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重庆南开中学高2018级高二上半期考试


重庆南开中学高 2018 级高二(上)半期考试

数 学 试 题(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个选项符合要求) 1.双曲线 x 2

?

y2 ? 1 的渐近线方程为() 3
B. y ? ?3x C. y ? ?

A. y ? ? 3x

1 x 3

D. y ? ?

3 x 3

2.命题“ ?x ? R ,均有 x 2 ? sin x ? 1 ? 0 ”的否定为() A. ? ? R ,均有 x 2 ? sin x ? 1 ? 0 B. ?x ? R ,使得 x 2 ? sin x ? 1 ? 0 C. ?x ? R ,使得 x 2 ? sin x ? 1 ? 0 D. ?x ? R ,均有 x 2 ? sin x ? 1 ? 0

x2 y2 ? ? 1 的左顶点到右焦点的距离为() 3.椭圆 16 12 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
4. “方程

x2 y2 ? ? 1表示焦点在 x 轴的椭圆”是“ ? 1 ? n ? 2 ”的() 2 ? n n ?1

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 已知点 P(?1,3) 在抛物线 C : y 2 ? 2 px 的准线上, 其焦点为 F , 则直线 PF 的斜率是 () A. ?

3 2 1 B. ? C. ? 2 D. ? 3 3 2


6. 直线 l : y ? kx 与双曲线 C : x 2 ? y 2 ? 2 交于不同的两点, 则斜率 k 的取值范围是 ( A. (0,1) B. (? 2 , 2 ) C. (?1,1) D. [ ?1,1]

7.已知抛物线 C : y 2 ? 6 x 的焦点为 F , P 为抛物线 C 上任意一点,若 M (3, ) ,则

1 2

| PM | ? | PF | 的最小值是()
A.

11 2

B. 6

C.

7 9 D. 2 2
1

8. 中心在原点的椭圆长轴右顶点为 ( 2,0) , 直线 y ? x ? 1 与椭圆相交于 M , N 两点,MN 中 点的横坐标为

2 ,则此椭圆标准方程是( 3



A.

x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 B. ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 2 4 4 3 3 2 4 2

9.已知圆台的下底面周长是上底面周长的 3 倍,母线长为 3,且圆台的侧面积为 12? ,则 该圆台的体积为() A.

13 5 B 13 3 D ? . 13? C. ? . 13 5? 3 3

x2 y2 10.平行四边形 ABCD 的顶点 A 为双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的中心, 顶点 B 为双曲 a b ? 线的右焦点,顶点 C 在 y 轴正半轴上,顶点 D 恰好在该双曲线左支上,若 ?ABC ? 45 ,
则此双曲线的离心率是() A . 5 B.

5 ?3 5 ?1 C. 2 2

D.

5 2

11.已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F ,短轴的一个端点为 M ,直线 a 2 b2
4 , 5

l : 3x ? 4 y ? 0 交椭圆 E 于 A, B 两点,若 AF ? BF ? 4 ,点 M 到直线 l 的距离等于
则椭圆 E 的焦距长为() A. 2 B. 2 3 C. 3 D. 4 12.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,过左焦点 F1 (?c,0) 作圆 a2 b2

x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 E ,延长 F1 E 交抛物线 y 2 ? 4cx 于 P, Q 两点,则
| PE | ? | QE | 的值为()
A. 10 2a B. 10a C. (5 ? 5 )a D. 12 2a

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)各题答案必须填写在答题卡上 相应位置(只填结果,不写过程). 13.抛物线 x ? ?2 y 的准线方程为________
2

14.已知正四棱锥 V ? ABCD 的底面边长为 4 ,侧棱长为 13 ,则它的表面积为________
2

15. 椭圆与双曲线有相同的焦点 F1 (?c,0), F2 (c,0) , 椭圆的一个短轴端点为 B , 直线 F1 B 与 双曲线的一条渐近线平行,若椭圆与双曲线的离心率分别为 e1 , e2 ,则 3e1 ? e2 的最小值 为________ 16.如图,抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l ,过抛物线
B y A E O F l C x
2 2

7 上一点 A 作 l 的垂线, 垂足为 B , 设 C ( p,0) ,AF 与 BC 相交于点 E . 2
若 | CF |? 3 | AF | ,且 ?ACE 的面积为 3 ,则 p 的值为________

三、解答题:(本大题共 6 个小题,共 70 分)各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要 的文字说明、演算步骤或推理过程) 17. (本小题满分 10 分)已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 4 ? 0 . (1)求圆 C 的圆心坐标和半径; (2)直线 l 过点 A(4,0) 、 B(0,2) ,求直线 l 被圆 C 截得的弦长.

18. (本小题满分 12 分)设命题 p :不等式 x ? x 2 ? a 对 ?x ? 1 恒成立,命题 q :关于 x 的 方程 x 2 ? ax ? 1 ? 0 在 R 上有解. (1)若 ? p 为假命题,求实数 a 的取值范围; (2)若“ p ? q ”为假命题, “ p ? q ”为真命题,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分)双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F (c,0) . a2 b2

(1)若双曲线的一条渐近线方程为 y ? x 且 c ? 2 ,求双曲线的方程; (2)以原点 O 为圆心, c 为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为 A ,过 A 作 圆的切线,斜率为 ? 3 ,求双曲线的离心率.

3

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : 方程为 x ? 5 . (1)求椭圆方程;

x2 y 2 5 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且右准线 2 a b 5

(2)过椭圆右焦点 F 作斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, P 为椭圆上一动点,求

?PAB 面积的最大值.

21. (本小题满分 12 分)已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 (1,0) , A, B 是抛物线上位 于 x 轴两侧的两动点,且 OA ? OB ? ?4 ( O 为坐标原点) . (1)求抛物线方程; (2)证明:直线 AB 过定点 T ; (3)过点 T 作 AB 的垂线交抛物线于 M , N 两点,求四边形 AMBN 的面积的最小值.

x2 y2 ? ? 1(0 ? b ? 3) 的右焦点为 F , P 为椭圆 22. (本小题满分 12 分)如图,椭圆 C : 9 b2 8 上一动点,连接 PF 交椭圆于 Q 点,且 | PQ | 的最小值为 . 3
(1)求椭圆方程; (2)若 PF ? 2FQ ,求直线 PQ 的方程; (3) M , N 为椭圆上关于 x 轴对称的两点, 直线 PM , PN 分别与 x 轴交于 R, S , 求证: | OR | ? | OS | 为定值.

Q

4

重庆南开中学高 2018 级高二(上)半期考试

数 学 试 题(理科)参考答案
1-12: ACDAB CDDAC BA 13. y ?

1 ; 2

14. 40 ;15. 2 3 ;

16. 2 2

17.解: (1)圆的标准方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ,圆心坐标为 ( 2,2) ,半径为 r ? 2 ( 2)直线 l :

2 x y ? ? 1 即 x ? 2 y ? 4 ? 0 ,圆心 (2,2) 到直线 l 的距离 d ? ,所以弦长 4 2 5
8 5 5

? 2 r2 ? d 2 ?

18.解:命题 p : x ? x 2 在 x ? [1,??) 单调递减,? x ? x 2 的最大值为 0 ,故 a ? 0 命题 q : ? ? a 2 ? 4 ? 0 ? a ? 2 或 a ? ?2 (1) ? p 为假命题,则 a ? 0 (2) “ p ? q ”为假命题, “ p ? q ”为真命题,等价于 p 真 q 假,或者 p 假 q 真,则

a?0 ? a?0 ? 或? ? 实数 a 的取值范围为 a ? ?2或0 ? a ? 2 ? ?? 2 ? a ? 2 ?a ? ?2或a ? 2
19.解: (1)由题意,

b ? 1, c ? 2, a 2 ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2 ,? 所求双曲线方程为 a

x2 ? y2 ? 2
(2)由题意,设 A(m, n) ,则 k OA ?

3 3 3 c ,从而 n ? m ,m 2 ? n 2 ? c 2 ,? A( c, ) 3 3 2 2

将 A(

x2 y2 3c 2 c2 3 c c, ) 代入双曲线 2 ? 2 ? 1 得: 2 ? 2 ? 1? c 2 (3b 2 ? a 2 ) ? 4a 2b 2 2 2 4a 4b a b

2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 且 c ? a ? b ? (a ? b )(3b ? a ) ? 4a b ? 3b ? 2a b ? a ? 0

b 4 b 2 b2 b2 2 ? 3( ) ? 2( ) ? 1 ? 0 ? 2 ? 1 从而 e ? 1 ? 2 ? 2 ? e ? 2 a a a a
20.解: (1)

x2 y2 c 5 a2 ? ?1 ? , ? 5 ? a ? 5 , c ? 1 ,从而 b 2 ? 4 所以椭圆方程为 5 4 a 5 c
5

(2)右焦点 F (1,0) ,则直线 l : y ? x ? 1 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 联立得: 9 x 2 ? 10x ? 15 ? 0 5 4
16 5 ,设 P( 5 cos ? ,2 sin ? ) 到直线 9

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则弦 | AB |?

2 | x1 ? x2 |?

d?

| 5 cos? ? 2 sin ? ? 1 | 2

?

| 3 cos(? ? ? ) ? 1 | 2

max ?

4 2



? S ?PAB max ?

1 1 16 ? 4 16 10 | AB | d max ? ? ? ? 2 2 9 9 2
x2 y2 ? ? 1 相切,联立得: 9 x 2 ? 10mx ? 5m 2 ? 10 ? 0 5 4
4 2
即为椭圆上

法 2 :设 l ? : y ? x ? m 与椭圆

? ? ? 0 得: m 2 ? 9 ,当 m ? 3 时,即 l ? : y ? x ? 3 时 l 与 l ? 间的距离 d ?
动点 P 到直线 l : y ? x ? 1 的最大距离,亦即为 ?PAB 高的最大值

? S ?PAB max ?

1 1 16 ? 4 16 10 | AB | d max ? ? ? ? 2 2 9 9 2
2

21.解: (1)抛物线方程为 y ? 4 x (2)设 l AB : x ? my ? t 与抛物线 y ? 4 x 联系得: y ? 4my ? 4t ? 0
2 2

??0 ? ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 ? y1 ? y 2 ? 4m (*) ? y y ? ?4t ? 1 2
? x1 x2 ? y1 y 2 2 由 OA ? OB ? ?4 得:x1 x2 ? y1 y 2 ? ?4 即 t ? 4t ? 4 ? 0 ? t ? 2 , ? t2, 16
2 2

? l AB : x ? my ? 2 ,故直线 AB 过定点 T (2,0)
y y y y 法 2:设 A( 1 , y1 ) , B( 2 , y 2 ) ,由 OA ? OB ? ?4 ? 1 2 ? y1 y 2 ? ?4 ? y1 y 2 ? ?8 4 16 4
又有 k AB ?
2 y y y 4 4 ,? l AB : y ? y1 ? ( x ? 1 ) ,令 y ? 0 得 x ? ? 1 2 ? 2 ,所 4 y1 ? y 2 y1 ? y 2 4
2 2 2 2

以直线 AB 过定点 T (2,0)
6

(3)当 t ? 2 时,由(*)得: | AB |? 1 ? m 2 16m 2 ? 32 , 同理有 l MN : x ? ?

1 1 y ? 2 ,从而 | MN |? 1 ? 2 m m

16 ? 32 m2 ? 1? 1 m2 16 ? 32 m2

? S AMBN ?

1 1 | AB | ? | MN |? 2 2

1 ? m2 16m2 ? 32

? 8 (1 ? m 2 )(1 ?

1 1 ) ? (m 2 ? 2)( 2 ? 2) 2 m m

? 8 2 ? (m 2 ?

1 1 1 ) ? 5 ? 2(m2 ? 2 ) ,令 u ? m 2 ? 2 (u ? 2) ,则 2 m m m

? S AMBN ? 8 (2 ? u)(5 ? 2u) ,易知 (2 ? u)(5 ? 2u) 随着 u 增加单调递增,故当 u ? 2 即
m 2 ? 1 时? S AMBN ? 8 (2 ? u)(5 ? 2u) min ? 48

2b 2 8 x2 y2 2 ? ,且 a ? 3 ? b ? 4 ,故椭圆方程为 ? ?1 22.解: (1)由题意得 a 3 9 4
(2)设 lPQ : x ? my ? 5 与 4 x ? 9 y ? 36 联立得: (4m2 ? 9) y 2 ? 8 5my ? 16 ? 0
2 2

? ? ??0 ? 8 5m ? 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,则 ? y1 ? y 2 ? ? 4m 2 ? 9 ? ? y y ? ? 16 1 2 ? 4m 2 ? 9 ?
由 PF ? 2FQ 得 y1 ? ?2 y 2 ,

( y1 ? y 2 ) 2 y1 y 1 ? ?2? 2 ? ? y1 y 2 y2 y1 2



? 20m 2 1 1 ? ? ? m 2 ? ?lPQ : y ? ?2( x ? 5 ) 2 2 4 4m ? 9

( 3 ) 设 M ( x0 , y0 ) , N ( x0 ,? y0 ) , 则 l PM : y ? y 0 ?

y0 ? y1 ( x ? x0 ) , 令 y ? 0 得 x0 ? x1

xR ?

? y0 ( x0 ? x1 ) ? y0 ? y1 y ( x ? x1 ) ? x0 同理 l PN : y ? y0 ? ( x ? x0 ) 得 x S ? 0 0 ? x0 y0 ? y1 x0 ? x1 ? y0 ? y1
2 2 2 2

? y ( x ? x1 ) y ( x ? x1 ) x y ? x0 y1 ? x0 ) ? ( 0 0 (#) ? | OR | ? | OS |? ( 0 0 ? x0 ) ? 1 0 2 2 y 0 ? y1 ? y 0 ? y1 y 0 ? y1
7

x y y x y y 2 2 又 1 ? 1 ? 1 , 0 ? 0 ? 1? x1 ? 9(1 ? 1 ) ,? x0 ? 9(1 ? 0 ) 代入(#)得: 4 4 9 4 9 4
? | OR | ? | OS |? 9

2

2

2

2

2

2

8


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