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揭阳市2014年一模试卷及答案【理科数学】


绝密★启用前

揭阳市 2014 年高中毕业班第一次高考模拟考试

数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不 按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.若复数 z 满足: iz ? 3 ? 4i ,则 z ? A.1 2.设函数 f ( x ) ? B.2 C. 5 D.5

1 的定义域为 M ,函数 g ( x) ? lg(1 ? x) 的定义域为 N ,则 1? x
B. M ? N ? R C. CR M ? [1, ??) D. CR N ? (??, ?1)

A. M ? N ? (?1,1]

3.设平面 ? 、 ? ,直线 a 、 b , a ? ? , b ? ? ,则“ a / / ? , b / / ? ” 是“ ? / / ? ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.下列函数是偶函数,且在 [0,1] 上单调递增的是 A. y ? sin( x ?
2

?
2

)

B. y ? 1 ? 2cos 2 x
2
1

C. y ? ? x D. y ?| sin(? ? x) | 5.一简单组合体的三视图如图(1)所示,则该组合体的 体积为 A. 16 ? ? B. 12 ? 4? C. 12 ? 2? D. 12 ? ?

1

2 正视图

1

0.5

2 侧视图

0.5

图(1)

俯视图

揭阳市 2014 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(理科)试题 第 1 页(共 4 页)

开始

6.如图(2)所示的程序框图,能使输入的 x 值与输出的 y 值 相等的 x 值个数为 A.1 B.2 C.3 D.4
2 7.设点 P 是函数 y ? ? 4 ? ( x ? 1) 图象上的任意一点,

输入x x≤2? 是 否 否

点 Q(2a, a ? 3) ( a ? R ),则| PQ | 的最小值为

y=x2

x≤5?
是 y=2x-3

y=

1 x

8 5 A. ?2 5

B.

5

C. 5 ? 2

7 5 D. ?2. 5

输出y 结束

图(2)

8.定义一个集合 A 的所有子集组成的集合叫做集合 A 的幂集,记为 P( A) ,用 n( A) 表示有限集

A 的元素个数,给出下列命题:①对于任意集合 A,都有 A ? P( A) ;②存在集合 A,使得

n[ P( A)] ? 3 ;③用 ? 表示空集,若 A ? B ? ?, 则 P( A) ? P( B) ? ? ;④若 A ? B, 则 P( A) ? P( B) ;⑤若 n( A) ? n( B) ? 1, 则 n[ P( A)] ? 2 ? n[ P( B)]. 其中正确的命题个数为
A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9 . 若点 (a, 27) 在函数 y ? 3 的图象上,则 tan
x

? 的值 a

频率/组距





x
0.0150 0.0100

10.根据某固定测速点测得的某时段内过往的 100 辆机 动车的行驶速度(单位:km/h)绘制的频率分布直方图如
0.0050

图(3)所示.该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速 度为 60 km/h~120 km/h,则该时段内过往的这 100 辆机 动车中属非正常行驶的有 辆,图中的 x 值为

0.0025 0

40

60

80 100 120 140 图(3)

(km/h)



11.已知向量 a 、 b 满足 | a |? 1,| b |? 3 ,且 (3a ? 2b) ? a ,则 a 与 b 的夹角为 12.已知首项为正数的等差数列 ?an ? 中, a1a2 ? ?2 .则当 a3 取最大值时,数列 {an } 的公差

?

?

?

?

?

?

?

?

?



d?



13.从 [0,10] 中任取一个数 x,从 [0,6] 中任取一个数 y,则使 | x ? 5 | ? | y ? 3|? 4 的概率 为 .

揭阳市 2014 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(理科)试题 第 2 页(共 4 页)

(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)[来已知直线 l : ?

? x ? 1? t ( t 为参数且 t ? R )与曲线 ? y ? 3 ? 2t
.

? x ? cos ? ( ? 是参数且 ? ? ? 0 , 2? ? ),则直线 l 与曲线 C 的交点坐标为 C: ? ? y ? 2 ? cos 2?
15.(几何证明选讲选做题)如图(4),AB 是半圆的直径,C 是 AB 延长线上一点,CD 切半圆于点 D,CD=2,DE⊥AB,垂足为 E, 且 E 是 OB 的中点,则 BC 的长为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

sin 2 x ? 2sin x. sin x

(1)求函数 f ( x) 的定义域和最小正周期; (2)若 f (? ) ? 2, ? ?[0, ? ], 求 f (? ? 17. (本小题满分 12 分) 图(5)是某市 2 月 1 日至 14 日的空气质量 指数趋势图, 空气质量指数(AQI)小 于 100 表示空 气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 2 月 1 日至 2 月 12 日中 的某一天到达该市,并停留 3 天.

?
12

) 的值.

(1)求此人到达当日空 气质量为重度污染的概率; (2)设 ? 是此人停留期间空气重度污染的天数,求 ? 的分布列与数学期望. 揭阳市 2014 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(理科)试题 第 3 页(共 4 页)

18. (本小题满分 14 分) 如图(6),四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形,侧棱 SA⊥底面 ABCD, 过 A 作 AE 垂直 SB 交 SB 于 E,作 AH 垂直 SD 交 SD 于 H,平面 AEH 交 SC 于 K,且 AB=1,SA=2. (1)设点 P 是 SA 上任一点,试求 PB ? PH 的最小值; (2)求证:E、H 在以 AK 为直径的圆上; (3)求平面 AEKH 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值. 19. (本小题满分 14 分) 已知正项数列 {an } 满足: an ? (n ? n ? 1)an ? (n ? n) ? 0(n ? N ? ) ,数列 {bn } 的前 n 项和
2 2 2

为 S n ,且满足 b1 ? 1 , 2Sn ? 1 ? bn (n ? N ? ) . (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

(2n ? 1)bn ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: T2 n ? 1 . an

20. (本小题满分 14 分) 如图(7)所示,已知 A、B、C 是长轴长为 4 的椭圆 E 上的三点,点 A 是长轴的一个端点,BC 过椭圆中心 O, 且 AC ? BC ? 0 ,|BC|=2|AC|. (1)求椭圆 E 的方程; (2)在椭圆 E 上是否存点 Q,使得 | QB |2 ? | QA|2 ? 2 ? 若存在,有几个(不必求出 Q 点的坐标) ,若不存在,请说明理由;

4 的两条切线,切点分别为 3 1 1 M、N,若直线 MN 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 m、n,证明: ? 2 为定值. 2 3m n
(3)过椭圆 E 上异于其顶点的任一点 P,作 ? O : x ? y ?
2 2

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? 1(a ? 0). (1)当 a ? 1 且 x ? 1 时,证明: f ( x) ? 3 ?

4 ; x ?1

(2)若对 ?x ? (1, e) , f ( x) ? x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)当 a ?
n ?1 1 时,证明: ? f (i ) ? 2(n ? 1 ? n ? 1) . 2 i ?2

揭阳市 2014 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(理科)试题 第 4 页(共 4 页)

揭阳市 2014 年高中毕业班高考第一次模拟考

数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和 难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的 解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一、选择题:DCBD DCCB 解析:5.由三视图知,此组合体为一个长为 4,宽为 3,高为 1 的长方体、中心去除一个半径为 1 的圆柱,故其体积为 3 ? 4 ?1 ? ? ?1 ?1 ? 12 ? ?
2

? ? x 2 , ( x ? 2) ? 6.由框图知,x 与 y 的函数关系为 y ? ?2 x ? 3, (2 ? x ? 5) ,由 y ? x 得 ?1 ? .( x ? 5) ?x
若 x ? 2 ,则 x ? x ? x ? 0 或 x ? 1 ,若 2 ? x ? 5 ,则 2 x ? 3 ? x ? x ? 3 ,若 x ? 5 ,显
2

1 然 ? x ,故满足题意的 x 值有 0,1,3,故选 C. x 7.如图示,点 P 在半圆 C 上,点 Q 在直线 x ? 2 y ? 6 ? 0 上,过圆心
C 作直线的垂线,垂足为 A,则 | PQ |min ?| CA | ?2 ? 5 ? 2 ,故选 C.

y

o

C

x-2y-6=0 x A

8.由 P( A) 的定义可知①、④正确,又若 A ? B ? ?, 则 P( A) ? P( B) ? {?} ,设 n( A) ? n, 则

n( P( A)) ? 2n , 所以②错误,⑤正确,故选 B。
二、填空题:9. 3 ;10.15、0.0175;11.

2 3 1 ? ;12.-3;13. ;14.(1,3); 15. . 3 2 6

解析:10.由直方图可知,这 100 辆机动车中属非正常行驶的有 (0.0025+0.005) ? 20 ?100=15 (辆) ,x 的值= [1 ? (0.0025 ? 0.0050 ? 0.0100 ? 0.0150) ? 20] ? 20 ? 0.0175 . 11.由 (3a ? 2b) ? a 得 (3a ? 2b) ? a ? 3 | a | ?2a ? b ? 0
2

?

?

?

?

? ?

?

? ?

揭阳市 2014 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(理科)试题 第 5 页(共 4 页)

? ? ? ? ? ? 3 ? ? ? 3 3 ? 3 ? ? ? ?? a, b ?? . ? a ? b ? | a |2 ? ?| a | ? | b | cos ? a, b ? , cos ? a, b ?? 2 6 2 2 2 3
12.设数列 ?an ? 的公差为 d ,由 a1a2 ? ?2 得 a1 (a1 ? d ) ? ?2 ? d ? ?

2 ? a1 ,则 a1

a3 ? a1 ? 2d ? ?(

4 4 4 4 ? a1 ) , ? a1 ? 4 , 因 a1 ? 0, 故 ? a1 ? 2 当且仅当 ? a1 , 即 a1 ? 2 a1 a1 a1 a1

“=”成立,这时 a3 取得最大值,由 a1 ? 2 得 a2 ? ?1 ,所以 d ? ?3 。 13.如右图,使 | x ? 5 | ? | y ? 3|? 4 是图中阴影部分,故所求的概率

1 ( 1+4) ?3 S阴影 4 ? 2 ? 1 P? = = 60 60 2
14.把直线 l 的参数方程化为普通方程得 2 x ? y ? 5 ,把曲线 C 的参数方程化为普通方程得

? y ? 1 ? 2 x 2 ( ?1 ? x ? 1) y ? 1 ? 2 x 2 (?1 ? x ? 1) ,由方程组 ? 解得交点坐标为(1,3) 【或将 ?2 x ? y ? 5
曲线 C 的参数方程化为普通方程得 y ? 1 ? 2 x (?1 ? x ? 1) 后将 ?
2

? x ? 1? t 代入解得 ? y ? 3 ? 2t

】 t ? 0 ,进而得点坐标为(1,3) 15.?DE 为 OB 的中垂线且 OD=OB,? ?OBD 为等边三角形, ?COD ? 60 ,
0

OD ?

2 3 4 3 2 3 2 3 , BC ? OC ? OB ? ? ? . 3 3 3 3

三、解答题: 16.解: (1)由 sin x ? 0, 解得 x ? k? ( k ? Z ) , 所以函数 f ( x ) 的定义域为 { x | x ? k? ( k ? Z )} -----------------------------------2 分

? f ( x) ?

sin 2 x ? ? ? ? 2sin x ? 2cos x ? 2sin x ? 2 2(sin cos x ? cos sin x) ? 2 2 sin( ? x). --4 分 sin x 4 4 4

? f ( x ) 的最小正周期 T ?

2? ? 2? ------------------------------------------------6 分 1

揭阳市 2014 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(理科)试题 第 6 页(共 4 页)

(2)解法 1:由 f (?) ?2 ?cos ? ? sin

?1 ? ? 2cos sin?

0, ??

---------------------8 分

?? ?[0, ? ] 且 sin ? ? 0 ,?? ?
∴ f (? ?

?
2

. ----------------------------------------------10 分

? ? 5? ) ? 2 2 sin( ? ? ? ) ? 2 2 sin ? 2. --------------------------------12 分 12 4 12 6

?

解法 2:由 f (? ) ? 2, ? ?[0, ? ], 得 sin ? ? cos ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? sin ? , 代入 sin ? ? cos ? ? 1 得 sin ? ? (1 ? sin ? ) ? 1 ? 2sin ? (sin ? ? 1) ? 0 ,------------8 分
2 2
2 2

? sin ? ? 0
∴ f (? ?

∴ sin ? ? 1,又?? ? [0, ?] ,?? ?

?
2

. ------------------------------10 分

? ? 5? ) ? 2 2 sin( ? ? ? ) ? 2 2 sin ? 2. --------------------------------12 分 12 4 12 6

?

17.解:设 Ai 表示事件“此人于 2 月 i 日到达该市”( i =1,2,?,12). 依题意知, P ( Ai ) ?

1 ,且 Ai ? Aj ? ?(i ? j ) .---------------------------------------2 分 12

(1)设 B 为事件“此人到达当日空气质量重度污染”,则 B ? A1 ? A2 ? A3 ? A7 ? A12 , 所以 P( B) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? P( A7 ) ? P( A12 ) ? 即此人到达当日空 气质量重度污染概率为

5 . 12

5 .---------------------------------------5 分 12

(2)由题意可知, ? 的所有可能取值为 0,1,2,3 且----------------------------------6 分 P( ? =0)=P(A4∪A8∪A9)= P(A4)+P(A8)+P(A9)= P( ? =2)=P(A2∪A11)= P(A2)+P(A11) =

3 1 ? ,----------------------------------7 分 12 4

2 1 ? ,-----------------------------------------8 分 12 6 2 1 P( ? =3)=P(A1∪A12)= P(A1)+P(A12) = ? ,-----------------------------------------9 分 12 6 1 1 1 5 P( ? =1)=1-P( ? =0)-P( ? =2)-P( ? =3)= 1 ? ? ? ? ,------------------------10 分 4 6 6 12 5 (或 P( ? =1)=P(A3∪A5∪A6∪A7∪A10)= P(A3)+P(A5)+ P(A6)+P(A7)+P(A10)= ) 12
所以 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

---------------------------------11 分

1 4

5 12

1 6

1 6

揭阳市 2014 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(理科)试题 第 7 页(共 4 页)

故 ? 的期望

1 5 1 1 5 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .-------------------------------------------12 分 4 12 6 6 4
18. (1)将侧面 SAB 绕侧棱 SA 旋转到与侧面 SAD 在同一平面内,如右图示,则当 B、P、H 三点 共线时, PB ? PH 取最小值,这时, PB ? PH 的最小值即线段 BH 的长,---------------1 分 S 设 ?HAD ? ? ,则 ?BAH ? ? ? ? , 在 Rt ?AHD 中,∵ AH ?

在三角形 BAH 中,由余弦定理得:

SA ? AD 2 AH 2 ,∴ cos ? ? ,------2 分 ? ? SD AD 5 5 4 2 2 17 ? 2? ? (? )? 5 5 5 5
H P B A D

BH 2 ? AB 2 ? AH 2 ? 2 AB ? AH cos(? ? ? ) ? 1 ?
∴ ( PB ? PH ) min ? BH ?

85 .-----------------------------------4 分 5

(2)证明:∵SA⊥底面 ABCD,∴SA⊥BC,又 AB⊥BC, ∴BC⊥平面 SAB,又 EA ? 平面 SAB,∴EA⊥BC,-------------------------------------6 分 又∵AE⊥SB,∴AE⊥平面 SBC ,---------------------------------------------------7 分 又 EK ? 平面 SBC,∴EA⊥EK, ---------------------------------------------------8 分 同理 AH⊥KH,∴E、H 在以 AK 为直径的圆上-----------------------------------------9 分 (3)方法一:如图,以 A 为原点,分别以 AB、AD、AS 所在的直线为 x、y、z 轴,建立空间直角 坐标系如右图示,---------------------------------------------------------------10 分 则 S(0,0,2) ,C(1,1,0) ,由(1)可得 AE⊥SC,AH⊥SC,∴SC⊥平面 AEKH,

??? ? SC ? ( 1 ,1 , ? 2 ) 为平面 AEKH 的一个法向量,-------------------11 分 ??? ? AS ? ( 0 , 0 , 2 ) 为平面 ABCDF 的一个法向量,-------------------12 分

设平面 AEKH 与平面 ABCD 所成的锐二面角的平面角为 ? , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AS ? SC | 4 6 ----------------13 分 则 cos ? ?| cos ? AS ? SC ?|? | ??? ? ??? ? ? ? . 3 | AS | ? | SC | 2 6 ∴平面 AEKH 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值

6 ---14 分 3 SE SH 【方法二: 由 ?SAB ? ?SAD 可知 ,故 EH / / BD , ? SB SD 又∵ EH ? 面 AEKH, BD ? 面 AEKH, ∴ BD / / 面 AEKH. ----------------------10 分 设平面 AEKH ? 平面 ABCD=l,∵ BD / / 面 AEKH, ∴ l / / BD ----------------------------------------------11 分 ∵BD⊥AC,∴ l ⊥AC, 又 BD⊥SA,∴BD⊥平面 SAC,又 AK ? 平面 SAC, ∴BD⊥AK, ∴ l ⊥AK, ∴ ?CAK 为平面 AEKH 与平面 ABCD 所成的锐二面角的一个平面角, --------------------13 分
揭阳市 2014 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(理科)试题 第 8 页(共 4 页)

cos ?CAK ? cos ?CSA ?

6 . ---------------------------14 分】 3 2 2 2 2 19.解: (1)由 an ? (n ? n ? 1)an ? (n ? n) ? 0 ,得 ? ? an ? (n ? n) ? ? (an ? 1) ? 0 . --------2 分 2 由于 ? an ? 是正项数列,所以 an ? n ? n .--------------------------------------------3 分
∴平面 AEKH 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为 由 2Sn ? 1 ? bn 可得当 n ? 2 时, 2Sn ?1 ? 1 ? bn ?1 ,两式相减得 bn ? ?bn ?1 ,---------------5 分 ∴数列 {bn } 是首项为 1,公比 ?1 的等比数列,

2 6 ? 3 6

? bn ? (?1) n ?1. ------------------------------------------------------------------7 分 (2n ? 1)bn 2n ? 1 (2)∵ cn ? ------------------------------------------8 分 ? (?1) n ?1 ? an n(n ? 1) 4n ? 1 4n ? 1 (4n ? 1)(2n ? 1) ? (4n ? 1)(2n ? 1) 方法一:∴ c2 n ?1 ? c2 n ? ? ? 2n(2n ? 1) 2n(2n ? 1) 2n(2n ? 1)(2n ? 1) 2 1 1 -----------------------------------------------11 分 ? ? ? (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 ?T2 n ? (c1 ? c2 ) ? (c3 ? c4 ) ? ? ? (c2 n?1 ? c2 n ) ? ? ? ? ? ? ? ? 1 3 3 5 2n ? 1 2 n ? 1 1 ? 1? ? 1. ----------------------------------------------------------------14 分 2n ? 1 (2n ? 1)bn 2n ? 1 1 1 ? (?1) n ?1 ? ? (?1) n ?1 ? ( ? ) -----------------11 分 【方法二:∵ cn ? an n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?T2 n ? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? c2 n?1 ? c2 n ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? 1 2 2 3 3 4 4 5 1 1 1 1 1 ?( ? )?( ? ) ? 1? ? 1. ------------------------------------14 分】 2n ? 1 2 n 2n 2n ? 1 2n ? 1 20.解:(1)依题意知:椭圆的长半轴长 a ? 2 ,则 A(2,0),
x2 y2 ? 2 ? 1 ------------------------2 分 4 b 由椭圆的对称性知|OC|=|OB| 又∵ AC ? BC ? 0 ,|BC|=2|AC| ∴AC⊥BC,|OC|=|AC| ∴△AOC 为等腰直角三角形, ∴点 C 的坐标为(1,1),点 B 的坐标为(-1,-1) ,----4 分 4 将 C 的坐标(1,1)代入椭圆方程得 b2 ? 3 x2 3 y 2 ∴所求的椭圆 E 的方程为 ? ? 1 ----------------------------------------------5 分 4 4
设椭圆 E 的方程为 (2)解法一:设在椭圆 E 上存在点 Q,使得 | QB |2 ? | QA|2 ? 2 ,设 Q( x0 , y0 ) ,则

| QB |2 ? | QA|2 ? ? x0 ? 1? ? ? y0 ? 1? ? ? x0 ? 2 ? ? y0 2 ? 6 x0 ? 2 y0 ? 2 ? 2.
2 2 2

揭阳市 2014 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(理科)试题 第 9 页(共 4 页)

即点 Q 在直线 3x ? y ? 2 ? 0 上,---------------------------------------------------7 分 ∴点 Q 即直线 3x ? y ? 2 ? 0 与椭圆 E 的交点, ∵直线 3x ? y ? 2 ? 0 过点 (

2 2 ,0 ) ,而点椭圆 ( ,0 ) 在椭圆 E 的内部, 3 3

∴满足条件的点 Q 存在,且有两个.------------------------------------------------9 分 【解法二:设在椭圆 E 上存在点 Q,使得 | QB |2 ? | QA|2 ? 2 ,设 Q( x0 , y0 ) ,则

| QB |2 ? | QA|2 ? ? x0 ? 1? ? ? y0 ? 1? ? ? x0 ? 2 ? ? y0 2 ? 6 x0 ? 2 y0 ? 2 ? 2.
2 2 2

即 3x0 ? y0 ? 2 ? 0 ,--------①---------------------------------------------------7 分 又∵点 Q 在椭圆 E 上,∴ x0 ? 3 y0 ? 4 ? 0 ,------------------------------------------②
2 2

由①式得 y0 ? 2 ? 3x0 代入②式并整理得: 7 x0 ? 9 x0 ? 2 ? 0 ,--------------------------③
2

∵方程③的根判别式 ? ? 81 ? 56 ? 25 ? 0 , ∴方程③有两个不相等的实数根,即满足条件的点 Q 存在,且有两个.------------------9 分 (3)解法一:设点 P( x1 , y1 ) ,由 M、N 是 ? O 的切点知, OM ? MP,ON ? NP , ∴O、M、P、N 四点在同一圆上,--------------------------------------------------10 分 且圆的直径为 OP,则圆心为 ( 其方程为 ( x ?
2 2

x1 y1 , ), 2 2

x1 2 y x 2 ? y12 ) ? ( y ? 1 )2 ? 1 ,-----------11 分 2 2 4

即 x ? y ? x1 x ? y1 y ? 0 -----④ 即点 M、N 满足方程④,又点 M、N 都在 ? O 上, ∴M、N 坐标也满足方程 ? O : x ? y ?
2 2

4 ---------------⑤ 3

4 ,--------------12 分 3 4 4 令 y ? 0, 得 m ? ,令 x ? 0 得 n ? ,----------------------------------------13 分 3 y1 3 x1 4 4 ∴ x1 ? ,又点 P 在椭圆 E 上, , y1 ? 3m 3n 4 2 4 1 1 3 ∴( 即 ) ? 3( )2 ? 4 , ? 2 ? =定值------------------------------------14 分 2 3m 3n 3m n 4
⑤-④得直线 MN 的方程为 x1 x ? y1 y ?

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【解法二:设点 P( x1 , y1 ),M( x2 , y2 ),N( x3 , y3 ), 则 k PM ? ?

1 kOM

??

x2 ,---------------10 分 y2

直线 PM 的方程为 y ? y2 ? ?

x2 4 ( x ? x2 ), 化简得 x2 x ? y2 y ? , -------------------------④ y2 3

同理可得直线 PN 的方程为 x3 x ? y3 y ?

4 ,----------------⑤------------------------11 分 3

4 ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? ? 3 把 P 点的坐标代入④、⑤得 ? ?x x ? y y ? 4 1 3 1 3 ? 3 ?

4 ,-----------------------------------------------12 分 3 4 4 令 y ? 0, 得 m ? ,令 x ? 0 得 n ? ,----------------------------------------13 分 3 y1 3 x1 4 4 ∴ x1 ? ,又点 P 在椭圆 E 上, , y1 ? 3m 3n 4 2 4 1 1 3 ∴( 即 ) ? 3( )2 ? 4 , ? 2 ? =定值-----------------------------------14 分】 2 3m 3n 3m n 4 4 4 21.(1)证明:要证 f ( x) ? 3 ? ,即证 ln x ? ? 2 ? 0 ,----------------------1 分 x ?1 x ?1
∴直线 MN 的方程为 x1 x ? y1 y ? 令 m( x) ? ln x ?

1 4 ( x ? 1) 2 4 ? ? 0. ----------------------3 分 ? 2, 则 m?( x) ? ? x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2 x ?1

∴ m( x) 在 (1, ??) 单调递增,? m( x) ? m(1) ? 0 ,

? ln x ?

4 4 成立.-------------------------------------4 分 ? 2 ? 0 ,即 f ( x) ?3 ? x ?1 x ?1 x ?1 (2)解法一:由 f ( x) ? x 且 x ? (1, e) 可得 a ? , ---------------------------------5 分 ln x 1 ln x ? 1 ? x ?1 x , ------------------------------------------------6 分 令 h( x ) ? , h?( x) ? 2 ln x (ln x)
n x? 1? 由(1)知 l 1 1 4 ( x1 ? ) 2 ?1 ? ? ? ? 0, -----------------------------------8 分 x x x ?1 x x ( ? 1 )

? h?( x) ? 0, 函数 h( x) 在 (1, e) 单调递增,当 x ? (1, e) 时, h( x) ? h(e) ? e ?1,
揭阳市 2014 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(理科)试题 第 11 页(共 4 页)

?a ? e ?1 .--------------------------------------------------------------------9 分 a a?x 【解法二:令 h( x) ? a ln x ?1 ? x ,则 h '( x) ? ? 1 ? ,-------------------------5 分 x x
当 a ? e 时, h '( x) ? 0 ,函数 h( x ) 在 (1, e) 上是增函数,有 h( x) ? h(1) ? 0 ,-------------6 分 当 1 ? a ? e 时,∵函数 h( x ) 在 (1, a ) 上递增,在 (a, e) 上递减, 对 ?x ? (1, e) , f ( x) ? x 恒成立,只需 h(e) ? 0 ,即 a ? e ? 1.------------------------7 分 当 a ? 1 时,函数 h( x ) 在 (1, e) 上递减,对 ?x ? (1, e) , f ( x) ? x 恒成立,只需 h(e) ? 0 , 而 h(e) ? a ? 1 ? e ? 0 ,不合题意,-------------------------------------------------8 分 综上得对 ?x ? (1, e) , f ( x) ? x 恒成立,a ? e ? 1. ----------------------------------9 分】 【解法三:由 f ( x) ? x 且 x ? (1, e) 可得 由于

1 ln x ? , ---------5 分 a x ?1

ln x 表示两点 A( x, ln x), B(1, 0) 的连线斜率,--------6 分 x ?1 ln x 由图象可知 y ? 在 (1, e) 单调递减, x ?1 ln x ln e 1 故当 x ? (1, e) 时, ? ? , ------------------8 分 x ?1 e ?1 e ?1 1 1 即 a ? e ? 1-------------------------------------------------------9 分】 ?0 ? ? a e ?1
(3)当 a ?
n ?1 i ?2 n ?1 1 1 1 时, f ( x) ? ln x ? 1. 则 ? f (i ) ? ln(n ? 1)!? n , 2 2 2 i ?2 n ?1 i ?2

要证

?

f (i) ? 2(n ? 1 ? n ? 1) ,即证 ? ln i ? 2n ? 4 ? 4 n ? 1 ----------------------10 分
4 ,又 n?2

由(1)可知 ln(n ? 1) ? 2 ?

n ? 2 ? (n ? 1) ? 1 ? 2 n ? 1 ? n ? 1 ? n ,?
∴ ln(n ? 1) ? 2 ?

4 4 ? , ------------------11 分 n?2 n ?1 ? n

4 ? 2 ? 4( n ? 1 ? n ), n ?1 ? n

∴ ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln(n ? 1) ? 2n ? 4[( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ? ? ? ( n ? 1 ? n )]

=2n ? 4 ? 4 n ? 1 , -------------------------------------------------------------13 分
揭阳市 2014 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(理科)试题 第 12 页(共 4 页)



? f (i) ? 2(n ? 1 ?
i ?2

n ?1

n ? 1) 得证.-----------------------------------------------14 分

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