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高一数学竞赛练兵(1)


高一数学练兵(1)
一 、选择题﹙满分 24 分,每小题只有一个正确答案,答对得 6 分,答错 或不答均记 0 分)
? 2008 ? 1. 设函数 f ? x ? 对 x ? 0 的一切实数均有 f ? x ? ? 2 f ? ? ? 3x ,则 f ? 2 ? 等于( ? x ?



﹙A﹚2006.


﹙B﹚2008.

﹙C﹚2010.

﹙D﹚2012. )

2. 已知 abc ? 0 , 则在下列四个选项中, 表示 y ? ax 2 ? bx ? c 的图像只可能是 (

y

y

y

y

0

x

0

x

0

x

0

x

﹙A﹚

﹙B﹚

﹙C﹚

﹙D﹚

3. 函数 f ( x) ? a x ? log a x在[1, 2] 上的最大值和最小值之差为 a 2 ? a ? 1 ,则 a 值为( ﹙A﹚ 2或



1 1 ﹙B﹚ 2 或 4 ﹙C﹚ 或4 ﹙D﹚ 2 2 2 4. 已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(-x)= -f(x+2), 且当 x>1 时, f(x)单调递 增 . 如 果 x1+x2 < 2, 且 (x1-1)( x2-1) < 0, 则 f(x1)+f(x2) 的 值 ( ) ﹙A﹚恒大于 0 ﹙B﹚恒小于 0 ﹙C﹚ 可能为 0 ﹙D﹚ 可正可负 二、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分,直接将答案写在横线上.)

5.已知集合 A ? {x | x ? a}, B ? {x | x ? b}, a, b ? N,且 A ? B ? N ? {1} ,则 a ? b ?



6. 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x>0 时,f(x)=2 014x+log2 014x,则在 R 上,函 数 f(x)零点的个数为________个. 7. 设 [ x] 为表示不超过 x 的最大整数,则函数 y ? lg[ x] 的定义域为 8. (lg 3)2-lg 9+1·(lg 27+lg 8-lg 1 000) = lg 0.3·lg 1.2 . .

9. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) .若当 0 ? x ? 1 时. f ( x) ? x(1 ? x) ,则当

?1 ? x ? 0 时, f ( x) =________________.
10. 已知函数 f ? x ? ? ln

?

? 1? 1 ? 9 x 2 ? 3 x ? 1,.则f ? lg 2 ? ? f ? lg ? ? ? 2?

?



x≤0, ?log2(1-x), 11. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=? ?f(x-1)-f(x-2), x>0,

则 f(2 013)

的值 . 2 12.若二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象和直线 y=x 无交点,现有下列结论: ①方程 f [ f ( x)] ? x 一定没有实数根; ②若 a>0,则不等式 f [ f ( x)] ? x 对一切实数 x 都成立; ③若 a<0,则必存存在实数 x0,使 f [ f ( x0 )] ? x0 ; ④若 a ? b ? c ? 0 ,则不等式 f [ f ( x)] ? x 对一切实数都成立; ⑤函数 g ( x) ? ax 2 ? bx ? c 的图像与直线 y ? ? x 也一定没有交点. 其中正确的结论是 (写出所有正确结论的编号).

三、解答题 (本大题共 4 小题, 共 62 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.)
2x ?1 13. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x .⑴ 判断函数 f ( x) 的奇偶性,并证明; 2 ?1

⑵ 证明: f ( x) 是其定义域上的增函数 . 14. (本小题满分 15 分)规定[t]为不超过 t 的最大整数,例如[12.6]=12,[-3.5] =-4,对任意实数 x,令 f1(x)=[4x],g(x)=4x-[4x],进一步令 f2(x)=f1[g(x)]. (1) 若 x= 7 ,分别求 f1(x)和 f2(x); 16 (2) 若 f1(x)=1,f2(x)=3 同时满足,求 x

的取值范围 . 15. (本小题满分 15 分) 已知函数 y=f(x)=
ax 2 ? 1 (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数, bx ? c

当 x>0 时,f(x)有最小值 2,其中 b∈N 且 f(1)<

5 . (1)试求函数 f(x)的解析式; 2

(2)问函数 f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标; 若不存在,说明理由 . 16. (本小题满分 20 分) 已知函数 y ? f ( x) 具有性质: f (a ? x) ? f (a ? x), 则函数
y ? f ( x) 关于直线: x ? a 对称.设函数 g ( x) ? 2 x ?

k ,k ?R . 2x

(1)如果函数 g ( x) 有对称轴,试求参数 k 的取值范围及对称轴方程(用含 k 的形式表 达) ; (2) 如果函数 g ( x) 有对称中心, 试探求实数 k 的取值范围及函数 y= g ( x) 的图象的对称 中心的坐标 .

高一数学竞赛练兵参考答案部分 一、选择题: 1-4 A B A 二、填空题: 5. 9. ? 1 6. 3 7. 11. [1, ? ?) 0

B 8.
? 3 2

x(1 ? x) 10. 2 2 三、解答题: 13.(1) 解; f ( x) 为奇函数,
? 2 x ? 1 ? 0, ? f ( x) 的定义域为 R .

12. ①②④⑤

又? f (? x) ?

2?x ? 1 1 ? 2 x 2x ?1 ? ? ? ? ? f ( x) , 2?x ? 1 1 ? 2 x 2x ?1

? f ( x) 为奇函数.

(2)? f ( x) ? 1 ?

2 , 2 ?1
x

任取 x1 、 x2 ? R ,设 x1 ? x2 ,
? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (1 ?
? 2(2 x1 ? 2 x2 ) . (2 x1 ? 1)( 2 x2 ? 1)

2 2 1 1 ) ? (1 ? x2 ) ? 2( x2 ? x1 ) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1
x1

? x1 ? x2 ? 2 x1 ? 2 x2 , ? 2 x1 ? 2 x2 ? 0 , 又 2 x1 ? 1 ? 0, 2 x2 ? 1 ? 0 ,

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) .? f ( x) 在其定义域 R 上是增函数.

7 7 14.(1)∵x= 时,4x= , 16 4 ?7? ∴f1(x)=? ?=1, ?4?

g(x)= -? ?= .
?3? ∴f2(x)=f1[g(x)]=f1? ?=[3]=3. ?4? (2)∵f1(x)=[4x]=1,g(x)=4x-1, ∴f2(x)=f1(4x-1)=[16x-4]=3. ?1≤4x<2, ∴? ?3≤16x-4<4. ∴ 7 1 ≤x< . 16 2

7 4

?7? ?4?

3 4

1? 1? 15. 解: (1) f ?x ? ? f ?? x ? ? 0 ? c ? 0 ? f ?x ? ? ? ax ? ? , b? x?
2 ? 1 1 ?? 1? ? 当 x ? 0 时, f ?x ? ? ?? ax ? ? 2 a ? ,所以 2 ? ? 2 a ? a ? b 2 , ? ? b b ?? x? ? ? ? a ?1 5 1 又 f ?1? ? ? ? 2b 2 ? 2 ? 5b ? ? b ? 2 ? b ? 1, a ? 1 . b 2 2 1 所以 f ?x ? ? x ? . x

1 ? ? y 0 ? x0 ? x ? 0 (2)若存在,设两点为 ?x0 , y 0 ?, ?2 ? x0 ,? y 0 ? ,所以 ? , ?? y ? 2 ? x ? 1 0 0 ? 2 ? x0 ?

解得两点为 1 ? 2 ,2 2 , 1 ? 2 ,?2 2 ,所以存在. 16. (1)设 g(x)关于直线 x=a 对称,则有:g(x+a)=g(x-a)恒成立,整理可得: 1 2x ( x ? 2 a )( k ? 2 2 a ) ? 0 ,故: k ? 2 2 a 恒成立, 2 2 1 1 ? k>0,且 a ? log 2 k ,即 g(x)图像的对称轴为: x ? log 2 k . 2 2 (2)设函数 g ( x) 关于 M(m,n)对称,则: g ( x) ? g (2m ? x) ? 2n 恒成立,整理得出:
2x 1 ? x ) ? 2n 恒成立, 2m 2 2 2m 从而有: k ? 2 ? 0且2n ? 0 . 1 1 ? k<0, m ? log 2 (?k ), n ? 0 即函数 g ( x) 图像关于 M ( log 2 (?k ),0) 中心对称. 2 2 (k ? 2 2 m )(

?

??

?


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