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湖南省六校联盟2017届高三上学期12月联考试题 数学(文)


六校联盟高三年级联考试卷 文科数学试题
时量:120 分钟 分值:150 分 命题人:周流金(醴陵一中)张先祥(浏阳一中)彭小飞(株洲二中) 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知复数 Z 满足 Z ? i ? 1 ? i ,则 Z 的共

轭复数 Z 的虚部是 ( A.1 B. ? i C. i D. ?1 ) )

2 2.已知集合 A ? x y ? lg( x ? 1) , B ? x x ? 2 x ? 0 ,则 A ? B ? (

?

?

?

?

A. x x ? 1

? ? ? ? ? ? 3.已知向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ? x, ?2 ? ,若 a ? b 与 a ? b 平行,则实数 x 的值是(
A.4 B.1
2

?

?

B.

? x x ? 0?

C.

? x 0 ? x ? 2?
D. ? 4

D.

? x 1 ? x ? 2?



C. ? 1

4.设 a, b ? R ,则“

a ? 0 ”是“ a ? b ”的( a ?b



A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

5.函数 f ( x) ? xe x ? x ?1 的零点的个数为(

A.0

B. 1 C. 2 D. 3 6.已知等比数列 ?an ? 为递增数列.若 a1>0,且 2(an+an+2) =
5an+1,则数列 ?an ? 的公比 q=( 1 A.2 或 2 7. 若? ?? B. 2 ) 1 C. 2 D.-2 )

?? ? ?? ? ( , ? ? ,则 3cos 2? ? sin ? ? ? ? ,则 sin 2? 的值为 ?2 ? ?4 ? 1 1 17 17 A. B. ? C. D. ? 18 18 18 18

8.执行如右图所示的程序框图,则输出的结果为( ) A. ? 1 B. 1 C. ? 2 D. 2 9.欧拉是科学史上一位多产的、杰出的数学家! 他 1707 年出生在瑞 士的巴塞尔城,渊博的知识,无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作,都令人惊叹不已。特 别是,他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神,即使在他双目失明以后,也没有停止对数学 的研究。在失明后的 17 年间,他还口述了几本书和 400 篇左右的论文。如果你想在欧拉的生 日、大学入学日、大学毕业典礼日、第一篇论文发表日、逝世日这 5 个特别的日子里(这五 个日子均不相同) ,任选两天分别举行班级数学活动,纪念这位伟大的科学家,则欧拉的生日 入选的概率为( ) A.

3 10

B.

2 5

C.

1 2

D.

3 5

10.已知三棱锥 S ? ?? C 外接球的表面积为 32? ,底面 ??? C 为正三角形, SC=4 其正视图和侧视图如图所示,则此三棱锥的侧面积为( ) A. 4 3 B. 2 2 ? 4 3 C. 13 3 D. 4 2 ? 2 3

4

11.已知函数 f ( x) ? ? A. ? ?2,0?

?? x 2 ? 4 x ? 3, x ? 1

?ln x, x ? 1 B. ?0,1? C. ? 0,1?

,若 f ( x) ? a ? ax ,则 a 的取值范围是( D. ? ?2,0?



x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) 12.已知 P 是椭圆 2 和双曲线 2 ? 2 ? 1(a2 ? 0, b2 ? 0) 的一个交 1 1 a1 b12 a2 b2 ? 点, F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, e1 , e2 分别为椭圆和双曲线的离心率 ?F1 PF2 ? , 3 1 1 则 ? 的最大值是( ) e1 e2
A.

2 3 3

B. 3

4 3 D. 2 3 3 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
C.
频率 组距

二、填空题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.某校为了解全校高中同学十一小长假参加实践活动的情况,抽查 了 200 名同学, 统计他们假期参加活动的时间, 绘成的频率分布直方 图如图所示, 则这 200 名同学中参加活动的时间在 6 ~ 10 小时内的 人数为 .

b a 0.12

?x ? y ?1 ? 0 ? 14.若实数 x , y 满 足 不 等 式 组 ? x ? k ,目标函数 ? x ? 2 y ? 11 ? 0 ?
z ? 2 x ? y 的最大值为 16,则 实数 k ? .
15. 已知数列 ?an ? 中,an ? 0 ,a1 ? 1 ,an ? 2 ? 16.若 f ( x) ? x ? 1 ? a ln x??( a ? 0)??, g ( x) ?

0.05 0.04
2 4

6

8

10 12 小时

1 ,a6 ? a2 ,则 a2 a ? 0 1 6 ?3 an ? 1



ex ,且对任意的 x1, x2 ??4,5? ? x1 ? x2 ? , ex


f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? |

1 1 ? | 恒成立,则实数 a 的取值范围为 g ( x1 ) g ( x2 )

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 设向量 a ? ( 3sin x,sin x) , b ? (cos x,sin x) (1)设函数 f ( x) ? a ? b ,求 f ( x ) 的单调递增区间; (2)在△ABC 中,锐角 A 满足 f ( A) ?

?

?

? ?

3 , b ? c ? 4, a ? 7 ,求△ABC 的面积. 2

18.(本小题满分 12 分)

数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? 1,等差数列 ?bn ? 满足 b3 ? a2 , b5 ? a3 . (1)分别求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)若对任意的 n ? N , ( S n ? ) ? k ? bn 恒成立,求实数 k 的取值范围.
?

1 2

19.(本小题满分 12 分) 四棱锥 P ? ABCD 中,底面为菱形,且 ?DAB ? 60?, PA ? PD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ,

M 为 CD 上一点,且 BD ? PM (1)求证: M 为线段 DC 的中点; (2)若 ?PAD ? 60?, 求二面角 P ? BM ? A 的余弦值。 P

D

M

C

A

B

20.(本小题满分 12 分)

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 的离心率为 ,点 F1 , F2 是椭圆 E 的左、 右焦点, 过 F 1 的直线与椭圆 2 2 a b E 交于 A, B 两点, 且 ?F2 AB 的周长为 8 . (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)动点 M 在椭圆 E 上,动点 N 在直线 l : y ? 2 3 上,若 OM ? ON ,探究原点 O 到直 线 MN 的距离是否为定值,并说明理由.
已知椭圆 E :

21. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? a2 ln x ? x2 ? ax(a ? 0), g ( x) ? (m ?1) x2 ? 2mx ?1 . (1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2)若 a ? 1 时,关于 x 的不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求整数 m 的最小值.

选做题(请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按第一题计分,作答时请写清 题号) 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲
? 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 过点 M ? 3, 4? ,其倾斜角为 45 ,圆 C 的参数方程为

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ,再以原点为极点,以 x 正半轴为极轴建立极坐标系,并使得它 ? ? y ? 2 ? 2sin ? 与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位.
(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于不同的两点 A, B ,求 MA ? MB 的值. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 (1)当 a=3 时,求不等式 f ( x) ? 7 的解集; (2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 ?1, 2? ,求实数 a 的取值范围.

???? ????

六校联盟高三年级联考试卷 文科数学答案与评分标准
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 1 A D C A C B C D B C D A 答案 二、填空题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 116 14. 5 15.

5 2

16. [4 ?

3 3 e ,0) 4

【15.解析】由 an ? 2 ?

1 1 ,得 a6 ? ? an ? 1 a4 ? 1

1 1 ?1 a2 ? 1

? a2 ,整理得 a22 ? 2 ? a2 ?1 ? 0 ,

an ? 0 ? a2 ?

5 ?1 1 5 ?1 1 5 ?1 ,? a4 ? ,? a6 ? , ? ? 2 a2 ? 1 2 a4 ? 1 2
5 5 ?1 1 1 ? ,则 a2016 ? a3 ? ,又 a3 ? 。 2 2 a1 ? 1 2

依次类推, a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2016 ? 【16.解析】易知 f ( x),

1 在 x ? ?4,5?上均为增函数,不妨设 x1 ? x2 ,则 g ( x)

1 1 ? | g ( x1 ) g ( x2 ) 1 1 1 1 等价于 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 即 f ( x2 ) ? ? ? f ( x1 ) ? g ( x2 ) g ( x1 ) g ( x2 ) g ( x1 ) | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?|

1 ex ? x ? 1 ? a ln x ? ,则 h( x) 在 x ? ?4,5?为减函数, g ( x) ex x a e ? x ? 1? 则 h?( x) ? 1 ? ? ? 0 在 x ? ?4,5?上恒成立, x ex 2 e x ?1 e x ?1 x ?1 ? a ? x ? e x ?1 ? , x ? ?4,5? 恒成立. , x ? ?4,5?, 令 u? x ? ? x ? e ? x x 2 ? e x ?1 ?x ? 1? 1? 3? ' x ?1 x ?1 ? 1 ? u ?x? ? 1 ? e ? ? 1 ? e ? ? ? ? ? ?, x ? ?4,5? x 2 4 x2 ? ? ? ? ? ? 2 ?? 1 1 ? 3 ? 3 Q e x ?1 ?? ? ? ? ? ? e3 ? 1,? u '( x) ? 0 ,? u ( x) 为减函数, ? ?? x 2 ? 4 ? ? 4 3 ? u ( x) 在 x ?? 4,5? 的最大值为 u (4) ? 4 ? e3 4 3 3 综上,实数 a 的取值范围为 [4 ? e ,0) . 4
令 h( x) ? f ( x) ? 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分)

1 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分 6 2 ? ? ? ? ?? ? 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 得增区间为: ? k? ? , k? ? ? (k ? Z ) ;┄┄6 分 2 6 2 6 3? ? 3 ? (2)由 f ( A) ? ,得 A ? ; ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 2 3 2 2 2 又因为 b ? c ? 4, a ? 7 ,由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 得: bc ? 3 ;┄┄┄10 分
解: (1) f ( x) ? a ? b ? 3 sin x cos x ? sin x ? sin(2 x ?
2

? ?

?

)?

所以 S?ABC ?

1 3 3 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 bc sin A ? 2 4
① , 得 n ? 2 时 an ? 2Sn?1 ? 1 ②

18. (本小题满分 12 分) 解: (1)由 an?1 ? 2Sn ? 1 又? a1 ? 1, a2 ? 2S1 ? 1 ? 3

①-②得 an?1 ? an ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? an?1 ? 3an ;┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分

??an ? 为等比数列,通项公式为: an ? 3n?1 ;┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 b ? b3 ? 3, 依题意 b3 ? a2 ? 3, b5 ? a3 ? 9 ,设等差数列 ?bn ? 的公差为 d ,则 d ? 5 2 ∴ bn ? 3 ? (n ? 3) ? 3 ? 3n ? 6 .┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分
(2) Sn ?

,? a2 ? 3a1 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分

1 a1 (1 ? q n ) 3n ? 1 ? ,则对任意的 n ? N , ( S n ? ) ? k ? bn 恒成立,即 ? 2 1? q 2 2(3n ? 6) ? k? 对任意的 n ? N 恒成立,┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 n 3

2(3n ? 6) 2(3n ? 6) 2(3n ? 9) ?2(2n ? 7) ? ? ,? Cn ? Cn ?1 ? ┄┄┄┄9 分 n 3 3n 3n ?1 3n ?1 当 n ? 3 时, Cn ? Cn?1 , n ? 4 时, Cn ? Cn ?1
令 Cn ?

∴ (Cn ) max ? C3 ?

2 2 ,则实数 k 的取值范围 k ? ┄┄┄┄┄┄12 分 9 9

.

19.(本小题满分 12 分) 解:(1)取 AD 的中点 H,连接 PH,MH,AC ? PA=PD ? PH ? AD 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,交线为 AD ? PH ? 面 ABCD ? PH ? BD 又? BD ? PM , PH ? PM ? P ? BD ? 面 PHM ? BD ? HM┄┄┄┄┄┄┄4 分 又在菱形 ABCD 中, BD ? AC ? HM∥AC ? M 为线段 DC 的中点。┄┄┄┄6 分 (2)取 BM 的中点 E,连接 PE,HE, 可证得 ? PEH 为二面角 P ? BM ? A 的平面角┄┄8 分

3 3 a , HE= a 4 2 21 HE 21 ? ? PE= PH 2 ? HE 2 ? ? COS?PEH ? 4 PE 7 21 则二面角 P ? BM ? A 的余弦值为 。┄┄┄┄┄12 分 7
设 AB= a ,则 PH= 20.(本小题满分 12 分)

? a 2 ? b2 1 ? ? 解: (1)由题意得 ? a 2 4 ,解得 a ? 2, b ? 3 ,┄┄┄┄┄┄┄┄3 分 ? 4a ? 8 ?
所以椭圆 E 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 .┄┄┄┄┄┄┄4 分 4 3

(2)①若直线 ON 的斜率不存在,

ON ? 2 3 , OM ? 2 , MN ? 4 , d ?
②若直线 ON 的斜率存在 设直线 OM 方程为: y ? kx ,代入 直线 ON 的方程为 y ? ?

OM? ON ? 3 ┄┄┄┄┄┄┄┄ 6 分 MN

12 x2 y 2 12k 2 2 ? ? 1 得 x2 ? y ? , ┄┄ 7 分 3 ? 4k 2 4 3 3 ? 4k 2

1 x 代入 y ? 2 3 得 N (?2 3k , 2 3) ┄┄┄┄┄┄┄ 8 分 k 12(1 ? k 2 ) 48(1 ? k 2 ) 2 2 2 2 MN ? ON ? OM ? (?2 3k ) 2 ? (2 3) 2 ? ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 设原点 O 到直线 l 的距离为 d

MN ? d ? OM ? ON ? d ?
2

OM ? ON MN
2

2

2

? 3 ,则 d ? 3 ┄┄┄┄┄┄┄ 11 分
┄┄┄┄┄┄┄ 12 分

综上所述,原点 O 到直线 MN 的距离为定值 3 21. (本小题满分 12 分)

a2 2 x 2 ? ax ? a = ? (2 x ? a )( x ? a ) ,x>0, 解: (1)f′(x)= ﹣2x+a= ? x x x
2

①当 a>0 时,由 f′(x)>0,得 0<x<a,由 f′(x)<0,得 x>a, ∴f(x)在(0,a)上递增,在(a,+∞)上递减; ②当 a<0 时,由 f′(x)>0,得 0<x<﹣ ∴f(x)在(0,﹣

a a ,由 f′(x)<0,得 x>﹣ , 2 2

a a )上递增,在(﹣ ,+∞) ;上递减。 2 2
2

┄┄┄┄┄ 5 分 (2)令 h(x)=f(x)﹣g(x)=lnx﹣mx +(1﹣2m)x+1,x>0, 则 h′(x)=

1 ( 2mx ? 1)( x ? 1) ? 2m x2 ? (1 ? 2m) x ? 1 =? ﹣2mx+1﹣2m= x x x

当 m≤0 时,h′(x)>0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递增, 12+(1﹣2m)+1=﹣3m+2>0, ∵h(1)=ln1﹣m× ∴关于 x 的不等式 f(x)≤g(x)不恒成立,舍去。┄┄┄┄┄ 7 分

1 1 ,由 f′(x)<0,得 x> , 2m 2m 1 1 ∴h(x)的单调增区间为(0, ) ,单调减区间为( ,+∞) ; 2m 2m 1 1 1 1 1 2 +1= ∴h(x)max=h( )=ln ﹣m?( ) +(1﹣2m)× ﹣ln(2m) , 2m 2m 2m 2m 4m
当 m>0 时,由 h′(x)>0,得 0<x< ┄┄┄┄┄ 9 分

1 1 1 1 令 φ(m)= ﹣ln(2m) ,∵φ( )= ,φ(1)= ﹣ln2<0, 2 2 4 4m
又 φ(x)在(0,+∞)是减函数,∴当 m≥1 时,φ(m)<0,满足题意。 故整数 m 的最小值为 1. ┄┄┄┄┄ 12 分 选做题(请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时 请写清题号) 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 解: (1)消去参数可得圆的直角坐标方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ┄┄┄┄┄┄┄2 分 由极坐标与直角坐标互化公式得 ( ? cos? )2 ? ( ? sin ? ? 2)2 ? 4 , 化简得 ? ? 4sin ? ;┄┄┄┄┄┄┄ 5 分

? 2 x ? 3? t ? ? x ? 3 ? t cos 45? ? 2 (2)直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,即 ? ( t 为参数) ,代入 ? y ? 4 ? t sin 45? ?y ? 4 ? 2 t ? ? 2 2 圆方程得: t ? 5 2t ? 9 ? 0 ,┄┄┄┄┄┄┄ 7 分 设 A, B 对应的参数分别为 t1 , t2 ,则 t1 ? t2 ? ?5 2, t1t2 ? 9 ┄┄┄┄┄┄┄ 8 分 ???? ???? ???? ???? 所以 MA ? MB ? MA ? MB ? cos 0? ? t1t2 ? 9 ┄┄┄┄┄┄┄ 10 分
23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (1)当 a=3 时, f ( x) ? 7 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 7 故不等式解集为 x x ? ?3 或 x ? 4? .┄┄┄┄┄┄ 由绝对值的几何意义得 x ? ?3 或 x ? 4

?

5分

(2)原命题? f ( x) ? x ? 4 在 1, 2 上恒成立 ┄┄┄┄┄┄ ? x ? a ? x ? 2 ? x ? 4 在 ?1, 2? 上恒成立 ?x-2≤a≤x+2 在 ?1, 2? 上恒成立 ?0≤a≤3. ┄┄┄┄┄┄

? ?

6分

8分 10 分

故 a 的取值范围是 a ? ?0,3? .┄┄┄┄┄┄


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