AB
2 2

的中点 M 的轨迹方程.

2 2 例 23 如图所示, 已知圆 O:x ? y ? 4 与 y 轴的正方向交于 A 点, 点 B 在直线 y ? 2 上运动, 过B

做圆 O 的切线,切点为 C ,求 ?ABC 垂心 H 的轨迹.

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分析:按常规求轨迹的方法,设 H ( x , y ) ,找 x , y 的关系非常难.由于 H 点随 B , C 点运动 而运动,可考虑 H , B , C 三点坐标之间的关系.
' ' 解:设 H ( x , y ) , C ( x , y ) ,连结 AH , CH ,

则 AH ? BC , CH ? AB , BC 是切线 OC ? BC , 所以 OC // AH , CH // OA , OA ? OC , 所以四边形 AOCH 是菱形.
' ? ? y ? y ? 2, 所以 CH ? OA ? 2 ,得 ? ' ? ? x ? x.

又 C ( x ' , y ' ) 满足 x ' ? y ' ? 4 , 所以 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4( x ? 0) 即是所求轨迹方程. 说明:题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识.采取代入法求轨迹方程.做题时 应注意分析图形的几何性质,求轨迹时应注意分析与动点相关联的点,如相关联点轨迹方程已知, 可考虑代入法.

2

2

例 24 已知圆的方程为 x ? y ? r , 圆内有定点 P(a , b) , 圆周上有两个动点 A 、B , 使 PA ? PB ,
2 2 2

求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程. 分析:利用几何法求解,或利用转移法求解,或利用参数法求解. 解法一:如图,在矩形 APBQ 中,连结 AB , PQ 交于 M ,显然 OM ? AB , AB ? PQ ,

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在直角三角形 AOM 中,若设 Q( x , y ) ,则 M ( 由 OM
2

x?a y?b , ). 2 2

? AM

2

? OA ,即

2

(

x?a 2 y?b 2 1 ) ?( ) ? [( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ] ? r 2 , 2 2 4

也即 x 2 ? y 2 ? 2r 2 ? (a 2 ? b2 ) ,这便是 Q 的轨迹方程. 解法二:设 Q( x , y ) 、 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? y1 ? r 2 , x2 ? y2 ? r 2 . 又 PQ ? AB ,即
2 2

2

2

2

2

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 2r 2 ? 2( x1 x2 ? y1 y2 ) .①
又 AB 与 PQ 的中点重合,故 x ? a ? x1 ? x2 , y ? b ? y1 ? y2 ,即

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? 2r 2 ? 2( x1x2 ? y1 y2 )
①+②,有 x 2 ? y 2 ? 2r 2 ? (a 2 ? b2 ) . 这就是所求的轨迹方程.



解法三:设 A(r cos? , r sin ? ) 、 B(r cos ? , r sin ? ) 、 Q( x , y ) , 由于 APBQ 为矩形,故 AB 与 PQ 的中点重合,即有

x ? a ? r cos? ? r cos ? , y ? b ? r sin ? ? r sin ? ,
又由 PA ? PB 有

① ②

r sin ? ? b r sin ? ? b ? ? ?1 r cos? ? a r cos ? ? a



联立①、②、③消去 ? 、 ? ,即可得 Q 点的轨迹方程为 x ? y ? 2r ? (a ? b ) .
2 2 2 2 2

说明:本题的条件较多且较隐含,解题时,思路应清晰,且应充分利用图形的几何性质,否则, 将使解题陷入困境之中. 本题给出三种解法.其中的解法一是几何方法,它充分利用了图形中隐含的数量关系.而解法 二与解法三,从本质上是一样的,都可以称为参数方法.解法二涉及到了 x1 、 x2 、 y1 、 y2 四个参 数, 故需列出五个方程; 而解法三中, 由于借助了圆 x ? y ? r 的参数方程, 只涉及到两个参数 ? 、
2 2 2

? ,故只需列出三个方程便可.上述三种解法的共同之处是,利用了图形的几何特征,借助数形结
合的思想方法求解.
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练习: 1、由动点 P 向圆 x ? y ? 1 引两条切线 PA 、 PB ,切点分别为 A 、 B , ?APB =600,则动点 P
2 2

的轨迹方程是

.

解:设 P ( x, y ) .∵ ?APB =600,∴ ?OPA =300.∵ OA ? AP ,∴ OP ? 2 OA ? 2 ,∴ x 2 ? y 2 ? 2 , 化简得 x ? y ? 4 ,∴动点 P 的轨迹方程是 x ? y ? 4 .
2 2 2 2

练习巩固:设 A(?c,0), B(c,0)(c ? 0) 为两定点,动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值

a(a ? 0) ,求 P 点的轨迹.
解:设动点 P 的坐标为 P ( x, y ) .由

PA PB

? a(a ? 0) ,得

( x ? c) 2 ? y 2 ( x ? c) 2 ? y 2

?a,

化简得 (1 ? a 2 ) x 2 ? (1 ? a 2 ) y 2 ? 2c(1 ? a 2 ) x ? c 2 (1 ? a 2 ) ? 0 . 当 a ? 1 时,化简得 x 2 ? y 2 ? 当 a ? 1 时,化简得 x ? 0 . 所以当 a ? 1 时, P 点的轨迹是以 ( 当 a ? 1 时, P 点的轨迹是 y 轴.

1? a 2ac 2c(1 ? a 2 ) c) 2 ? y 2 ? ( 2 ) 2 ; x ? c 2 ? 0 ,整理得 ( x ? 2 2 a ?1 a ?1 1? a
2

1? a2 2ac c, 0) 为圆心, 2 为半径的圆; 2 a ?1 a ?1

2、已知两定点 A(?2,0) , B (1,0) ,如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的轨迹所包围的面积等于 解 : 设 点 P 的 坐 标 是 ( x, y ) . 由 PA ? 2 PB , 得

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 , 化 简 得

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ,∴点 P 的轨迹是以(2,0)为圆心,2 为半径的圆,∴所求面积为 4? .

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2 2 4、已知定点 B(3,0) ,点 A 在圆 x ? y ? 1 上运动, M 是线段 AB 上的一点,且 AM ?

1 MB , 3

问点 M 的轨迹是什么? 解:设 M ( x, y), A( x1 , y1 ) .∵ AM ?

1 1 MB ,∴ ( x ? x1 , y ? y1 ) ? (3 ? x,? y ) , 3 3

1 4 ? ? x ? x1 ? (3 ? x) x1 ? x ? 1 ? ? ? ? 2 2 3 3 2 2 ∴? ,∴ ? . ∵ 点 A 在圆 x ? y ? 1 上运 动,∴ x1 ? y1 ? 1 , ∴ ?y ? y ? ? 1 y ?y ? 4 y 1 1 ? ? 3 3 ? ?
4 4 3 9 3 9 ( x ? 1) 2 ? ( y) 2 ? 1,即 ( x ? ) 2 ? y 2 ? ,∴点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) 2 ? y 2 ? . 3 3 4 16 4 16
例 5、已知定点 B(3,0) ,点 A 在圆 x ? y ? 1 上运动,?AOB 的平分线交 AB 于点 M ,则点 M 的
2 2

轨迹方程是

.

解:设 M ( x, y), A( x1 , y1 ) .∵ OM 是 ?AOB 的平分线,∴ AM ? OA ? 1 , ∴ AM ? 1 MB .由变式 3 MB OB 3 1 可得点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) 2 ? y 2 ?

3 4

9 . 16

2 2 练习巩固:已知直线 y ? kx ? 1与圆 x ? y ? 4 相交于 A 、 B 两点,以 OA 、 OB 为邻边作平行四

边形 OAPB,求点 P 的轨迹方程. 解:设 P ( x, y ) , AB 的中点为 M .∵ OAPB是平行四边形,∴ M 是 OP 的中点,∴点 M 的坐标为

x y ( , ) , 且 OM ? AB . ∵ 直 线 y ? kx ? 1 经 过 定 点 C (0,1) , ∴ OM ? CM , ∴ 2 2
x y x y x y y 2 2 OM ? CM ? ( , ) ? ( , ? 1) ? ( ) 2 ? ( ? 1) ? 0 ,化简得 x ? ( y ? 1) ? 1 .∴点 P 的轨迹方程是 2 2 2 2 2 2 2

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 .
类型九:圆的综合应用 例 25、 已知圆 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于 P 、 Q 两点, O 为原点,且
2 2

OP ? OQ ,求实数 m 的值.
分析:设 P 、Q 两点的坐标为 ( x1 , y1 ) 、( x2 , y2 ) ,则由 kOP ? kOQ ? ?1 ,可得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 再利用一元二次方程根与系数的关系求解.或因为通过原点的直线的斜率为 程构造以

y ,由直线 l 与圆的方 x

y 为未知数的一元二次方程,由根与系数关系得出 kOP ? kOQ 的值,从而使问题得以解决. x
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解法一:设点 P 、 Q 的坐标为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) .一方面,由 OP ? OQ ,得

kOP ? kOQ ? ?1 ,即

y1 y2 ? ? ?1 ,也即: x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . x1 x2



另一方面, ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 是方程组 ? 程 5x ? 10x ? 4m ? 27 ? 0
2

?x ? 2 y ? 3 ? 0
2 2 ?x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0

的实数解,即 x1 、 x2 是方



的两个根. ∴ x1 ? x2 ? ?2 , x1 x2 ?

4m ? 27 . ③ 5

又 P 、 Q 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上,

1 1 1 (3 ? x1 ) ? (3 ? x2 ) ? [9 ? 3( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ] . 2 2 4 m ? 12 将③代入,得 y1 y 2 ? . ④ 5 将③、④代入①,解得 m ? 3 ,代入方程②,检验 ? ? 0 成立, ∴m ?3.
∴ y1 y2 ? 解法二:由直线方程可得 3 ? x ? 2 y ,代入圆的方程 x 2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 ,有

1 m x 2 ? y 2 ? ( x ? 2 y )( x ? 6 y ) ? ( x ? 2 y ) 2 ? 0 , 3 9
整理,得 (12 ? m) x ? 4(m ? 3) xy ? (4m ? 27) y ? 0 .
2 2

由于 x ? 0 ,故可得

y y (4m ? 27 )( ) 2 ? 4(m ? 3) ? 12 ? m ? 0 . x x
∴ kOP , kOQ 是上述方程两根.故 kOP ? kOQ ? ?1 .得

12 ? m ? ?1 ,解得 m ? 3 . 4m ? 27 经检验可知 m ? 3 为所求.
说明:求解本题时,应避免去求 P 、 Q 两点的坐标的具体数值.除此之外,还应对求出的 m 值 进行必要的检验,这是因为在求解过程中并没有确保有交点 P 、 Q 存在. 解法一显示了一种解这类题的通法,解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于

y 的二次 x

齐次方程,虽有规律可循,但需一定的变形技巧,同时也可看出,这种方法给人以一种淋漓酣畅, 一气呵成之感.
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例 26、已知对于圆 x 2 ? ( y ?1) 2 ? 1上任一点 P( x , y) ,不等式 x ? y ? m ? 0 恒成立,求实数 m 的 取值范围. 分析一:为了使不等式 x ? y ? m ? 0 恒成立,即使 x ? y ? ? m 恒成立,只须使 ( x ? y) min ? ?m 就行了.因此只要求出 x ? y 的最小值, m 的范围就可求得. 解法一:令 u ? x ? y , 由?

?x ? y ? u
2 2 ?x ? ( y ?1) ? 1

得: 2 y 2 ? 2(u ? 1) y ? u 2 ? 0 ∵ ? ? 0 且 ? ? 4(u ? 1)2 ? 8u 2 , ∴ 4(?u 2 ? 2u ? 1) ? 0 . 即 u 2 ? 2u ?1) ? 0 ,∴ 1 ? 2 ? u ? 1 ? 2 , ∴ umin ? 1 ? 2 ,即 ( x ? y)min ? 1 ? 2 又 x ? y ? m ? 0 恒成立即 x ? y ? ? m 恒成立. ∴ ( x ? y)min ? 1 ? 2 ? ?m 成立, ∴m?

2 ?1.

2 2 分析二: 设圆上一点 P(cos? , 1 ? sin ? ) [因为这时 P 点坐标满足方程 x ? ( y ?1) ? 1]问题转化

为利用三解问题来解.
2 2 解法二:设圆 x ? ( y ?1) ? 1上任一点 P(cos? , 1 ? sin ? ) ? ?[0 , 2? )

∴ x ? cos ? , y ? 1 ? sin ? ∵ x ? y ? m ? 0 恒成立 ∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? m ? 0 即 m ? ?(1 ? cos? ? sin ? ) 恒成立. ∴只须 m 不小于 ?(1 ? cos? ? sin ? ) 的最大值. 设 u ? ?(sin ? ? cos ? ) ? 1 ? ? 2 sin(? ? ∴ umax ? 2 ?1 即 m ?

?
4

) ?1

2 ?1.
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说明:在这种解法中,运用了圆上的点的参数设法.一般地,把圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 上的 点设为 (a ? r cos? , b ? r sin ? ) ( ? ?[0 , 2? ) ).采用这种设法一方面可减少参数的个数,另一方面 可以灵活地运用三角公式.从代数观点来看,这种做法的实质就是三角代换. 例 27 有一种大型商品, A 、 B 两地都有出售,且价格相同.某地居民从两地之一购得商品后运回 的费用是:每单位距离 A 地的运费是 B 地的运费的 3 倍.已知 A 、 B 两地距离为 10 公里,顾客选 择 A 地或 B 地购买这种商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低.求 A 、 B 两地的售货区域的 分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点. 分析:该题不论是问题的背景或生活实际的贴近程度上都具有深刻的实际意义和较强的应用意 识,启示我们在学习中要注意联系实际,要重视数学在生产、生活以及相关学科的应用.解题时要 明确题意,掌握建立数学模型的方法. 解:以 A 、 B 所确定的直线为 x 轴, AB 的中点 O 为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标 系.

∵ AB ? 10 ,∴ A(?5 , 0) , B(5 , 0) . 设某地 P 的坐标为 ( x , y ) , 且 P 地居民选择 A 地购买商品便宜, 并设 A 地的运费为 3a 元/公里,

B 地的运费为 a 元/公里.因为 P 地居民购货总费用满足条件: 价格+ A 地运费≤价格+ B 地的运费
2 2 2 2 即: 3a ( x ? 5) ? y ? a ( x ? 5) ? y .

∵a ? 0,
2 2 ∴ 3 ( x ? 5) ? y ?

( x ? 5) 2 ? y 2

25 2 15 ) ? y 2 ? ( )2 4 4 25 15 , 0) 为圆心 为半径的圆是两地购货的分界线. ∴以点 ( ? 4 4
化简整理得: ( x ? 圆内的居民从 A 地购货便宜,圆外的居民从 B 地购货便宜,圆上的居民从 A 、 B 两地购货的总 费用相等.因此可随意从 A 、 B 两地之一购货. 说明:实际应用题要明确题意,建议数学模型.

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高中数学圆的方程典型例题 (1)

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