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课件1:指数函数及其性质


高中数学必修 ①
§2.1.2指数函数及其性质

二、问题引入
问题一、比较下列指数的异同,能不能把它们看成函数值?

①、

2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ;
1 3

1 3

1 2

0

1

2

2

y?2
2

x

?1? ②、 ? ? ?2?

?1? ,? ? ?2?

1 2

?1? ,? ? ?2?

0

?1? ,? ? ? 2?

1

?1? ?1? ,? ? ,? ? ; ? 2? ? 2?

2

函数值??什 么函数?

?1? y?? ? ?2?

x

一、问题引入
问题二、认真观察并回答下列问题:

(1)、一张白纸对折一次得两层,对折两次得4层,对折3次得8层, 问若对折 x 次所得层数为y,则y与x 的函数关系是:

y ? 2 ,( x ? N )
x

(2)、一根1米长的绳子从中间剪一次剩下 米,再从中间剪一次 剩下 米,若这条绳子剪x次剩下y米,则y与x的函数关系是:

?1? y ? ? ? , (x ? N ) ? 2?

x

三、探究新课
前面我们从两列指数和两个实例抽象得到两个函数:

?1? y ? 2 与y ? ? ? ?2?
x

x

1.指数函数定义: 函数 y ? a (a?0,且a ?1)叫做指数函数,其中x是自变量 . 函数的定义域是R .
x

思考:为何规定a?0,且a?1?
? ?

0

1

a

三、探究新课
思考:为何规定a?0,且a?1?
? ?

0

1

a

x y ? ( ? 2) 若a<0,如 这时对于x= 1/4,1/2,在实数范围

x ? 当 x ? 0 时 , a 等于0 ? 若a ? 0, ? x 当 x ? 0 时 , a 无意义 ? ?

内的函数值不存在. 若a=1时,函数值y恒等于1,没有研究的必要.
x y ? a 只有满足 (a?0,且 1 a ?1) 的形式才能称为指数函数,

a为常数,象y=2-3x ,y=2x , y ? x x , y ? 3x ?5 , y ? 3x ? 1等等, 不符合的形式,所以不是指数函数。

思考:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么?
(1) y (4)

? 2x ? 2

y ??x x (7) y ? x

(2)y (5)

? (?2)
2

x

(3)

y ? ?2x
? 4 x2
a ? 2)

y?x

(6)y
x

(8)y ? (a ?1) ( >1,且

a

用描点法作函数 y ? 2x
x … -3 -2 -1

和 y ? 3x
0 1 2

的图像
3 …

y=2x y=3x

… 1/8 … 1/27

1/4 1/9

1/2 1/3

1 1

2 3

4 9

8 27

… …

函 数 图 像 特 征
(a>1)

y y ? 3x

y?2

x

1
-3 -2 -1

o

1

2

3

x

用描点法作函数 y ? ( 1 ) x
2

1 和 y ? ( )x 3

的图像

x … -3 y=2-x … 8 y=3-x … 27 函 数 图 像 特 征
(0<a<1)
1 y ? ( )x 2

-2 4 9
1 y ? ( )x 3

-1 2 3 Y

0 1 1

1 2 3 … 1/2 1/4 1/8 … 1/3 1/9 1/27 …

Y=1
O X

1x y ? ( ) 1x 1.观察右边图象,回答下列问题: 3 y?( ) 2 问题一:

y=3X

图象分别在哪几个象限?
答:四个图象都在第 Ⅰ、Ⅱ 象限

Y

y = 2x

问题二: 图象的上升、下降与底数a有联系吗? O

Y=1

X

a > 1 0 < a < 1 答:当底数__时图象从左到右是上升;当底数____时 图象从左到右是下降. 顺 底数a由大变小时函数图像在第一象限内按___时针方向

旋转。 问题三: 图象中有哪些特殊的点? . ( 0,1) 答:四个图象都经过点____.

2.指数函数的图象和性质
a>1
y

0<a<1
y=ax (0<a<1) y=1
x 0

图 象

y=1 0

y=ax (a>1) (0,1)

y
(0,1) x

a>1

0<a<1

1.图象全在x轴上方,与x轴无限接近。 函

a>1 0<a<1 1.定义域为R,值域为(0,+?). 2.当x=0时,y=1 3.在R上是增 3.在R上是减 函数 函数 4.当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1. 4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1.


象 特 征

2.图象过定点(0,1) 3.自左向右图 3.自左向右图 象逐渐上升 象逐渐下降 4.图象分布在左 下和右上两个 区域内 4.图象分布在左 上和右下两个区 域内

数 性 质

四.应用举例
例6: 已知指数函数(>0且≠1)的图象过点(3,π) 求 f (0), f (1), f (?3)的值.
分析:要求 f (0), f (1), f (?3)的值. 就要先求出指数函数的 解析式,也就是要先求a的值。根据函数图像过点(3,π) 这一条件,可以求得底数 a 的值。
x f ( x ) ? a 解:因为 的图象过点(3,π),所f(3)= π, 1 x 3 即 a ?π ,解得 ,于是 3 a ?π 3 f ( x ) ? π 所以, .

1 f (0) ?π ? 1,f (1) ?π ,f (?3) ?π ? π
0 ?1

1 3

五.巩固练习
第58页.练习1, 2, 3题。

六、小结思考
1、指数函数概念: 函数y = ax (a?0,且a ?1)叫做指数函数, 其中x是自变量 .函数的定义域是R . 2、指数比较大小的方法:

①、构造函数法:要点是利用函数的单调性,数的特 征是同底不同指(包括可以化为同底的),若底数是 参变量要注意分类讨论。 ②、搭桥比较法:用别的数如0或1做桥。数的特 征是不同底不同指。

3、指数函数的性质:
(1)定义域: (2)函数的特殊值: (3)函数的单调性: ; 值 域:

◆方法指导:利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的
方法,记忆指数函数性质时可以联想它的图像;


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