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文科立体几何中“割补法”教学


文科立体几何中的“割补法”教学 立体几何是高中数学知识体系的重要知识模块之一,它也是历年 高考必考的重点内容, 且题型、 难度与分值比例长期保持相对稳定, 主要是集中考查空间位置关系的形化和量化,尤其是文科的教学中 更关注空间中平行与垂直的关系。但在教学实践中,我发现文科学 生对垂直的证明,如线线垂直、线面垂直的证明或一些相关的计算 题, 如一类三棱锥的外接球的表面积、 体积的计

算往往不尽如人意, 常常在这方面失分。那么,如何更好掌握相关知识呢?结合教学实 际,我提倡使用“割补法” ,即以正方体或长方体为载体,在其中 “裁剪” ,找出合适的线线、线面、面面位置关系加以研究。 一、从“形”上割补 1.割。正方体是空间各种位置关系的“集合体” ,通常可以通过将 不规则或者特殊图形切割,构造为正方体关系,由此将题目难度降 低。 例 1(2010 安徽)一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积 是(b) (a)372(b)360 (c)292(d)280 分析:由三视图可知该几何体是两个叠加的长方体,只需割成两 个长方体即可,要注意其长宽高。 例 2(2010 福建)如图,在长方体 abcd-a1b1c1d1 中,e,h 分别 是棱 a1b1,d1c1 上的点(点 e 与 b1 不重合) ,且 eh//a1d1。过 eh 的平面与棱 bb1,cc1 相交,交点分别为 f,g。 (2)设 ab=2aa1=2a。在长方体 abcd -a1b1c1d1 内随机选取一点,记该点取自于几何体 a1abfe-d1dcgh 内的概率为 p。当点 e,f 分别在棱 a1b1, b1b 上运动且满足 ef=a 时,求 p 的最小值。 分析:第(2)问是借考几何概形来考察几何体的体积,也即 p=, 而 a1abfe-d1dcgh=vabcd-a1b1c1d1vbef-c1hg,即把所求几何体的体积看成长方体的体积割去三棱柱 的体积,而该三棱柱是倒放的。 当且仅当时等号成立 所以,p 的最小值等于 2.补。高考试卷中考查的立体几何图形,大多可以还原为立体几 何图形,通过辅助方法,将不熟悉的图形还原为正方体关系,可找 出相应题型要求。 例 3.(2010 浙江)设 l、m 是两条不同的直线,a 是一个平面,则 下列命题正确的是(b) a. 若 l⊥m,ma,则 l⊥a b. 若 l⊥a,l∥m,则 m⊥a c. 若 l∥a,ma,则 l∥m d. 若 l∥a,m∥a 则 l∥m 解析:本题主要以符号语言给出,在判断的过程中,抽象地背诵 线线、线面之间位置关系的公理和判定定理等很难奏效,必须正确 画出图形, 把符号语言转化为图形语言,然后依据图形研究、判断, 所以可以把所有这些关系放置在正方体模型中,如图所示易知答案 为 b。 例 4.:三棱锥 p-abc 的三条侧棱两两垂直,且 pa=pb=pc=12,求 该三棱锥的外接球的表面积为_______432π _______ 分析:抓住三条侧棱两两垂直且相等的特点,马上联想到正方体, 整个题目就转化成求正方体的外接球的表面积了,问题亦迎刃而 解。 若是三条侧棱两两垂直且不相等, 我们可以把它补成长方体了。 例 5:一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一个球面上,则 该球的体积为________ 分析:该几何体是正四面体,用传统的方法解答,其运算量是较 大的,而将该正四面体还原成棱长为 1 的正方体的外接球的体积, 这样在填空选择中可做到“快” “巧” “准” 。 例 6:某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的

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