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山西省八所重点中学2016届高三第二次适应性考试数学试题(通用解析版)


2016.5.15(数学试卷)姓名:________________

班级:__________________

2016 年山西省 第二次适应性考试

八所重点中学高三 数学(文科)试卷 2016.5.15
第 I 卷(选择题 60 分)

一、选择题:(本大题共 12 个小题,每小题

5 分,共 60 分.每小题的选项中只有一项是正确的)。 1.已知集合 A ? {x | ?3 ? x ? 3}, B ? {x | x( x ? 4) ? 0} ,则 A ? B ? ( B ) A. (0, 3) 2. 已知 ( A )条件 A.充分不必要 3. 设数列 A. B.必要不充分 ,若 C. C.充要 ,则 D. 非充分非必要 B. (?3, 4) C. (0, 4) , D. ? 3, 4 ?

,则“

”是“

”的

的前 项和为 B.

( B ) D.

4.在△ABC 中,∠C=90°, BA ? (k ,1) , BC ? (2,3) ,则 k 的值是( A ) A.5 B.-5 C.

3 2

D. ?

3 2

5.古县某中学高三年级组共有 500 名学生,学校要挑 25%的高三男生和三分之一的女生参加县“话 青春 2016”歌唱比赛,然后在挑选出来的男女学生中按照 5:4 的比例进行分组,发现若要分成 16 个组的话表要再挑选 4 名女生参赛。那么该中学高三男女比例是( C ) A.5:4 B.4:5
x

C.4:3

D.3:4

6. 若点( a ,16)在函数 y ? 2 的图象上,则 tan A. 3 B.

3 3

a? 的值为( C ) 6 3 C. - 3 D. 3

7. 下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是 ( D )

① 正方体 A.①②

②圆锥 B.①③

③三棱台 C.①④

④正四棱锥 D.②④

8. 已 知 ?ABC 为 锐 角 三 角 形 , 命 题 p : 不 等 式 log cos C

cos A ? 0 恒成立,命题 q :不等式 sin B

log cos C
A.0

cos A ? 0 恒成立.则复合命题 p ? q、p ? q、?p 中 ,真命题的个数为( B ) cos B
B.1
2

C.2
2

D.3 ,则 k 的取值范围是

9. 直线 y=kx+3 与圆(x﹣3) +(y﹣2) =4 相交于 M,N 两点,若|MN|≥2

1

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( A ) A.[﹣ ,0] B.[﹣∞,﹣ ]∪[0,+∞] C.[﹣ , ] D.[﹣ ,0]

10.设 f(x)=asin2x+bcos2x,且满足 a, b ? R, ab ? 0, 且 f ( ( D ) A. | f (

?
6

? x) ? f ( ? x) ,则下列说法正确的是 6

?

7? ? ) |?| f ( ) | 10 5

B.f(x)是奇函数

2 , k? ? ? ] (k∈Z) D. a ? 3b 6 3 2 11.已知点 A 为抛物线 C : x ? 4 y 上的动点 (不含原点) , 过点 A 的切线交 x 轴于点 B , 设抛物线 C
C.f(x)的单调递增区间是 [k? ? 的焦点为 F ,则 ? ABF 为( B ) A.锐角 12. 设曲线 ( C ) B.直角 上任一点 C.钝角 处切线斜率为 D.不确定 ,则函数 的部分图象可以为

?

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 ~ 第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第
22 题 ~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若 G 是△ABC 的重心, 分别是角 A,B,C 的对边,

且 果是 14 .

=0,则角 A=

30°

.

14.在右图的算法中,如果输入 A ? 2016 , B ? 98 ,则输出的结 15.已知 a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则 a +4b +9c 的最小值为____12____. 16.三棱锥 S ? ABC 中,侧棱 SA ? 平面 ABC ,底面 ABC 是边长为
2 2 2

3 的正三角形, SA ? 2 3 ,则该三棱锥的外接球体积等于

32 ? 3

.

(第 14 题)

三、解答题(本大题分必做题和选做题;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

(一)必做题
17.(本小题满分 12 分) 在公比为 2 的等比数列 ?an ? 中, a2 与 a 5 的等差中项是 9 3 .

2

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(Ⅰ)求 a1 的值;

x ? ? ) , 0 ? ? ? ? ,的一部分图像 4 如图所示, M (?1, a1 ) , N (3,?a1 ) 为图象上的两点,设 ?MON ? ? , 其中 O 为坐标原点, 0 ? ? ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的值.
(Ⅱ)若函数 y ? a1 sin(

?

a2 ? a5 ? 18 3 ,又 a5 ? 8a2 ---------2 分 a ? 2 3 ∴ a1 ? 3 ----------4 分 故 2 ? y ? a1 sin( x ? ? ) M ( ? 1 , a ) 4 1 在函数 (Ⅱ)∵点 的图象上, ? 3 sin( ? ? ? ) ? 1 ?? ? 4 -------------6 分 4 ∴ ,又∵ 0 ? ? ? ? ,∴
17.(Ⅰ) 解:由题可知 如图,连接 MN ,在 ?MPN 中,由余弦定理得

PM ? PN ? MN cos ? ? 2 PM PN
??


2

2

2

?

4 ? 12 ? 28 3 ?? 2 8 3 又∵ 0 ? ? ? ?

5 ? 6 -------------9 分

5? 3? 5? 3? 5? 3? 6? 2 cos(? ? ? ) ? cos( ? ) ? cos cos ? sin sin ? 6 4 6 4 6 4 4 ∴ -------12 分
18. (本小题满分 12 分) 高三(15)班“山西 2016 八校联合考试”数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程

度的破坏,可见部分如下: 试根据图表中的信息解答下列问题: (1)求高三(15)班的学生人数及分数在[70,80)之间的频数; (2)为快速了解学生的答题情况,老师按分层抽样的方法从位于 [70,80),[80,90)和[90,100]分数段的试 卷中抽取 8 份进行分析,再从中任选 2 人进行交流,求交流的 2 名学生中,恰有一名成绩位于[70,80)分数 段的概率. 18(1)由茎叶图和直方图可知 ,分数在 [50,60)上的频数为 4 人 ,频率为 0.008× 10=0.08,∴参赛人数为 =50 人 2 分 故分数在[70,80)之间的频数等于 50-(4+14+8+4)=20 人 4 分 (2)按分层抽样原理 ,三个分数段抽样数之比等于相应频率之比 ,又 [70,80),[80,90)和 [90,100]分数段频

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率之比等于 5∶2∶1,由此可得抽出的样本中分数在[70,80)的有 5 人,记为 A,B,C,D,E,分数在[80,90)的 有 2 人,记为 F,G,分数在[90,100]的有 1 人.记为 H.6 分 则 从 中 抽 取 2 人 的 所 有 可 能 情 况 为 (A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(A,F)(A,G)(A,H)(B,C)(B,D)(B,E)(B,F)(B,G)(B,H)(C,D)(C,E)(C,F)(C,G)(C,H)(D ,E)(D,F)(D,G)(D,H)(E,F)(E,G)(E,H)(F,G)(F,H)(G,H),共 28 个基本事件 8 分 设 事 件 A: 交 流 的 2 名 学 生 中 , 恰 有 一 名 成 绩 位 于 [70,80) 分 数 段 9 分 则 事 件 A 包 含 (A,F)(A,G)(A,H) (B,F)(B,G)(B,H) (C,F)(C,G)(C,H) (D,F)(D,G)(D,H) (E,F)(E,G)(E,H)15 个 基 本 事 件 11 分 所以 P(A)= 12 分

19.(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=2,AC=AA1=4,∠ABC=90° . (1)求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的表面积 S; (2)求异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值.

19.

y
20.(本小题满分 12 分) 椭圆 C1 : x ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 : x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 的
2
2

P
2 2

a

b

N O

M x

一个焦点坐标为 ( 5 , 0) ,斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C2 相交 于 A, B 两点,线段 AB 的中点 H 的坐标为 (2, ? 1) . (Ⅰ)求椭圆 C2 的方程;

(Ⅱ)设 P 为椭圆 C 2 上一点,点 M , N 在椭圆 C1 上,且 OP ? OM ? 2ON ,则直线 OM 与直 线 ON 的斜率之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 20.解:(Ⅰ)设 A( xA , y A ) , B( xB , yB ) , H ( xH , yH ) ,则

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2 2 ? xA yA ? ? 1, ? ? a 2 b2 ? 2 2 2 2 ? x B ? y B ? 1 , y A ? y B ? ? b ? x A ? xB ? ? b ? xH 2 ? a y A ? yB a 2 yH ,---------2 分 ? a 2 b2 ∴ x A ? xB 又 l 的斜率为 1, H 的坐标为 (2 , ? 1) ,



1? ?

b2 2 ? 2 2 a 2 ?1 ,即 a ? 2b ,

2 2 2 2 又 a ? b ? 5 ,∴ b ? 5 , a ? 10 ,---------4 分 x2 y 2 C2 : ? ?1 10 5 ∴ .---------5 分

(Ⅱ)设 P( x0 , y0 ) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 ? x0 ? x1 ? 2 x2 , ? y ? y1 ? 2 y2 . ∵ OP ? OM ? 2ON ,∴ ? 0 ---------7 分 2 2 2 2 又 x0 ? 2 y0 ? 10 , ∴ ( x1 ? 2 x2 ) ? 2( y1 ? 2 y2 ) ? 10 ,
2 2 2 2 即 x1 ? 2 y1 ? 4( x2 ? 2 y2 ) ? 4x1 x2 ? 8 y1 y2 ? 10 ,---------9 分 2 2 2 2 又 x1 ? 2 y1 ? 2 ,x2 ? 2 y2 ? 2 ,∴ 10 ? 4 x1 x2 ? 8 y1 y2 ? 10 ,即 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0 , yy 1 kOM kON ? 1 2 ? ? x1 x2 2 ∴ .-------12 分

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 (I)若函数 (Ⅱ)在(1)的条件下,若 (Ⅲ)设 且满足 ,问:函数 在 . 在定义域内为增函数,求实数 的取值范围; , ,若函数 , 存在两个零点 处的切线能否平行于 轴?若能, ,求 的极小值; ,

求出该切线方程,若不能,请说明理由.

21. (Ⅰ)
由题意,知 恒成立,即 …… 2分

又 故 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

,当且仅当 ,所以 令

时等号成立. . ……4分 ,则 ,则

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……5分 由 ①若 ②若 故 ,得 ,则 ,则 的极小值为 在 或 (舍去), 单调递减; 单调递增. ……8分 的切线平行于 轴,其中 在 在 , 也单调递减; 也单调递增;

(Ⅲ)设

结合题意,有

……10分

①—②得

,所以

由④得

所以 设 设 ,⑤式变为 ,

⑤ ……11分

所以函数



上单调递增,因此,

,即

也就是, 所以 在

,此式与⑤矛盾. 处的切线不能平行于 轴.

(二)选作题
请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号 方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分。
P A D B ? O C

A
22.(本小题满分 10 分)选修 4 - 1:几何证明选讲 如图, PA、PC 切⊙ O 于 A、C , PBD 为⊙ O 的割线.P

B

?

O

D

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C

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(Ⅰ)求证: AD ? BC ? AB ? DC ; (Ⅱ)已知 PB ? 2, PA ? 3 ,求 ?ABC 与 ?ACD 的面积之比. 22.解:(Ⅰ)? PA 分别为⊙ O 的切线, 由弦切角定理,得 ?PAB ? ?ADB 又 ?APB 为 ?PAB 与 ?PAD 的公共角

? ?PAB ∽ ?PDA PB AB PB BC ? ? ? PA AD ,同理 PC CD AB BC ? ? 又 PA ? PC , AD AD 即 AD ? BC ? AB ? DC -------5 分 (Ⅱ)由圆的内接四边形的性质,得 ?ABC ? ?ADC ? ? , 1 AB ? BC sin ?ABC S ?ABC AB ? BC ? 2 ? S ?ADC 1 AD ? DC AD ? DC sin ?ADC 2 S ?ABC AB2 PA2 4 ? ? ? 2 2 S 9 .-------10 分 AD PB ? ADC 由(Ⅰ)得,
23.(本小题满分 10 分)选修 4 - 4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 的参数方程为 (Ⅰ)求直线 C1 的普通方程和圆 C2 的圆心的极坐标; (Ⅱ)设直线 C1 和圆 C2 的交点为 A,B,求弦 AB 的长. (t 为参数),以该直角坐标系的原点 O 为 sinθ.

极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,圆 C2 的方程为 ρ=﹣2cosθ+2

23. 解:(Ⅰ)由 C1 的参数方程消去参数 t 得普通方程为 x﹣y+1=0, 圆 C2 的直角坐标方程(x+1) + 所以圆心的直角坐标为(﹣1, ), 所以圆心的一个极坐标为(2,2π /3). (Ⅱ)由(Ⅰ)知(﹣1, 所以 AB=2 = . )到直线 x﹣y+1=0 的距离 d= ,
B

2

=4,

C
P A ? D O

24. (本小题满分 10 分)选修 4 - 5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-a|,其中 a>1. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥4-|x-4|的解集;
B

C
P A ? D O

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(2)已知关于 x 的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2},求 a 的值.

24. 解:(1)当 a=2 时,f(x)+|x-4|= 当 x≤2 时,由 f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得 x≤1; 当 2<x<4 时,f(x)≥4-|x-4|无解; 当 x≥4 时,由 f(x)≥4-|x-4|得 2x-6≥4,解得 x≥5; 所以 f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1 或 x≥5}. (2)记 h(x)=f(2x+a)-2f(x),

则 h(x)= 由|h(x)|≤2, 解得 ≤x≤ .

又已知|h(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2},

所以 于是 a=3.

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