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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版必修二第二章 解析几何初步 章末复习课


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题型一

数形结合思想
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br />数形结合思想, 其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合 起来, 即把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问 题、 理解问题并解决问题的思维方法. 数形结合一般包括两个 方面,即以“形”助“数”,以“数”解“形”. 本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题,如距离、 倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”,因此 这些问题若利用直观的几何图形处理会收到很好的效果.

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例 1 设点 P(x,y)在圆 x2+(y-1)2=1 上. y+2 求 的最小值. x+1 y+2 解 式子 的几何意义是点 P(x,y)与定 x+1
点(-1,-2)连线的斜率.如图,当为切线 y+2 l1 时,斜率最小.设 =k, x+1 即 kx-y+k-2=0,由直线与圆相切,
|-1+k-2| 得 =1, 2 k +1 4 y+2 4 解得 k=3.故 的最小值是3. x+1

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跟踪训练 1 讨论直线 y=x+b 与曲线 y= 4-x2的交点的个数.
解 如图所示,在坐标系内作出曲线 y= 4-x2的图像(半圆).
直线 l1:y=x-2,
本 直线 l2:y=x+2 2. 课 当直线 l:y=x+b 夹在 l1 与 l2 之间(包括 l1、l2)时, 时 栏 l 与曲线 y= 4-x2有公共点; 目 开 进一步观察交点的个数可有如下结论: 关

①当 b<-2 或 b>2 2时, 直线 y=x+b 与曲线 y= 4-x2无公共点; ②当-2≤b<2 或 b=2 2时,直线 y=x+b 与曲线 y= 4-x2仅有 一个公共点.

③当 2≤b<2 2时,直线 y=x+b 与曲线 y= 4-x2有两个公共点.

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题型二 分类讨论思想的应用

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分类讨论思想是中学数学的基本方法之一,是历年高考
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的重点,其实质就是整体问题化为部分问题来解决,化 成部分问题后,从而增加了题设的条件.在用二元二次 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆时要分类讨论; 直线 方程除了一般式之外,都有一定的局限性,故在应用直 线的截距式方程时,要注意到截距等于零的情形;在用 到与斜率有关的直线方程时,要注意到斜率不存在的 情形.

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例 2 过点 P(-1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线,使 它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1,求这两条直线方程.
解 (1)当两条直线的斜率不存在时, 两条直线的方程分别为
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x=-1,x=0,它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1,符合 题意; (2)当直线的斜率存在时,设其斜率为 k,则两条直线的方程分
别为 y=k(x+1),y-2=kx. 2 令 y=0,得 x=-1 与 x=-k . 2 由题意得|-1+ k|=1,即 k=1.

∴直线的方程为 y=x+1,y=x+2, 即 x-y+1=0,x-y+2=0.
综上可知,所求的直线方程为 x=-1,x=0 或 x-y+1=0, x-y+2=0.

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跟踪训练 2 求过点 A(3,1)和圆(x-2)2+y2=1 相切的直线 方程.
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解 当所求直线斜率存在时,设其斜率为 k, 则直线方程为 y-1=k(x-3),即 kx-y+1-3k=0. ∵直线与圆相切, |2k-0+1-3k| ∴d= =1,解得 k=0. 2 1+k 当所求直线斜率不存在时,x=3 也符合条件. 综上所述,所求直线的方程是 y=1 和 x=3.

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题型三 与圆有关的最值问题

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与圆有关的最值问题,往往是已知圆的方程 f(x,y)=0, y 求x,y-x,x2+y2 等量的最值或范围.解决的方法是: y 设(x,y)是圆上任一点,分别把给定的式子x,y-x,x2 +y2 赋予一定的几何意义,这样就把有关最值问题转化 成点、直线与圆的位置关系问题,再根据圆的几何性质 确定最值.

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例 3 已知实数 x,y 满足方程 x2+y2-4x+1=0. (1)求 y-x 的最大值和最小值;
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(2)求 x2+y2 的最大值和最小值. 解 (1)方程 x2+y2-4x+1=0 可化为(x-2)2+y2=3,表示
以(2,0)为圆心,以 3为半径的圆. 设 y-x=b,则 y-x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的截 距,当直线 y=x+b 与圆相切时,纵截距 b 取得最大值或 |2-0+b| 最小值,此时 = 3,解得 b=-2± 6. 2 所以 y-x 的最大值为-2+ 6,最小值为-2- 6.

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(2)x2+y2 表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何 知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值
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和最小值.

又因为圆心到原点的距离为 ?2-0?2+?0-0?2=2, 所以 x2+y2 的最大值是(2+ 3)2=7+4 3, x2+y2 的最小值是(2- 3)2=7-4 3.

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跟踪训练 3 如果实数 x, 满足方程(x-3)2+(y-3)2=6, y 求: y (1)x的最大值与最小值;
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(2)x+y 的最大值与最小值.
(1)设方程(x-3)2+(y-3)2=6 所表示的圆 C 上的任意一 y y 点 P(x,y). 的几何意义就是直线 OP 的斜率,设 =k,则直线 x x 解 OP 的方程为 y=kx.

由图①可知,当直线 OP 与圆相切时,斜率取最值.

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|3k-3| |3k-3| 因为点 C 到直线 y=kx 的距离 d= 2 ,所以当 2 = k +1 k +1 6,即 k=3± 2时,直线 OP 与圆相切. 2 y 所以x的最大值与最小值分别是 3+2 2与 3-2 2.
(2)设 x+y=b,则 y=-x+b,由图②知,当直线与圆 C 相 切时,截距 b 取最值.而圆心 C 到直线 y=-x+b 的距离 |6-b| 为 d= . 2

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|6-b| 因为当 = 6,即 b=6± 3时,直线 y=-x+b 与圆 C 相 2 2 切,所以 x+y 的最大值与最小值分别为 6+2 3与 6-2 3.

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题型四 对称问题的求法

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对称问题主要有两大类:中心对称与轴对称两大类. 1.中心对称
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(1)两点关于点对称:设 P1(x1,y1),P(a,b),则 P1(x1,y1)关于 P(a,b)对称的点为 P2(2a-x1,2b-y1),即 P 为线段 P1P2 的中点. (2)两直线关于点对称:设直线 l1,l2 关于点 P 对称,这 时其中一条直线上任一点关于点 P 对称的点在另外一条 直线上,必有 l1∥l2,且 P 到 l1、l2 的距离相等. 2.轴对称 两点关于直线对称:设 P1,P2 关于直线 l 对称,则直线 P1P2 与 l 垂直,且 P1P2 的中点在 l 上.

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例 4 已知直线 l:y=3x+3,试求: (1)点 P(4,5)关于直线 l 的对称点的坐标; (2)直线 l 关于点 A(3,2)对称的直线方程.
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(1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′(x′, y′), PP′ 则

的中点 M 在直线 l 上,且直线 PP′垂直于直线 l.
x′+4 ?y′+5 ? =3· +3 2 ? 2 即? ?y′-5 3=-1 ?x′-4· ?
∴P′点的坐标为(-2,7).
?x′=-2 ? ,解得? ?y′=7 ?

.

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(2)设直线 l 关于点 A(3,2)对称的直线为 l3,则直线 l 上任一 点 P(x1,y1)关于点 A 的对称点 P3(x3,y3)一定在直线 l3 上,
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?x1+x3 ? =3 ? 2 反之也成立.∴? ?y1+y3 ? 2 =2 ?

?x =6-x ? 1 3 ? ,解得 ?y1=4-y3 ?



代入 l 的方程后,得 3x3-y3-17=0.
即 l3 的方程为 3x-y-17=0.

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跟踪训练 4 在直线 l:3x-y-1=0 上求一点 P,使得: (1)P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差最大; (2)P 到 A(4,1)和 C(3,4)的距离之和最小. 解 (1)如图,B 关于 l 的对称点 B′(3,3).
?2x+y-9=0 ? AB′:2x+y-9=0,由? ?3x-y-1=0 ?
?x=2 ? 解得? ?y=5 ?

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,即 P(2,5). 3 24 (2)C 关于 l 对称点 C′( , ),由图像可知:|PA|+ 5 5
|PC|≥|AC′|.
11 26 当 P 是 AC′与 l 的交点 P( , )时“=”成立, 7 7 11 26 ∴P( , ). 7 7

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1.在平面解析几何中,用代数知识解决几何问题时应首先 挖掘出几何图形的几何条件,把它们进一步转化为代数
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方程之间的关系求解. 2.初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题,本章则主 要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质,如果我 们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题,将在处理 圆的有关问题时收到意想不到的效果. 圆是非常特殊的几何图形,它既是中心对称图形又是轴 对称图形,它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起 到事半功倍的作用,所以在实际解题中常用几何法,充 分结合圆的平面几何性质.那么,我们来看经常使用圆 的哪些几何性质:

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(1)圆的切线的性质:圆心到切线的距离等于半径;切点与 圆心的连线垂直于切线;切线在切点处的垂线一定经过圆
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心;圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角 形的三个顶点等等. (2)直线与圆相交的弦的有关性质:相交弦的中点与圆心的 连线垂直于弦所在直线; 弦的垂直平分线(中垂线)一定经过 圆心;弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边, 满足勾股定理. (3)与直径有关的几何性质:直径是圆的最长的弦;圆的对 称轴一定经过圆心;直径所对的圆周角是直角.


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