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2014年高考数学三模试卷一


2014 年高考数学三模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.
1.已知集合 A={x|(x-1)(x-5)<0},B={x|log2x≤2},则集合 A∩B=( )

A . {x|0 < x < 4} B . {x|0 < x < 5} C . {x|1 < x ≤ 4} D . {x|4 ≤ x

< 5}
2.在复平面内,复数 z 和 2i 表示的点关于虚轴对称,则复数 z=(
2?i

)A . 2
5

?

4 B. i 5

2 4 C. ? i 5 5

-

2 4 D.? i 5 5

2 4 ? i 5 5

3.下列说法正确的是(

)A . “ f ( 0 ) =0 ” 是 “ 函 数 f ( x ) 是 奇 函 数 ” 的 充 要 条 件

B . 若 p : ? x 0 ∈ R , x 0 2 -x 0 -1 > 0 , 则 ¬ p : ? x ∈ R , x 2 -x-1 < 0 C. 若 p∧ q 为 假 命 题 , 则 p, q 均 为 假 命 题 D . “ 若 α = ? , 则 sin α = 1 ” 的 否 命 题 是 “ 若 α ≠ ? , 则 sin α ≠ 1 ”
6

2

6

2

4.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据,并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄 关系的散点图.根据该图,下列结论中正确的是( )A. 人 体 脂 肪 含 量 与 年 龄 正 相 关 , 且 脂 肪 含 量 的 中 位

数 等 于 20%

B. 人 体 脂 肪 含 量 与 年 龄 正 相 关 , 且 脂 肪 含 量 的 中 位 数 小 于 20%

C. 人 体 脂 肪 含 量 与 年 龄 负 相 关 , 且 脂 肪 含 量 的 中 位 数 等 于 20% D. 人 体 脂 肪 含 量 与 年 龄 负 相 关 , 且 脂 肪 含 量 的 中 位 数 小 于 20%

4 题图

5 题图

5.如图,已知 A,B 两点分别在河的两岸,某测量者在点 A 所在的河岸边另选定一点 C,测得 AC=50m,∠ACB=45° , ∠CAB=105° ,则 A、B 两点的距离为( )A . 50
3m

B . 25

3m

C . 25

2m

D . 50

2m

6.用 0,1,2,3,4 这五个数字组成没有重复数字的五位数中,奇数的个数是(

)A . 24 B . 36 C . 48 D . 72 )

?x ? y ? 1 7.若 x,y 满足约束条件 ? ,目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,则实数 a 的取值范围是( ? x ? y ? ?1 ?2 x ? y ? 2 ?

A . ( -1 , 2 ) B . ( -4 , 2 ) C . ( -4 , 0] D . ( -2 , 4 )
8. 已知实数 x∈[1, 10], 执行如图所示的程序框图, 则输出 x 的值不小于 55 的概率为 ( A.
1 9



B.

2 9

C.

4 9

D.

5 9

2 2 9.设 P 是双曲线 x ? y ? 1 (a>0,b>0)上除顶点外的任意一点,F1、F2 分别是 2 2 a b

双曲线的左、右焦点,△PF1F2 的内切圆与边 F1F2 相切于点 M,则 F1 M

? MF =(



A . a 2 B . b 2 C . a 2 +b 2 D . 0.5 b 2
x 10.已知函数 f(x)= e ? m ,若?a,b,c∈R,f(a),f(b),

ex ?1

f(c)为某一个三角形的边长,则实数 m 的取值范围是(

) A .[0.5,1] B .[0 ,1] C .[1 ,2] D .[0.5,2]

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.( x ? 1
x

) 6 的展开式的中间一项是_____

12.在 Rt△ABC 中,C=

?
2

,B= ? ,CA=1,则|2 AC ? AB |=____ 6

13.如图,网格纸是边长为 1 的小正方形,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则该多面体的体积为_____

14.等边三角形一个顶点在坐标原点,另外两个顶点在抛物线 y2=2x 上,则该三角形面积是____ 15.设[x]表示不超过 x 的最大整数,如[π]=3,[-2.3]=-3.给出下列命题:①对任意实数 x,都有 x-1<[x]≤x;②对任意实 数 x,y,都有[x+y]≤[x]+[y];③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=90;④若函数 f(x)=[x?[x]],当 x∈[0,n)(n∈N*)时,令 f(x)的值域为 A,记集合 A 的元素个数为 an,则 a n ? 49 的最小值为 9.5 其中所有真命题的序号是_________
n

三、解答题:16.设平面向量 m =(cos2 x ,
2

3

sinx), n =(2,1),函数 f(x)= m ? n . (Ⅰ)当 x∈[- ? , ? ] 3 2

时,求函数 f(x)的取值范围;(Ⅱ)当 f(α)= 13 ,且- 2? <α< ? 时,求 sin(2α+ ? )的值. 3 5 6 3

17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 满足:Sn=1.5 an+n-3.(Ⅰ)求证:数列{an-1}是等比数列;(Ⅱ)令 cn=log3(a1-1) +log3(a2-1)+…+log3(an-1),对任意 n∈N*,是否存在正整数 m,使 1 ? 1 ? ? ? 1 ≥ m 都成立?若存在,求出 3 c1 c2 cn m 的值;若不存在,请说明理由.

18.某学校为了选拔学生参加“XX 市中学生知识竞赛”,先在本校进行选拔测试(满分 150 分),若该校有 100 名学生参 加选拔测试,并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)根据频率分布直方图,估算这 100 名学生参加选拔测试的平均成绩; (Ⅱ)若通过学校选拔测试的学生将代表学校参加市知识竞赛,知识竞赛分为初赛和复 赛,初赛中每人最多有 5 次答题机会,累计答对 3 题或答错 3 题即终止,答对 3 题者方 可参加复赛.假设参赛者甲答对每一个题的概率都是 2/3 ,求甲在初赛中答题个数的分 布列和数学期望.

19.如图,四边形 ABCD 是梯形,四边形 CDEF 是矩形,且平面 ABCD⊥平面 CDEF, ∠BAD=∠CDA=90° ,AB=AD=DE=0.5CD,M 是线段 AE 上的动点. (Ⅰ)试确定点 M 的位置,使 AC∥平面 DMF,并说明理由; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求平面 DMF 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值.

20.如图,已知圆 E:(x+

3 )2+y2=16,点 F( 3 ,0),P 是圆 E 上任意一点.线段 PF

的垂直平分线和半径 PE 相交于 Q.(Ⅰ)求动点 Q 的轨迹 Γ 的方程;(Ⅱ)已知 A,B,C 是 轨迹 Γ 的三个动点,A 与 B 关于原点对称,且|CA|=|CB|,问△ABC 的面积是否存在最小值?若 存在,求出此时点 C 的坐标,若不存在,请说明理由.

21.已知函数 f(x)=ex-1-ax,(a∈R).(Ⅰ)求函数 y=f(x)的单调区间; (Ⅱ) 试探究函数 F (x) =f (x) -xlnx 在定义域内是否存在零点, 若存在, 请指出有几个零点; 若不存在, 请说明理由. (Ⅲ) 若 g(x)=ln(ex-1)-lnx,且 f(g(x))<f(x)在 x∈(0,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围.

答案 1 。 C 、2 。A、 3。 D 、4 。B 、5 。D 、6 。B 、7。 B 、8 。C 、9 。B、 10。 D

11、– 20

12、 2

13、16

14、12 3

15 、 ①④
x 2

16 解 析 : (Ⅰ) ∵

( cos 2 m=

x , 3) , 2

2 ( 2, 1) , ∴ f ( x ) = ( cos n=



3 sin x )

?(2 , 1)

= 2 cos 2

x 2

+ 3 sin x = cos x + 3 sin x +1 = 2sin( x + ? )+1 . 当 x ∈ [? ? , ? ] 时 ,
6 3

2

x + ? ∈ [? ? , 2? ] , 则 ? 1 ≤sin( x + ? )≤1 , 0≤2sin( x + ? )+1≤3 ,
6

6

3

2

6

6

∴ f ( x ) 的 取 值 范 围 是 [0 , 3] ; ( Ⅱ ) 由 f (α) = 2sin(α+ ? )+1 = 13 ,
6 5

得 sin(α+ ? ) = 4 , ∵ ? 2? < α < ? , ∴ ? ? < α+ ? < ? , 得 cos(α+ ? ) = 3 ,
6
5

3

6

2

6

3

6

5

∴ sin (2α+ ? ) = sin[2(α+ ? )] = 2sin(α+ ? )cos(α+ ? ) = 2× 4 × 3 = 24 .
3 6 6 6 5 5 25

17( Ⅰ ) 证 明 : 当 n=1 时 , S 1 = a 1 = 3 2
2

a 1 ? 2 , 解 得 a 1 =4 ,

当 n≥ 2 时 , 由 Sn= 3 an+n?3 得 Sn?1= 3 an?1+n?4,
2

两 式 相 减 , 得 S n ? S n ? 1 = 3 a n ? 3 a n ? 1 +1 , 即 a n =3a n - 1 -2 , 则 a n -1=3 ( a n - 1 -1 ) ,
2 2

故 数 列 {a n -1} 是 以 a 1 -1=3 为 首 项 , 公 比 为 3 的 等 比 数 列 . ( Ⅱ ) 解 : 由 ( Ⅰ ) 知 a n ? 1 = 3 , c n = log 3 ( a 1 ? 1)+ log 3 ( a 2 ?1)+…+ log 3 ( a n ? 1) =
n

1+2+…+ n =


n( n ? 1) , 所 以 1 = 2 2 n( n ? 1) cn

= 2( 1 ?
n

1 ), n ?1

1 1 1 = 2[(1? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 ) ] = 2(1? 1 ) , ? ??? 2 2 3 n n ?1 n ?1 c1 c 2 cn 1 1 1 m 由 ≥ 对 任 意 n ∈ N * 都 成 立 , 得 2(1? 1 )≥ m , ? ??? n ?1 3 c1 c 2 cn 3
即 m ≤6(1? ∵ 6(1?
1 )对 任 意 n∈ N*都 成 立 , n ?1

1 )≥6×(1? 1 2 n ?1

)= 3, ∴ m≤ 3. 又 ∵ m∈ N*, ∴ m 的 值 为 1, 2, 3.

故 对 任 意 n ∈ N * , 存 在 正 整 数 m=1 , 2 , 3 , 使 1 ? 1 ? ? ? 1 ≥ m 都 成 立 . 3 c1 c 2 cn
18( Ⅰ ) 设 平 均 成 绩 的 估 计 值 为

x ,

= (20×0.001+40×0.004+60×0.009+80×0.020+100 ×0.012+120×0.003+140×0.001)×20 =80.4 .
则:
X

( Ⅱ ) 记 甲 在 初 赛 中 的 答 题 个 数 为 随 机 变 量 ξ , 这 ξ 的 可 能 值 为 3, 4, 5,

P (ξ = 3) = (

2 3 2 1 ) ? (1 ? ) 3 = , 3 3 3
3 3 3 3 3 2 3 3 3 27

2 2 2 2 2 2 10 1 2 1 P (ξ = 4) = C32 ? ( 2 ) 2 ? (1 ? 2 ) ? 2 ? C3 C3 ? ( ) 2 ? (1 ? ) ? ? C 3 ? ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) ?

P (ξ = 5) = 1? 1 - 10 ? 8 . 则 ξ 的 分 布 列 为
3 27 27
ξ 3 4 5

p

1 3

1 0

8

2 7
所 以 ξ 数 学 期 望 E ξ = 3× +4×

2 7
10 8 107 +5× = . 27 27 27

1 3

19: ( Ⅰ ) 当 M 是 线 段 AE 的 中 点 时 , AC ∥ 平 面 DMF .

证 明 如 下 : 连 结 CE , 交 DF 于 N , 连 结 MN , 由 于 M 、 N 分 别 是 AE 、 CE 的 中 点 , 所 以 MN ∥ AC , 由 于 MN ? 平 面 DMF , 又 AC 不 包 含 于 平 面 DMF , ∴ AC ∥ 平 面 DMF . ( 4 分 ) ( Ⅱ ) 方 法 一 : 过 点 D 作 平 面 DMF 与 平 面 ABCD 的 交 线 l , ∵ AC ∥ 平 面 DMF , ∴ AC ∥ l , 过 点 M 作 MG ⊥ AD 于 G , ∵ 平 面 ABCD ⊥ 平 面 CDEF , DE ⊥ CD , ∴ DE ⊥ 平 面 ABCD , ∴ 平 面 ADE ⊥ 平 面 ABCD , ∴ MG ⊥ 平 面 ABCD , 过 G 作 GH ⊥ l 于 H , 连 结 MH , 则 直 线 l ⊥ 平 面 MGH , ∴ l ⊥ MH , ∴ ∠ MHG 是 平 面 MDF 与 平 面 ABCD 所 成 锐 二 面 角 的 平 面 角 .( 8 分) 设 AB=2 , 则 DG=1 , GH = DG sin ∠ GDH = DG sin ∠ DAC 1×
2 5 ? 2 , MG = 0.5 DE = 1 , 则 5

MH =



2 5

2 ) ? 12 ?

3 5

, ( 11 分 )

∴ cos ∠ MHG =

2 GH 2 3 2 ? ? ? , ∴ 所 求 二 面 角 的 余 弦 值 为 . ( 12 分 ) 3 MH 5 5 3

方 法 二 : ∵ 平 面 ABCD ⊥ 平 面 CDEF , DE ⊥ CD , ∴ DE ⊥ 平 面 ABCD ,可 知 AD , CD , DE 两 两 垂 直 , 分 别 以

DA, DC, DE 的 方 向 为 x , y ,

z 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O-xyz . 设 AB=2 , 则 M ( 1 , 0 , 1 ) , F ( 0 , 4 , 2 ) ,

DM = (1 , 0 , 1) , DF = (0 , 4 , 2) ,

设 平 面 MDF 的 法 向 量 n 1 = ( x , y , z ) ,



?x ? z ? 0 , n ? DM ? 0, n ? DF ? 0 , ∴ ? ?4 y ? 2 z ? 0

令 y=1 , 得 平 面 MDF 的 一 个 法 向 量 取 平 面 ABCD 的 法 向 量

n = ( 2 , 1 , -2 ) , ( 8 分 )

m =( 0, 0, 1) , ( 9 分 )

由 cos <

n , m >=

2 , ( 11 分 ) 3 2 . ( 12 分 ) 3

∴ 平 面 MDF 与 平 面 ABCD 所 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为

20 显示解析解 : ( Ⅰ ) 连 结 QF , 根 据 题 意 , |QP|=|QF| , 则 |QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4

> | EF | = 2 3 , 故 动 点 Q 的 轨 迹 Γ 是 以 E , F 为 焦 点 , 长 轴 长 为 4 的 椭 圆 . ( 2 分 )

x2 y2 2 2 设 其 方 程 为 2 ? 2 ? 1 ( a > b > 0) , 可 知 a=2 , c = a ? b = 3 , 则 b=1 , ( 3 分 ) a b
所以点 Q 的轨迹Γ 的方程为为 (Ⅱ)存在最小值.(5 分) ( ⅰ )当 AB 为 长 轴( 或 短 轴 )时 ,可 知 点 C 就 是 椭 圆 的 上 、下 顶 点( 或 左 、右 顶 点 ), 则 S △ A BC =

x2 2 +y = 1. ( 4 分 ) 4

1 ×| OC |×| AB | = ab = 2 . ( 6 分 ) 2

(ⅱ) 当 直 线 AB 的 斜 率 存 在 且 不 为 0 时 , 设 斜 率 为 k, 则 直 线 AB 的 直 线 方 程 为 y=kx ,

设 点 A( xA, yA) , 联立方程组

4 4k x2 2 2 2 ? ? + y = 1 与 y=kx 消 去 y 得 x A = yA , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 4

由 |CA|=|CB| , 知 △ ABC 是 等 腰 三 角 形 , O 为 AB 的 中 点 , 则 OC ⊥ AB , 可 知 直 线 OC 的

1 4 4k 2 2 2 方 程 为 y = . x , 同 理 可 得 点 C 的 坐 标 满 足 xC = 2 , yC = 2 , k k ?4 k ?4
则 | OA | =
2

4k 2 4k 2 4(1 ? k 2 ) + = , k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4

| OC | 2 =

4 4k 2 4(1 ? k 2 ) + = ,(8 分) k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4
2

则 S △ A BC = 2 S △ O AC = | OA |×| OC | = | OA | = =

4(1 ? k 2 ) .(9 分) (1 ? 4k 2 )(k 2 ? 4)

由于

(1 ? 4k 2 )( k 2 ? 4) ≤

(1 ? 4k 2 ) ? (k 2 ? 4) 5(1 ? k 2 ) ≤ , 2 2

5 , 当 且 仅 当 1+4k 2 =k 2 +4 , 即 k 2 =1 时 取 等 号 . 8 5 综 合 ( ⅰ ) ( ⅱ ) , 当 k 2 =1 时 , △ ABC 的 面 积 取 最 小 值 , ( 11 分 ) 8
所 以 S △ A BC = 2 S △ O A C ≥ =

此时

2 = xC

4k 4 4 4 2 5 2 5 2 = , yC = 2 = , 即 xC= ± , yC= ± , 5 5 k ?4 k ?4 5 5
2

所以点 C 的坐标为(

2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 , ), ( ,? ) , (? , ) , (? , 5 5 5 5 5 5 5

?

2 5 ) . ( 13 分 ) 5

21 解 : ( Ⅰ ) ∵ f ( x ) =e x -1-ax , ( x ∈ R , a ∈ R ) ,

∴ f ′ ( x ) =e x -a , ① 当 a≤ 0 时 , 则 ?x∈ R 有 f′ ( x) > 0, ∴ 函 数 f( x) 在 区 间 ( -∞ , +∞ ) 单 调 递 增 ; ② 当 a > 0 时 , f ′ ( x ) > 0 ? x > lna , f ′ ( x ) < 0 ? x < lna ∴ 函 数 f ( x ) 的 单 调 增 区 间 为 ( lna , + ∞ ) , 单 调 减 区 间 为 ( - ∞ , lna ) . 综 合 ① ② 的 当 a≤ 0 时 , 函 数 f( x) 的 单 调 增 区 间 为 ( -∞ , +∞ ) ; 当 a > 0 时 ,函 数 f( x )的 单 调 增 区 间 为( lna ,+ ∞ ),单 调 减 区 间 为( - ∞ ,lna ). ( Ⅱ ) 函 数 F ( x ) =f ( x ) -xlnx 定 义 域 为 ( 0 , + ∞ ) ,

ex ?1 又 F(x)= 0? a= ? lnx , x > 0 , x
令 h( x) =

ex ?1 ? lnx , x > 0 , x
(e x ? 1)(x ? 1) , x> 0, x2

则 h′ ( x) =

∴ h′ ( x) > 0 ?x> 1, h′ ( x) < 0 ?0< x< 1, ∴ 函 数 h( x) 在 ( 0, 1) 上 单 调 递 减 , 在 ( 1, +∞ ) 上 单 调 递 增 . ∴ h ( x ) ≥ h ( 1 ) =e-1 由 ( 1 ) 知 当 a=1 时 , 对 ? x > 0 , 有 f ( x ) > f ( lna ) =0 , 即 e ? 1 > x ? ∴ 当 x> 0 且 x 趋 向 0 时 , h( x) 趋 向 +∞ 随 着 x > 0 的 增 长 , y=e x -1 的 增 长 速 度 越 来 越 快 , 会 超 过 并 远 远 大 于 y=x 2 的 增 长 速 度 , 而 y=lnx 的 增 长 速 度 则 会 越 来 越 慢 . 故 当 x> 0 且 x 趋 向 +∞ 时 , h( x) 趋 向 +∞ . 得 到 函 数 h( x) 的 草 图 如 图 所 示 故 ① 当 a > e-1 时 , 函 数 F ( x ) 有 两 个 不 同 的 零 点 ;
x

ex ?1 >1 x

② 当 a=e-1 时 , 函 数 F ( x ) 有 且 仅 有 一 个 零 点 ; ③ 当 a < e-1 时 , 函 数 F ( x ) 无 零 点 ; ( Ⅲ ) 由 ( 2 ) 知 当 x > 0 时 , e x -1 > x , 故 对 ? x > 0 , g ( x ) > 0 ,

先 分 析 法 证 明 : ?x> 0, g( x) < x 要 证 ?x> 0, g( x) < x 只 需 证 ? x> 0,

ex ?1 < ex x

即 证 ? x > 0 , xe x -e x +1 > 0 构 造 函 数 H ( x ) =xe x -e x +1 , ( x > 0 ) ∴ H ′ ( x ) =xe x > 0 , ? x > 0 故 函 数 H ( x ) =xe x -e x +1 在 ( 0 , + ∞ ) 单 调 递 增 , ∴ H ( x ) > H ( 0 ) =0 , 则 ? x > 0 , xe x -e x +1 > 0 成 立 . ① 当 a≤ 1 时 , 由 ( 1) 知 , 函 数 f( x) 在 ( 0, +∞ ) 单 调 递 增 , 则 f( g( x) ) < f( x) 在 x∈ ( 0, +∞ ) 上 恒 成 立 . ② 当 a > 1 时 , 由 ( 1 ) 知 , 函 数 f ( x ) 在 ( lna , + ∞ ) 单 调 递 增 , 在 ( 0 , lna ) 单 调 递 减 , 故 当 0 < x < lna 时 , 0 < g ( x ) < x < lna , ∴ f( g( x) ) > f( x) , 则 不 满 足 题 意 . 综 合 ① ② 得 , 满 足 题 意 的 实 数 a 的 取 值 范 围 ( - ∞ , 1] .


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