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上海市长宁区2010届高三上学期期终试卷(数学理)


上海市长宁区 2010 届高三上学期期终试卷 数学(理)
一、填空题(本题共 13 小题,每小题 4 分,共 52 分)
? 1、已知向量 a ? (1, k ) b ? ( 2 ,1) , ,若 a 与 b 的夹角大小为 90 ,则实数 k 的值为 __________ ____ .

2、已知 ? 是第四象限角, tan(? ? ? )

?

5 ,则 sin ? ? __________ _ 。 12

3、在 ? ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c, 若 a ? 3 , c ? 4 , B ? 则 b ? __________. 4、已知全集 U 为实数集, A ? x x ? 2 x ? 0
2

?
3



?

。 ? , B ? ?x x ? 1 ? ,则 A ? CU B ? __________ .

5、等比数列前 n 项和 S n ? 2( ) ? k ,则常数 k 的值为
n

1 3

6、已知等差数列 ?an ? 中, a5 ? a9 ? a7 ? 10,记 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ,则 S13 的值为 __________ 。 7、已知直线 m、n 与平面 ? , ? ,给出下列三个命题: ①若 m // ? , n // ? , 则m // n; ③若 m ? ? , m // ? , 则? ? ? . 其中真命题的个数是 __________ 。 8、在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点, _________。
.

②若 m // ? , n ? ? , 则n ? m;

=

+

,其中



R ,则

+

=

9、 已知集合 A ? { z | z ? 1 ? i ? i 2 ? ? ? i n , n ? N *} ,B ? {? | ? ? z1 ? z2 , z1 、 2 ? A} , z1 可以等于 z2 ), ( 从集合 B z 中任取一元素,则该元素的模为 2 的概率为______________。 10、已知函数 f ( x ) 定义在 R 上,存在反函数,且 f (9) ? 18 ,若 y ? f ( x ? 1) 的反函数是

y ? f ?1 ( x ? 1) ,则 f (2008) =
11、如图,在半径为 3 的球面上有 A、B、C 三点, ?ABC =90°, BA ? BC , 球心 O 到平 面 ABC 的距离是

3 2 ,则 B、C 两点的球面距离是 __________ 。 2
2

12、 f1 ( x) ?| x ? 1 |, f 2 ( x) ? ? x ? 6 x ? 5 ,函数 g ( x) ? ? 设 解,则实数 a 的取值范围是 __________


? f1 ( x), f 1 ( x) ? f 2 ( x) ,若方程 g ( x) ? a 有四个不同的实数 ? f 2 ( x), f 1 ( x) ? f 2 ( x)

13、已知数列 {an } 中, an ? n (n ? N ? ) ,把它的 各项依次排列成右图所示的三角形状


第1行

a1

第2行 第3行

a2 , a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9

?????????? (第一行一项,第二行 3 项,第三行 5 项??每行依次比上一行多两项) 。若 a2009 被排在第 s 行的第 t 项(从左到右) 的位置,则 s = _________,t =_________。 二、选择题(本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 14、复数

3?i 等于( 1? i

). B. 1 ? 2i

.

A. 1 ? 2i
2

C. 2 ? i

D. 2 ? i )
.

4 15、在二项式 ( x ? ) 的展开式中,含 x 的项的系数是(
5

1 x

A. ?10

B. 10

C. ?5

D. 5 )

16、下列函数既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是( .... A. f ( x) ? sin x C. f ( x ) ? lg B. f ( x) ? ? | x ? 1 | D. f ( x) ?

1 x (2 ? 2 ? x ) 2 17、某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是 (
A. 4 B. 5 C. 6 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 82 分) 18、 (本小题满分 14 分) D. 7

2? x 2? x

)

在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ACB ? 90? , BC ? CC1 ? a, AC ? 2a, (1)求多面体 B1 ? AA C1C 的体积; 1 (2)求异面直线 AB1 与 CC1 所成角的大小。

19、 (本小题满分 16 分)已知向量 m ? ( 3sin 2x ?1,cos x), n ? (1, 2cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n 。 (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期及 x ? [0,

??

?

?
2

] 时的最大值;

(2)把函数 f ( x ) 的图象向左平移 ? (? ? 0) 个单位,所得到的图象对应的函数为奇函数,求 ? 的最小值。

20、 (本小题满分 16 分) 图 1 是某种称为 “凹槽” 的机械部件的示意图, 2 是凹槽的横截面 图 (阴影部分) 示意图, 其中四边形 ABCD 是矩形,弧 CmD 是半圆,凹槽的横截面的周长为 4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比,比例系数为 3 ,设

AB ? 2 x, BC ? y 。
(1)写出 y 关于 x 函数表达式,并指出 x 的取值范围; (2)求当 x 取何值时,凹槽的强度最大.
D m A B C

图1

图2

21、 (本小题满分 18 分)

? a11 ? ? a 21 设A?? ? ? ?a ? n1

a12 a 22 ? an2

? a1n ? ? ? a2n ? , 其中 aik (1 ? i ? n,1 ? k ? n) 表示该数阵中位于第 i 行第 k 列的数, 已知该数阵每一行 ? ?? ? ? a nn ? ?

的数成等差数列,每一列的数成公比为 2 的等比数列,且 a23 ? 8, a34 ? 20 。 (1)求 a11 和 aik ; (2)设数阵第 i 行的公差为 d i (i ? 1,2,?, n) , f (n) ? d1 ? d 2 ? ? ? d n ,求 f (n) ; (3)设 An ? a1n ? a2( n?1) ? a3( n?2) ? ? ? an1 ,证明:当 n 是 3 的倍数时, An ? n 能被 21 整除。

22、(本题满分 18 分) 已 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 是 ? x | x ? R, x ? 时, f ( x) ? 3 .
x

? ?

1 1 k ? ,当 0 ? x ? , k ? Z ? 且 f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 , f ( x ? 1) ? ? 2 f ( x) 2 ?

(1)求证: f ( x ) 是奇函数;

1 , 2k ? 1)(k ? Z )上的解析式; 2 1 2 (3)是否存在正整数 k ,使得当 x∈ (2k ? , 2k ? 1) 时,不等式 log3 f ( x) ? x ? kx ? 2k 有解?证明你的结论. 2
(2)求 f ( x ) 在区间 (2k ?

长宁 2009 学年第一学期高三数学期终试卷(理) 解 一、填空题(本题满分 52 分)
题号 答案 1 2 3 4 5 6



?2

?

5 13
9

13
10

(0,1)

?2

130

7 2

8

11

4 3

2 7

? 1981

?

12

13

(3,4)

45,73

二、选择题(本题满分 16 分)
题号 答案 14 15 16 17

C

B

C

A

三、解答题
18、 (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) (1)由图可知, VB1 ? AA1C1C ? VABC? A1B1C1 ? VB1 ? ABC , 由条件得 B1 B ? 平面ABC , ----------------------2 分 ----------------------3 分 ----------------------5 分 ----------------------6 分

1 ?VABC? A1B1C1 ? S?ABC ? B1 B ? a 3 , V B1 ? ABC ? a 3 , 3 1 3 2 3 3 因此 V B1 ? AA1C1C ? a ? a ? a . 3 3

(2)法一:由条件得四边形 CBB1C1 为正方形,? BC1 ? B1C 。----------------------7 分 又 AC ? BC, AC ? C1C ,? AC ? 平面C1 B , ----------------------10 分 ----------------------11 分 ----------------------12 分

? AC ? BC1 , ? BC1 ? 平面ACB1 , ? BC1 ? AB1 ,即异面直线 AB1 与 BC1 所成角为

? 。 2

----------------------14 分

法二:过 B1 作 B1 D || C1 B 交 CB 延长线于 D ,连接 AD ,则 ?AB1 D 即为异面直线 AB1 与 BC1 所成角或其补角。 ----------------------8 分

? CB ? a, CC1 ? a ,?C1 B ? B1 D ? 2a 。
在 Rt?ABC 中, AB ?

----------------------9 分

5a ,? AB1 ? 6a 。

又 AC ? 2a, CD ? 2a ,? AD ? 2 2a 。 ------------------10 分

?AB1 D 中,

cos?AB1 D ?

6a 2 ? 2a 2 ? 8a 2 2 ? 6a ? 2a

? 0 ,? ?AB1 D ?

?
2



----------------------13 分

即异面直线 AB1 与 BC1 所成角为

? 。 2

----------------------14 分

19、 (本题满分 16 分,第 1 小题 8 分,第 2 小题 8 分) (1) f ( x) ? 3 sin 2x ? 1 ? 2 cos2 x ----------------------2 分 ----------------------3 分 ----------------------5 分

? 2 sin( 2 x ?

?
6

)。 2? ?? 。 2

最小正周期为 T ?

? ? ? 7? ? ? ? x ? [0, ],? 2 x ? ? [ , ] ,因此当 2 x ? ? 时 f max ? 2 。----------------------8 分 2 6 6 6 6 2
(2)图像平移后解析式为 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 2? ?

?

? 2? ?

?
6

6

) 为奇函数,----------------------11 分
----------------------14 分

? k? , (k ? Z ) 5? 。 12

?? ? 0 ,? k ? 1 时 ? 最小值为

----------------------16 分

20、 (本题满分 16 分,第 1 小题 7 分,第 2 小题 9 分) (1)易知半圆 CmD 的半径为 x,故半圆 CmD 的弧长为 ? x . ? , 所以 4 ? 2x ? 2y ? x

----------------------3 分 ----------------------4 分

4 ? (2 ? ? ) x 2 依题意知: 0 ? x ? y
得y? 得0? x?

4 4??
----------------------7 分

4 ? (2 ? ? ) x 4 (0? x? ). 2 4?? (2)依题意,设凹槽的强度为 T,横截面的面积为 S,则有
所以, y ?

T ? 3 S ? 3 ( 2 y? x

) 2 4 ? (2 ? ? ) x ? x2 ? 3(2x ? ? ) 2 2 3? ? 3[4 x ? (2 ? ) x2 ] 2
3(4 ? 3? ) 4 2 8 3 (x ? ) ? . 2 4 ? 3? 4 ? 3?

? x2

----------------------10 分

??

----------------------13 分

因为 0 ?

4 4 , ? 4 ? 3? 4 ? ? 4 时,凹槽的强度最大. 4 ? 3?
----------------------15 分

所以,当 x ? 答: 当 x ?

4 --------------16 分 时,凹槽的强度最大. 4 ? 3? 21、 (本题满分 18 分,第 1 小题 5 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 8 分)
(1)因为每一列的数是公比为 2 的等比数列, a 23 ? 8 , a34 ? 20 ,

所以 a13 ? 4, a14 ? 5 , 故第一行的公差为 d1 ? 1 。? a11 ? 2 ,

----------------------2 分 ----------------------3 分 ----------------------4 分 ----------------------5 分 ----------------------8 分

a1k ? k ? 1 ,
因此 aik ? (k ? 1) ? 2i ?1 。 (2) d i ? ai ( k ?1) ? aik ? (k ? 2) ? 2i ?1 ? (k ? 1) ? 2i ?1 ? 2i ?1

1 ? 2n ? d1 ? d 2 ? . . ? d n ? . ? 2n ? 1 1? 2
(3) An ? (n ? 1) ? n ? 2 ? (n ? 1) ? 22 ? ... ? 2 ? 2n?1 ,

----------------------10 分

----------------------11 分

2 ? An ? (n ? 1) ? 2 ? n ? 22 ? ... ? 3 ? 2n?1 ? 2 ? 2n
上面两式相减得:

An ? ?(n ? 1) ? 2 ? 22 ? ... ? 2n?1 ? 2 ? 2n
2(1 ? 2 n ) ? ?(n ? 1) ? ? 2n ? 3 ? 2n ? n ? 3 1? 2

----------------------13 分

? An ? n ? 3(2n ? 1)
当n ? 3k , (k ? N ? ) 时
0 An ? n ? 3(8k ? 1) ? 3 (7 ? 1) k ? 1 ? 3(Ck 7 k ? ... ? Ckk ?1 7) 0 ? 21(Ck 7 k ?1 ? ... ? Ckk ?1 ) ,

----------------------14 分

?

?

----------------------17 分

0 k 整除。----------------------18 分 因为 Ck 7 k ?1 ? ? ? Ck ?1 为整数,所以 An ? n 能被21

22、 (本题满分 18 分,第 1 小题 5 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 7 分) (1) 由 f ( x ? 1) ? ?

1 1 ? f ( x) , ----------------------3 分 得 f ( x ? 2) ? ? f ( x ? 1) f ( x)
----------------------4 分 ----------------------5 分

由 f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 得 f ( x) ? f (? x) ? 0 , 故 f ( x ) 是奇函数.
1? x (2)当 x∈ ( ,1) 时, 1 ? x ? (0, ) ,? f (1 ? x) ? 3 。

1 2

1 2

----------------------7 分

而 f (1 ? x) ? ? 当 x∈ (2k ?

1 1 x ?1 ? ,? f ( x) ? 3 。 f (? x) f ( x)

----------------------9 分

1 1 , 2k ? 1)(k ? Z)时, x ? 2k ? ( ,1) ,? f ( x ? 2k ) ? 3 x?2k ?1 , 2 2
x ?2 k ?1

因此 f ( x) ? f ( x ? 2k ) ? 3



----------------------11 分

(3)不等式 log3 f ( x) ? x 2 ? kx ? 2k 即为 x ? 2k ? 1 ? x ? kx ? 2k ,
2

即 x 2 ? (k ? 1) x ? 1 ? 0 。 令 g ( x) ? x 2 ? (k ? 1) x ? 1,对称轴为 x ? 因此函数 g (x) 在 (2k ?

----------------------13 分

k ?1 1 ? 2k ? , 2 2

1 ,2k ? 1) 上单调递增。 ----------------------15 分 2 1 1 2 1 1 1 因为 g (2k ? ) ? (2k ? ) ? (k ? 1)( 2k ? ) ? 1 ? (2k ? )( k ? ) ? 1,又 k 为正整数, 2 2 2 2 2 1 1 所以 g ( 2k ? ) ? 0 ,因此 x 2 ? (k ? 1) x ? 1 ? 0 在 (2k ? ,2k ? 1) 上恒成立,----------------------17 分 2 2 因此不存在正整数 k 使不等式有解。 ----------------------18 分


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