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2.1 指数函数


第二章
2.1 指数函数

1.1.1 集合的概念

考点梳理
1.指数与指数运算 (1)根式的概念
n=a x 若 ,则 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1 且 n∈N*.

式子 a叫做根式,这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数.

n
<

br /> (2)根式的性质 ①a 的 n 次方根的表示 ? n ?x= a?当n为奇数且n∈N*时?, xn=a?? n ? * ?x=± a?当n为偶数且n∈N 时?. ②( a) =a(n∈N 且 a 必须使 a有意义). ③当 n 为奇数时, a =a;当 n 为偶数时, an=|a|=
? ?a?a≥0? ? ? ?-a?a<0? .

n

n

*

n

n

n

n

(3)分数指数幂的含义 ①正分数指数幂 = am(a>0,m,n∈N*,n>1). n

②负分数指数幂 a- =



(a>0, m, n∈N*, n>1).

③0 的正分数指数幂等于 0, 0 的负分数指数幂 没有意义 .

(4)有理数指数幂的运算性质 ①ar·as= ar+s (a>0,r,s∈Q).

②(ar)s= ars (a>0,r,s∈Q).
③(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q). 上述有理数指数幂的运算性质,对于无理数指数幂也适 用.

2.指数函数的图象与性质
y=ax a>1 0<a<1

图象

定义域 值域

性质

(1) R (2)(0,+∞) (3)过定点 (0,1) (4) 当 x > 0 (5) 当 x > 0 时, y>1 ;x 时,0<y<1 ; x<0 时, y>1 <0 时, 0<y<1 (6)在(-∞,+∞) (7)在(-∞,+∞)上是 增 函数 上是 增 函数

1
________.

指数函数的概念

(1) 函 数 y = (2a2 - 3a + 2)· ax 是 指 数 函 数 , 则 a 的 值 1 (2)指数函数 f(x)的图象过点(-3,8),则 f(2)=________.
1 [答案] (1)2 (2)4

[解析]

(1)y = (2a2 - 3a + 2)· ax 是 指 数 函 数 , 则 有

2 ? ?2a -3a+2=1, ? ? ?a>0且a≠1,

1 ∴a=2. (2)设 f(x)=ax(a>0,且 a≠1). 1 ∵f(x)的图象过点(-3,8), 1 ∴a =8,a3=8,故 a=2,
-3

∴f(x)=2x,∴f(2)=22=4.

2

指数函数的图象问题 (1)当a>1时,函数y=ax和y=(a-1)x2的图象只

可能是(

()1

)
当 a > 1 时 , 函

(2)图中的曲线是指数函数 y=ax 的图象, 已知 a 的值取 3, 1 4 3 10,3,5四个值,则相应的曲线 C1,C2,C3,C4 的 a 的值依次 是( )

4 1 3 A.3, 3,10,5 1 3 4 C.10,5,3, 3

3 1 4 B.5,10, 3,3 4 3 1 D. 3,3,5,10

(3)当a>0且a≠1时,函数f(x)=ax-2-3必过定点 ________.

(2)因为直线 x=1 与函数 y=ax 的图象相交于点(1,a). 1 3 4 又因为 0<10<5<1<3< 3,所以曲线 c1,c2,c3,c4 的 4 1 3 a 的值依次为3, 3,10,5. (3)当 a>0 且 a≠1 时,总有 a0=1,所以当 x=2 时,y= -2,过点(2,-2).

[答案] (1)A (2)A

(3)(2,-2)

若 函 若函数y=ax +(b-1)(a>0,且a≠1)的图象不经过第二象限,则 有( ) 数 B.0<a<1且b≤1 D.a>1且b≤0 A.a>1且by <1 C.0<a<1= 且b>0 [答案] D a x + (b -

1)
(a

3

与指数函数有关的定义域与值域问题 求下列函数的定义域与值域:

1 求 (1)y=2x-4; 下 2 列 (2)y=(3 )-|x|. 函 [ 分析 ] 数解答本题可根据指数函数的定义域为 R ,逐个分

析.

的 定




6.求下列函数的值域: (1)y=2


1 x

;(2)y=5

1-x

.

[解析]

1 1 - (1)∵- ≠0,∴y=2 x ≠1. x

∴y>0 且 y≠1,∴所求函数的值域是(0,1)∪(1,+∞). (2)∵ 1-x≥0,∴y=5
1-x

≥50=1.

∴所求函数的值域是[1,+∞).

[解析] (1)令 x-4≠0,得 x≠4, ∴定义域为{x|x∈R,且 x≠4}. 1 ∵ ≠0, x-4 ∴2x-4≠1, ∴y=2x-4的值域为{y|y>0,且 y≠1}.
1 1

(2)定义域为 R, ∵|x|≥0, 2 -|x| 3 |x| 3 0 ∴y=(3) =(2) ≥(2) =1. 2 -|x| 故 y=(3) 的值域为{y|y≥1}.

求下列函数的定义域和值域:

[分析]

(1)(2)(3)都是形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数,由

指数函数 y = a x ( a >0 ,且 a ≠ 1) 的定义域是 x ∈ R 可知,欲求定义 域,只需求使f(x)有意义的x的取值集合,而要求它们的值域, 需先求f(x)的值域再求af(x)值域,对于(4),可以看成关于2x的一

个二次函数,故可令t=2x,利用换元法求值域.

[解析] (1)x 应满足 x+4≠0,∴x≠-4, ∴定义域为{x|x≠-4,x∈R}.
2 2 ∵x≠-4,∴x+4≠0,∴ ≠0,∴23x-4≠1, x+4

2 ∴y=3 的值域为{y|y>0,且 y≠1}. x+4 (2)定义域为 R. 5 -|x| 3 |x| 3 0 ∵|x|≥0,∴y=(3) =(5) ≤(5) =1, ∴值域为{y|0<y≤1}.

(3)令 u=2x-x2=-(x-1)2+1,则 u≤1, 1u 又 y=(3) 为减函数, 1u 11 ∴y=(3) ≥(3) , 1 即函数的值域为[3,+∞).

(4)定义域为 R. 令 2x=t(t>0),则 y=4x-2x+1+1=t2-2t+1 =(t-1)2. ∵t>0,∴t-1>-1,∴(t-1)2≥0,∴y≥0, ∴值域为{y|y≥0}.

3

求下列函数的定义域和值域. 1x (1)y=(2) +1(-1≤x≤1); (3)y=3|x 1|.


1 (2)y=10x



3 [解析] (1)定义域[-1,1],值域[2,3].
1 (2))y=10x

定义域为{x|x≠0},值域{y|y>0 且 y≠1}

(3)y=3|x+1|定义域为 R,值域为{y|y≥1}.

●误区警示 易错点 指数函数中忽视分类讨论致误
4

(2013~2014 淮安高一检测)函数 f(x)=ax(a>0,

1 且 a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的差为2,则 a=________.
[错解] f(x)最大值为 f(1)=a,最小值为 f(0)=1,∴a-1

1 3 =2,∴a=2. [错因] 忽视①处当 0<a<1 时, 函数 f(x)在[0,1]上是减函数 1 这种情况,导致漏掉解 a=2.

[正解] (1)当 a>1 时,函数 f(x)=ax 在[0,1]上是增函数. 所以当 x=1 时,函数 f(x)取最大值; 当 x=0 时,函数 f(x)取最小值. 1 1 0 由题意得 f(1)-f(0)=2,即 a-a =2, 3 解得 a=2.

(2)当 0<a<1 时,函数 f(x)=ax 在[0,1]上是减函数①. 所以当 x=1 时,函数 f(x)取最小值;当 x=0 时,函数 f(x) 取最大值. 1 1 1 0 由题意得 f(0)-f(1)=2,即 a -a=2,解得 a=2. 3 1 综上知 a=2或2.

[答案]

3 1 2或2



知 a≠1,若函数f(x)=2ax-4在区间[-1,2]上的最大 已知a>0,且 值为10,则a =________.
> [解析] (1)若 a>1,则函数 y=ax 在区间[-1,2]上是递增 0 的, , 当 x=2 时 f(x)取得最大值 f(2)=2a2-4=10, 且 即 a2=7,又 a>1,∴a= 7. a≠ 1 , 若

(2)若 0<a<1,则函数 y=ax 在区间[-1,2]上是递减的, 当 x=-1 时,f(x)取得最大值 f(-1)=2a-1-4=10,∴a 1 =7. 1 综上所述,a 的值为 7或7.

[答案]

1 7或7

●典例探究

利用指数函数的性质比较大小
比较下列每组中两个数的大小:

(1)1.72.5,1.73;
(2)0.8-0.1,0.8-0.2; (3)1.70.3,0.93.1. [分析] 分析各数的构成特征,将其看作指数函数的两个 函数值,用单调性得出结论,或直接运用指数函数值的分布规

律求解.

1

指数函数

? 1? f(x)的图象过点?3,8?,则 ? ?

f(-2)与 f(-3)的大小

关系为________.

[答案] f(-2)<f(-3)
[解析] ∵f(x)=a
x

? 1? 1 过点?3,8?,∴a=2; ? ?

?1? f(x)=?2?x 是减函数,∴f(-2)<f(-3). ? ?

函数图象的变换

例1 画出下列函数的图象,并说明它们是由函 数f(x)=2x的图象经过怎样的变化得到的.

(1) y ? 2

x ?1 | x| x

(2) y ? 2 ? 1
x

(3) y ? 2

(4) y ?| 2 ? 1|
x

(5) y ? ?2

(6) y ? ?2

?x

2.(2011· 四川)函数 的图象大致是

?1?x y=?2? +1 ? ?

的图象关于直线 y=x 对称 ( ).

解析

函数

?1?x y=?2? +1 ? ?

的图象如图,作

其关于直线 y=x 的对称图象,可知选 A.

答案 A

考向二 指数函数的图象及应用
1 【例 2】?(2012· 四川)函数 y=a -a(a>0,且 a≠1)的图
x

象可能是

(

).

[审题视点] 对a分a>1和0<a<1两种情况讨论,然后结合指 数函数的性质(如单调性)进行判断.

解析

1 注意到当 0<a<1 时,函数 y=a -a是减函数,且其
x x

1 图象可视为是由函数 y=a 的图象向下平移a个单位长度 得到的,结合各选项知,选 D.

答案 D

考向二 指数函数的图象及其应用
? ?a,a≤b, a⊕b=? ? ?b,a>b,

【例 2】 ?(1)(2013· 江门调研)定义运算 函数 f(x)=1⊕2x 的图象是图中的

则 ).

(

(2)方程2x-2+x=0的解的个数是________.

[ 审题视点 ] (1) 根据新的定义确定 f ( x ) ,再结合图象可
得;(2)构造两个函数,用图象的交点个数来确定.
解析 (1)f(x)=1⊕2
x

? ?1,x≥0, =? x ? ?2 ,x<0,

结合图象

A 项符合题意. (2)方程的解可看作函数 y=2x 和 y=2-x 的图 象交点的横坐标,分别作出这两个函数图象 (如图). 由图象得只有一个交点,因此该方程只有一 个解. 答案 (1)A

(2)1

【训练2】 k为何值时,方程|3x-1|=k无解?有一解?有 两解? 解 函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x

的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下
方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的,函数 图象如图所示.

当k<0时,直线y=k与函数y=|3x-1|的
图象无交点,即方程无解;当k=0或k≥1时, 直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交

点,所以方程有一解;
当0<k<1时,直线y=k与函数y=|3x-1| 的图象有两个不同交点,所以方程有两解.

2

已知函数

?1? + y=?2?|x 2|①作出其图象;②指出其单调区间;③ ? ?

确定 x 取何值时,y 有最值.

[解析] ①

②增区间(-∞,-2];减区间[-2,+∞).

③x=-2时,ymax=1,无最小值.

3
3

单调性的判断
1 x2-2x 讨论函数 f(x)=(3) 的单调性,并求其值域.

1 x2-2x [分析] 分析一:对于 x∈R,(3) >0 恒成立,因此可以 通过作商讨论函数 f(x)的单调区间. 分析二: 此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数, 因此可以通过逐层讨论它的单调性,综合得一以结果.

解法二:∵函数 f(x)的定义域为 R,令 u=x2-2x, 1u 则 g(u)=(3) . ∵u=x2-2x=(x-1)2-1,在(-∞,1)上是减函数, 1u g(u)=(3) 在其定义域内是减函数, ∴函数 f(x)在(-∞,1]内为增函数. 1u 又 g(u)=(3) 在其定义域内为减函数,而 u=x2-2x=(x-1)2-1 在[1,+∞)上是增函数. ∴函数 f(x)在[1,+∞)上是减函数. 求值域同解法一.

3

1 x2-6x+17 求函数 f(x)=(2) 的定义域、值域、单调区间.
[解析] 函数 f(x)的定义域为 R.令 t=x2-6x+17,则 f(t)= 1t (2) .∵t=x2-6x+17=(x-3)2+8 在(-∞, 3)上是减函数, 而 f(t) 1t =(2) 在其定义域内是减函数,∴函数 f(x)在(-∞,3)上为增函 数.

又∵t=x2-6x+17=(x-3)2+8 在[3,+∞)上为增函数, 1t 而 f(t)=(2) 在其定义域内是减函数,∴函数 f(x)在[3,+∞)为 1t 减函数.∵t=x -6x+17=(x-3) +8≥8,而 f(t)=(2) 在其定
2 2

1 x2-6x+17 1 8 1 义域内是减函数,∴f(x)=(2) ≤(2) =256,∴函数 f(x)的 1 值域为(0,256].

●误区警示
易错点 换元时忽略中间变量的范围而出错 [易错点辨析] 用换元法解题时,一定要利用原变量的范 围确定中间变量的范围,这样才可达到等价变换的效果.

1x 1x 求函数 y=(4) +(2) +1 的值域. 1x [错解] 令 t=(2) ,则 y=f(t)=t2+t+1,
4

12 3 3 即 y=(t+2) +4,所以 ymin=4. 3 故函数的值域为[4,+∞).
[错因分析] 换元时, 要利用指数函数的性质确定 t 的取值 范围.错解中忽略了这一点.

1x [正解] 令 t=(2) ,则 t>0, 12 3 y=f(t)=t +t+1=(t+2) +4,
2

12 3 因为函数 f(t)=(t+2) +4在(0,+∞)上为增函数, 所以 y∈(1,+∞),即函数的值域为(1,+∞).


x+2·3x-2的值域. 求函数y=9函 数 x=t,则y=t2+2t-2=(t+1)2-3. [解析] 设3

∵上式中当y t=0时y=-2, = 又∵t=3x> 0, 9 3x-2的值域为(-2,+∞). ∴y=9x+2· + 2 ·
x

3x


【训练3】 设a>0且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1,1] 上的最大值是14,求a的值.

解 令 t=ax(a>0 且 a≠1), 则原函数化为 y=(t+1)2-2(t>0). ①当 0<a<1 时,x∈[-1,1],t=a 此时 所以
? 1? f(t)在?a,a?上为增函数. ? ? ?1? ?1 ? f(t)max=f?a?=?a+1?2-2=14. ? ? ? ?
x

? 1? ∈?a,a?, ? ?

?1 ? 所以?a+1?2=16,所以 ? ?

1 1 a=- 或 a= . 5 3

②当 a>1 时,x∈[-1,1],t=a 此时
?1 ? f(t)在?a,a?上是增函数. ? ?

x

?1 ? ∈?a,a?, ? ?

所以 f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14, 解得 a=3(a=-5 舍去). 1 综上得 a=3或 3.

【试一试】 函数

?1? ?1? x y=?4? -?2?x+1 ? ? ? ?

在 x∈[-3,2]上的值域是

________. ? 1? ?1? ??1? ? ?1? x x x 2 解析 y=?4? -?2? +1=??2? ? -?2?x+1 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??1? ? ? ? ? x 1? 2 3 =? 2 -2? + , 4 ?? ? ? 1 ?1?x 因为 x∈[-3,2],所以4≤?2? ≤8. ? ? ?1? 1 3 x ? ? 当 2 =2时,ymin=4; ? ? ?1? 当?2?x=8 时,ymax=57. ? ? ?3 ? ?3 ? 所以函数 y 的值域为?4,57?.故填?4,57?. 答案 ? ? ? ?

?3 ? ? ,57? ?4 ?

3
3

函数的图象与性质

已知函数 f(x)=a

x2-x-1

1 的图象经过点(2, 其中 2),

a>0 且 a≠1. (1)求 a 的值; (2)求函数 y=f(x)的单调区间.
1 1 [分析] 由函数 f(x)的图象过点(2,2)知,f(2)=2可求得 a 的值,由复合函数性质求 f(x)单调区间.

1 [解析] (1)∵函数图象过点(2, ), 2 1 1 4-2-1 ∴a =2,则 a=2. 1 x2-x-1 (2)f(x)=(2) , 1u 1u 2 设 y=( ) ,u=x -x-1,由于 y=( ) 是减函数,u=x2-x 2 2 1 1 -1,在(-∞, )上递减,在( ,+∞)上递增. 2 2 1 x2-x-1 1 由复合函数性质得,f(x)=(2) 的增区间为(-∞,2), 1 减区间为( ,+∞). 2

函数性质的综合应用
1 1 已知函数 f(x)=( x + )· x. 2 -1 2 (1)求函数的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性; (3)求证:f(x)>0.

[分析] 判断奇偶性利用定义,由于该函数是偶函数,只需 证明当x>0时,f(x)>0即可.

[解析]

(1)由 2x-1≠0, 得 x≠0, 故函数 f(x)的定义域是(-

∞,0)∪(0,+∞).
x 2+2x-1 1 1 x 2 +1 (2)∵f(x)=( x +2)· x= · x=2·x , 2 -1 2· ?2x-1? 2 -1 x x x x 2 +1 x 1+2 x 2 +1 又 f(-x)=- ·-x =- · x= ·x =f(x), 2 2 -1 2 1-2 2 2 -1


∴函数 f(x)是偶函数.

(3)证明:当 x>0 时,2x>1,∴2x-1>0. 1 1 ∴( x +2)· x>0,即 f(x)>0. 2 -1 又∵f(x)是偶函数,故当 x<0 时,f(x)>0 亦成立, ∴对于定义域内的 x,总有 f(x)>0.

6.已知函数 y=2

x2-6x+7

.

(1)求函数的定义域、值域; (2)确定函数的单调区间.
[解析] (1)设 u=x2-6x+7,由于函数 y=2u 及 u=x2-6x

+7 的定义域都是 R,故函数 y=2x2-6x+7 的定义域为 R. ∵u=x2-6x+7=(x-3)2-2≥-2, 又函数 y=2u 在 R 上单 调递增, ∴2u≥2 2.


∴函数 y=2

x2-6x+7

1 的值域为[4,+∞).

(2)函数 u=x2-6x+7 在[3, +∞)上是增函数, 即对任意的 x1、x2∈[3,+∞),且 x1<x2,有 u1<u2,从而 2u1>2u2,即 y1>y2, ∴函数 y=2
+7

x2-6x+7

在[3,+∞)上是增函数,同理可知 y=2

x2-6x

在(-∞,3]上是减函数.


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