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(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《函数的单调性与最值》理 新人教B版


[第 5 讲

函数的单调性与最值]

(时间:45 分钟 分 值:100 分)

基础热身 1.下列函数中,满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)”的 是( ) 1 A.f(x)=

x

B.f(x)=(x-1) x C.f(x)=e D.f(x)=ln(x+1) 1 2.函数 f(x)=1- 在[3,4)上(

2

x

)

A.有最小值无最大值 B.有最大值无最小值 C.既有最大值又有最小值 D.最大值和最小值皆不存在 3.[2013·天津卷] 下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( A.y=cos2x,x∈R B.y=log2|x|,x∈R 且 x≠0 x -x e -e C.y= ,x∈R 2 3 D.y=x +1,x∈R 4.函数 f(x)=

)

x

x+1

的最大值为________.

能力提升 5. [2013·宁波模拟] 已知 f(x)是定义在实数集 R 上的增函数, 且 f(1)=0, 函数 g(x) 在(-∞, 1]上为增函数, 在(1, +∞)上为减函数, 且 g(4)=g(0)=0, 则集合{x|f(x)g(x)≥0} =( ) A.{x|x≤0 或 1≤x≤4} B.{x|0≤x≤4} C.{x|x≤4} D.{x|0≤x≤1 或 x≥4} 6.[2013·全国卷] 设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x), ? 5? 则 f?- ?=( ) ? 2? 1 1 A.- B.- 2 4 1 1 C. D. 4 2
1

1 +1 1 ? ?x2 的值域为( 7.[2013·哈尔滨师大附中期中] 函数 y=? ? ) ?2? ?1 ? A.(-∞,1) B.? ,1? ?2 ? 1 1 ? ? ? ? C.? ,1? D.? ,+∞? ?2 ? ?2 ? x 2 8.[2013·惠州 二调] 已知函数 f(x)=e -1,g(x)=-x +4x-3,若有 f(a)=g(b), 则 b 的取值范围为( ) A.(2- 2,2+ 2) B.[2- 2,2+ 2] C.[1,3] D.(1,3) x ? ?a (x<0), ? 9.[2013·长春外国语学校月考] 已知函数 f(x)= 满足对任 ?(a-3)x+4a(x≥0) ? f(x1)-f(x2) 意的实数 x1≠x2 都有 <0 成立,则实数 a 的取值范围是( ) x1-x2 A.(3,+∞) B.(0,1) ? 1? C.?0, ? D.(1,3) ? 4? 1 ?1 ? 10.若函数 y=f(x)的值域是? ,3?,则函数 F(x)=f(x)+ 的值域是________. f(x) ?2 ? 1 ?1 ? 2 11.若在区间? ,2?上,函数 f(x)=x +px+q 与 g(x)=x+ 在同一点取得相同的最小 x ?2 ? 值,则 f(x)在该区间上的最大值是________. 12.函数 y=

x

x+a

在(-2,+∞)上为增函数,则 a 的取值范围是________.

1+x 13.函数 y=ln 的单调递增区间是________. 1-x 14.(10 分)试讨论函数 f(x)=

x 的单调性. x2+1


2

难点突破 16.(12 分)已知函数 f(x)=

x2

x-2

(x∈R,且 x≠2).

(1)求 f(x)的单调区间; 2 (2)若函数 g(x)=x -2ax 与函数 f(x)在 x∈[0,1]上有相同的值域,求 a 的值.

3

课时作业(五) 【基础热身】 1 1.A [解析] 由题意知,函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数.而反比例函数 f(x)= 在

x

(0,+∞)上是减函数.故选 A. 2.A [解析] 函数 f(x)在[3,4)上是增函数,又函数定义域中含有 3 而没有 4,所以 该函数有最小值无最大值,故选 A. 3.B [解析] 方法一: 由偶函数的定义可排除 C,D,又∵y=cos2x 为偶函数,但在(1, 2)内不单调递增,故选 B. 方法二:由偶函数定义知 y=log2|x|为偶函数,以 2 为底的对数函数在(1,2)内单调递 增. 1 x 4. [解析] 因为 x≥0,当 x=0 时,y=0 不是函数的最大值.当 x>0 时,f(x)= 2 x+1 1 1 1 = ,而 x+ ≥2,当且仅当 x=1 时等号成立,所以 f(x)≤ . 1 2 x x+

x

【能力提升】 5.A [解析] 由题意,结合函数性质可得 x>1 时 f(x)>0,x<1 时 f(x)<0;x<0 或 x>4 时 g(x)<0,0<x<4 时 g(x)>0,故 f(x)g(x)≥0 的解集为{x|x≤0 或 1≤x≤4}. ?5? ? 1? ?1? 1 6.A [解析] 因为函数的周期为 2,所以 f? ?=f?2+ ?=f? ?= ,又函数是奇函数, ?2? ? 2? ?2? 2 1 ? 5? ?5? ∴f?- ?=-f? ?=- ,故选 A. 2 2 2 ? ? ? ? 1 1 11 1t 10 1 1t 2 7.C [解析] 因为 x +1≥1,所以 0< 2 ≤1,令 t= 2 ,则 ≤ < ,即 ≤ <1, x +1 x +1 2 2 2 2 2 1 所以 ≤y<1.故选 C. 2 x 2 2 8.A [解析] 由题可知 f(x)=e -1>-1,g(x)=-x +4x-3=-(x-2) +1≤1,若 2 有 f(a)=g(b),则 g(b)∈(-1,1],即-b +4b-3>-1,解得 2- 2<b<2+ 2. x 9.C [解析] 由题设条件知函数 f(x)在 R 上为减函数,所以 x<0 时,f1(x)=a 为减函 0 数,则 a∈(0,1);x≥0 时,f(x)=(a-3)x+4a 中 a-3<0,且 f(0)= (a-3)×0+4a≤a , 1 1 得 a≤ .综上知 0<a≤ .故选 C. 4 4 10 1 ? ? ?1 ? ?1 ? 10.?2, ? [解析] 令 f(x)=t,t∈? ,3?,问题转化为求 y=t+ ,t∈? ,3?的值 3? t ? ?2 ? ?2 ? 域. 1 ?1 ? ? 10? 因为 y=t+ 在? ,1?上递减,在[1,3]上递增,所以 y∈?2, ?. 2 3? t ? ? ?

x· = 2,当 x=1 时等号成立,所以 x=1 时,g(x) x 2 p 4q-p 的最小值为 2,则 f(x)在 x=1 时取最小值 2,所以- =1, =2.解得 p=-2,q=3. x
2 4

1 11.3 [解析] g(x)=x+ ≥2

1

?1 ? 2 所以 f(x)=x -2x+3,所以 f(x)在区间? ,2?上的最大值为 3. ?2 ?
x a =1- ,因为函数在(-2,+∞)上为增函数,所以 a>0, x+a x+a x 所以得函数的单调增区间为(-∞,-a),(-a,+∞),要使 y= 在(-2,+∞)上为 x+a 增函数,只需-2≥-a,即 a≥2.
12.a≥2 [解析] y=
4

1+x [解析] 由 >0 得函数的定义域为(-1,1),原函数的递增区间即为 1-x 1+ x 1+x 2 函数 u(x)= 在(-1, 1)上的递增区间, 由于 u′(x)= ′= 2>0.故函数 u(x) 1- x 1-x (1-x) 1+x = 的递增区间为(-1,1),即为原函数的递增区间. 1-x 14.解:f (x)的定义域为 R,在定义域内任取 x1<x2, x1 x2 (x1-x2)(1-x1x2) 有 f(x1)-f(x2)= 2 - = , 2 2 x1+1 x2 (x1+1)(x2+1) 2+1 2 2 其中 x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0. ①当 x1,x2∈(-1,1)时,即|x1|<1,|x2|<1,所以|x1x2|<1, 则 x1x2<1,1-x1x2>0,f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2),所以 f(x)为增函数. ②当 x1,x2∈(-∞,-1]或[1,+∞)时, 1-x1x2<0,f(x1)>f(x2),所以 f(x)为减函数. 综上所述,f(x)在(-1, 1)上是增函数,在(-∞,-1]和[1,+∞)上是减函数. 1 15.解:(1)证明:当 x∈(0,+∞)时,f(x)=a- , 13.(-1,1)

x

设 0<x1<x2,则 x1x2>0,x2-x1>0. 1 1 1 1 x1-x2 ∴f(x1)-f(x2)=a- -a- = - = <0. 1 (2)由 题意 a- <2x 在(1,+∞)上恒成立,

x1 x2 x2 x1 x1x2 ∴f(x1)<f(x2),即 f(x )在(0,+∞)上是增函数. x

1 设 h(x) =2x+ ,则 a<h(x)在(1,+∞)上恒成立.

x

可证 h(x)在(1,+∞)上单调递增. 所以 a≤h(1),即 a≤3. 所以 a 的取值范围为(-∞,3]. 【 难点突破】 2 x2 [(x-2)+2] 4 16.解:(1)f(x)= = =(x-2)+ +4, x-2 x- 2 x-2 4 令 x-2=t,由于 y=t+ +4 在(-∞,-2),(2,+∞)内单调递增,

t

在(-2,0),(0,2)内单调递减,∴容易求得 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(4, + ∞);单调递减区间为(0,2),(2,4). (2)∵f(x)在 x∈[0,1]上单调递减,∴其值域为[-1,0], 即 x∈[0,1]时,g(x)∈[-1,0]. ∵g(0)=0 为最大值,∴最小值只能为 g(1)或 g(a), ?a≥1, ? 若 g(1)=-1,则? ? a=1; ? ?1-2a=-1 1 ? ? ≤a≤1, 若 g(a)=-1,则?2 ? a=1.

? ?-a2=-1

综上得 a=1.

5


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