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第5讲 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用


第5讲
【2013 年高考会这样考】

正弦型函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及应用

1.考查正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 2.结合三角恒等变换考查 y=Asin(ωx+φ)的性质及简单应用. 3.考查 y=sin x 到 y=A sin(ωx+φ)的图象的两种变换途径. 【复习指导】 本讲复习时,重

点掌握正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的“五点”作图法,图象的三种变换方法, 以及利用三角函数的性质解决有关问题. 一、 【基础梳理】 1.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示 x 0-φ ω 0 0 π 2-φ ω π 2 A π-φ ω π 0 3π 2 -φ ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

ωx+φ y=Asin(ωx+φ)

2.函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤

2π 3.当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈[0,+∞))表示一个振动时,A 叫做振幅,T= ω 叫做周期, 1 f=T叫做频率,ωx+φ 叫做相位,φ 叫做初相. 二、 【细节点击】 1、一种方法:在由图象求三角函数解析式时,若最大值为 M,最小值为 m,则 A= 2π ω 由周期 T 确定,即由 ω =T 求出,φ 由特殊点确定. 2、一个区别:由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin (ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变换再周期 M-m M+m 2 ,k= 2 ,

|φ| 变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是 ω (ω>0) 个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而言,即 x 本身加减多少值,而不是依赖于 ωx 加 减多少值. 3、两个注意:作正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象时应注意: (1)首先要确定函数的定义域; (2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可根据周期性作出 整个函数的图象. 三、 【双基自测】 π? ? 1. y=2sin?2x-4? 的振幅、频率和初相分别为( ? ? 1 π A.2,π,-4 1 π B.2,2π,-4 ).

1 π 1 π C.2,π,-8 D.2,2π,-8

π? ? 2.已知简谐运动 f(x)=Asin(ωx+φ)?|φ|<2?的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 ? ? φ 分别为( ). π C.T=6,φ=6 π D.T=6,φ=3

π π A.T=6π,φ=6 B.T=6π,φ=3

π 3.函数 y=cos x(x∈R)的图象向左平移 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的解析式应为 2 ( ). A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x ).

π? 4π ? 4. ω>0, 设 函数 y=sin?ωx+3?+2 的图象向右平移 3 个单位后与原图象重合, ω 的最小值是( 则 ? ? 2 A.3 4 B.3 3 C.2 D.3

5.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则 ω=________.

四、 【例题解析】 考点一 作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及图像平移
? 2 sin( 2 x ?

【例 1】 已知函数 y .

?
3

).

(1)求它的振幅、周期和初相; (2)用五点法作出它的图象; (3)说明 y
? 2 sin( 2 x ?

?
3

) 的图象可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变换而得到?

(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点,而后列表、描点、连线即可. φ? ? (2)变换法作图象的关键看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移, 对于后者可利用 ωx+φ=ω?x+ω? ? ? 来确定平移单位. ?1 π? 【变式训练 1】 已知函数 f(x)=3sin?2x-4?,x∈R. ? ? (1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y=sin x 的图象作怎样的变换可得到 f(x)的图象? 考点二 求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式
? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, | ? |? ? )的一段图象如下图所示,求函

【例 2】已知函数 y
数的解析式.

2
3?

?

? 0
8 ?2

8

解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定 A,h 的值, 函数的周期确定 ω 的值,再根据函数图象上的一个特殊点确定 φ 值. π 【变式训练 2】 已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|<2,ω>0)的图象的一部分如 图所示. (1)求 f(x)的表达式; (2)试写出 f(x)的对称轴方程.

考点三

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用

π 【例 3】已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ<2)的图象与 x 轴的交点中,相邻 π ?2π ? 两个交点之间的距离为2,且图象上的一个最低点为 M? 3 ,-2?. ? ? ? π π? (1)求 f(x)的解析式;(2)当 x∈?12,2?时,求 f(x)的值域. ? ?

1 利用三角函数图象与 x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的2个最小正周期,去求解 参数 ω 的值,利用图象的最低点为三角函数最值点,去求解参数 A 的值等.在求函数值域时,由定义 域转化成 ωx+φ 的范围,即把 ωx+φ 看作一个整体. ?π ? 【变式训练 3】已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象过点 P?12,0?,图象上与点 P 最近的一 ? ? ?π ? 个最高点是 Q?3,5?. ? ? (1)求函数的解析式; (2)求函数 f(x)的递增区间.

五、 【知识拓展】

求解三角函数的最值问题

? π? 【示例】已知函数 f(x)=4cos xsin ?x+6?-1. ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)求 f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ?

六【课堂达标】 1、将函数 y
? ? ? ? sin ? 6 x ? ? 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 4 ? ?
?
8

3 倍,纵坐标不变,再把所得函数的图

象向右平行移动 A. ?
?? ? ,0 ? ? 2 ?

个单位长度,得到的函数图象的一个对称中心是
?? ? ,0 ? ? 4 ?

B. ?

C. ?

??

? ,0 ? ? 9 ?

D. ?

? ?

? ,0 ? ? 16 ?

2、已知函数 f ? x ? ? A sin ? ? x ? ? ? 如图所示,则 f ? x ? 的解析式是 A. f ? x ? ? C. f ? x ? ?
? ? ? 2 sin ? ? x ? ? ? x ? R ? 6 ? ?
? ? ? 2 sin ? ? x ? ? ? x ? R ? 3 ? ?

? ? ( x ? R, A ? 0, ? 0, ?

?
2

)的图象(部分)

B. f ? x ? ? D. f ? x ? ?

? ? ? 2 sin ? 2 ? x ? ? ? x ? R ? 6 ? ?
? ? ? 2 sin ? 2 ? x ? ? ? x ? R ? 3 ? ?

3、将函数 y

? sin 2 x

的图象向上平移 1 个单位长度,再向右平移
?
4

?
4

个单位长度,所得图象对应的函数
?
4

解析式( A. y ? 2 cos 2 x

) B. y ? 2 sin 2 x C. y
? 1 ? sin ( 2 x ? )

D. y

? 1 ? sin ( 2 x ?

)

4、函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ?? A > 0 , ? >0, ? < 则 ? , ? 的值分别为 A. 2 ,
?
3

? ? ? 的部分图象如图所示, 2 ?

B. 3 ,

?
6

C. 3 ,

?
3

D. 2 ,

?
6
1 3

5、 若将函数 y

? 2 sin ( x ? ? ) 的图像上每个点的横坐标缩短为原来的

倍 (纵坐标不变) 再向右平移 ,

?
4

个单位后得到的图像关于点 ( A.
?
4

?
3

, 0)

对称,则 ? 的最小值是( C.
?
2

) D.
3? 4

B.

?
3

6、已知函数图象
5? 12 1 1? 12 , ? 3)

y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? ?

?
2

)

上相邻的最高点与最低点的坐标分别为

(

, 3), (

,求该函数的解析式.


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