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函数的最值与导数教案 公开课


1.3.3
教学目标

函数的最大(小)值与导数

1. 理解函数最值的特点。 2. 掌握函数存在最值的的条件及用导数求函数最值的方法。

教学重点
求函数最值的方法。

教学难点:
函数存在最值的的条件;求函数最值的方法。 易混点:最值与极值

教学方法:
探究式教学 讲练结合法

教学时间:
(1)复旧知新(4 分钟)(2)导入新课(1 分钟) (3)讲授新课(16 分钟) (4)典例精讲(10 分钟) (5)巩固练习(6 分钟) (6)课堂小结(2 分钟)

教学过程:
一.复旧知新 问题一:函数极值概念 问题二:一般地,求函数 y=f(x)的极值的方法是什么? 二.讲授新课 1.导入新课 观察区间[a,b]上函数 y=f (x)的图象,你能找出它的极大值,极小值吗?你能找出 它的最大值和最小值吗? 极大值: f (x2), f (x4), f (x6) 极小值: f (x1), f (x3), f (x5) 最大值:f (a) 最小值:f (x3)

1

最值特点: (1)函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得到的,是整体概念; (2)从个数上看,一个函数若有最大值或最小值,则至多只有一个最大值或最 小值; (3)最值可能在极值点取得,也可能在端点处取得。 2.性质探究 探究问题 1:开区间上的最值问题 如图,观察(a, b)上的函数 y=f(x)的图像,它们在(a, b)上有最大值、最 小值吗?如果有,最大值和最小值分别在什么位置取到?

结论: 在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值。若有最值,一定在极值点处 取得。 探究问题 2:闭区间上的最值问题 如图,观察[a,b]上的函数 y=f(x)的图像,它们在[a,b]上有最大值、最小值 吗?如果有,最大值和最小值分别是什么?

(1)

(2)

2

结论: 一般地,如果在闭区间[a,b]上函数 y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线,那 么它必定有最大值和最小值。 特别地, 若函数 y=f(x)在区间[a, b]上是单调函数, 则最值则在端点处取得。 3.牛刀小试 例 1 给出下列说法: (1)函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是 最小值。 (2)在闭区间上的函数一定有最大值和最小值。 (3)若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有 最值。 (4)若函数在给定的区间上有最值,则最多有一个最大值,一个最小值;若函 数有极值,则可有多个极值。 其中说法正确的有( 4.提炼升华 一般地,求函数 y=f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小值的步骤如下: (1) 求函数 y=f(x)在开区间(a,b)内的极值; (2) 计算端点处的函数值 f(a), f(b)并将其与函数 y=f(x)的各极值比较, 其中最大的 一个是最大值,最小的一个是最小值。 5.典例精讲 例 2 求函数 f(x)=48x-x3 在区间[-3, 5]上的最值。 解:f'(x)=48-3x2= -3(x2-16)= -3(x-4)(x+4) 令 f'(x)=0,得 x=4 或 x= -4(舍) 当-3<x< 4 时,f'(x)>0,函数单调递增; 当 4<x<5 时,f'(x)<0,函数单调递减; 所以当 x=4 时,函数取得极大值,且极大值 f (4)=128; 又 f (-3)= -117, f (5)=115 (4) )

所以函数 f(x)=48x-x3 在区间[-3, 5] 上最大值为 128,最小值为 -117.
3

6.巩固练习 练习:求函数 f(x)=2x3-3x2-12x+5 在区间[-2, 1]上的最值。 解:f'(x)=6x2-6x-12=6(x2-x-2)=6(x-2)(x+1), 令 f'(x)=0,得 x=-1 或 x=2(舍)

当-2<x< -1 时,f'(x)>0,函数单调递增; 当-1<x<1 时,f'(x)<0,函数单调递减; 所以当 x= -1 时,函数取得极大值,且极大值 f (-1)=12; 又 f (-2)=1, f (1)=-8

所以函数 f(x)=2x3-3x2-12x+5 在区间[-2, 1] 上最大值为 12,最小值为 -8. 课堂小结 1. 最值特点; 2.函数存在最值的条件; 3.一般地,求函数 y=f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小值的步骤。 布置作业 课本 P31 页:练习 板书设计 (2) (4)题

1.3.3 函数的最大(小)值与导数
一.最值特点 二.最值存在条件 三.求函数最值的步骤 教学反思: _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 四.典例精讲 五.巩固练习 六.课堂小结

4


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