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二轮复习高三二轮复习:第九篇


第1讲 直线的方程

【2013年高考会这样考】 1.考查直线的有关概念,如直线的倾斜角、斜率、截距等; 考查过两点的斜率公式. 2.求不同条件下的直线方程(点斜式、两点式及一般式等). 3.直线常与圆锥曲线结合,属中高档题.

【复习指导】 1.本讲是解析几何的基础,它渗透到解析几何的各个部分,复 习时应把握基础点,重视基础知识之间的

联系,注意基本方法 的相互结合,提高通性通法的熟练程度,提高选择题和填空题 的正确率. 2.在本讲复习中,注意熟练地画出图形,抓住图形的特征量, 利用该特征量解决问题往往能达到事半功倍的效果.

基础梳理 1.直线的倾斜角 (1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴 正方向 与 直线l 向上方向 之间所成的角α叫做直线l的倾斜角,当直线l

与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0° . (2)倾斜角的取值范围: [0,π) .

2.直线的斜率 (1)定义:当 α≠90° 时,一条直线的倾斜角α的 正切值 叫做这 条直线的斜率,斜率通常用小写字母k表示,即k= tan_α ,倾 斜角是90° 的直线,其斜率不存在. (2)经过两点的直线的斜率公式: 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 y2-y1 k= . x2-x1

3.直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式 方程 y-y1=k(x-x1) y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 (x1≠x2,y1≠y2) 适用范围 不含垂直于x轴的直线 不含垂直于x轴的直线 不含垂直于坐标轴的 直线

两点式

截距式

x y a+b=1(ab≠0) Ax+By+C=0 (A,B不同时为零)

不含垂直于坐标轴 和过原点的直线 平面直角坐标系内 的直线都适用

一般式

4.过P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程 (1)若x1=x2,且y1≠y2时,直线垂直于x轴,方程为 x=x1 . (2)若x1≠x2,且y1=y2时,直线垂直于y轴,方程为 y=y1 . y-y1 x-x1 (3)若x1≠x2,且y1≠y2时,方程为 = . y2-y1 x2-x1

5.线段的中点坐标公式 若点P1、P2的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),线段P1P2的中点M ? x1+x2 ?x= , 2 ? 的坐标为(x,y),则 ? ? y1+y2 ?y= 2 , ? 坐标公式.

此公式为线段P1P2的中点

一条规律 直线的倾斜角与斜率的关系: 斜率k是一个实数,当倾斜角α≠90° 时,k=tan α.直线都有倾斜 角,但并不是每条直线都存在斜率,倾斜角为90° 的直线无斜 率.

两种方法 求直线方程的方法: (1)直接法:根据已知条件,选择恰当形式的直线方程,直接 求出方程中系数,写出直线方程; (2)待定系数法:先根据已知条件设出直线方程.再根据已知 条件构造关于待定系数的方程(组)求系数,最后代入求出直线 方程.

两个注意 (1)求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率时,应对斜 率存在与不存在加以讨论. (2)在用截距式时,应先判断截距是否为0,若不确定,则需分 类讨论.

双基自测 1.(人教A版教材习题改编)直线经过点(0,2)和点(3,0),则它的 斜率为( ).

2 3 2 3 A.3 B.2 C.-3 D.-2 解析 答案 0-2 2 k= =- . 3 3-0 C

2.直线 3x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为( A.30° B.60° C.150° D.120° 解析 直线的斜率为:k=tan α= 3,∴α=60° . 答案 B

).

3 3.(2011· 龙岩月考)已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为- 4 .则 直线l的方程为( A.3x+4y-14=0 C.4x+3y-14=0 解析 答案 ). B.3x-4y+14=0 D.4x-3y+14=0

3 由y-5=-4(x+2),得3x+4y-14=0. A

4.(2012· 烟台调研)过两点(0,3),(2,1)的直线方程为( A.x-y-3=0 C.x+y+3=0 B.x+y-3=0 D.x-y+3=0

).

y-3 x-0 解析 由两点式得: = ,即 x+y-3=0. 1-3 2-0 答案 B

5.(2012· 长春模拟)若点 A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则 a 的值为________. 5-3 a-3 解析 ∵kAC= =1,kAB= =a-3. 6-4 5-4 由于 A、B、C 三点共线,所以 a-3=1,即 a=4. 答案 4

考向一 直线的倾斜角与斜率 【例1】?若直线l:y=kx- 3 与直线2x+3y-6=0的交点位于 第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是(
?π π ? A.?6,3? ? ? ?π π ? B.?6,2? ? ? ?π π ? C.?3,2? ? ? ?π π ? D.?3,2? ? ?

).

[审题视点] 确定直线l过定点(0,- 3),结合图象求得.

解析

由题意,可作两直线的图象,如图所示,从图中可以看

?π π ? 出,直线l的倾斜角的取值范围为?6,2?. ? ?

答案

B

求直线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想.当直线的倾斜 角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需根据正切函数y= tan 法. α的单调性求k的范围,数形结合是解析几何中的重要方

【训练1】 (2012· 贵阳模拟)直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距 的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( 1 A.-1<k<5 1 C.k> 或k<1 5 解析 1 B.k>1或k<2 1 D.k> 或k<-1 2 ).

设直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),直线在

2 2 x轴上的截距为1- k ,令-3<1- k <3,解不等式可得.也可以 利用数形结合. 答案 D

考向二 求直线的方程 【例2】?求适合下列条件的直线方程: (1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; 1 (2)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-4; (3)过点A(1,-1)与已知直线l1:2x+y-6=0相交于B点且|AB| =5. [审题视点] 选择适当的直线方程形式,把所需要的条件求出即 可.



(1)法一 设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0,即l过

点(0,0)和(3,2), 2 ∴l的方程为y=3x,即2x-3y=0. x y 若a≠0,则设l的方程为 + =1, a a 3 2 ∵l过点(3,2),∴ + =1, a a ∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0, 综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.

法二 由题意,所求直线的斜率k存在且k≠0, 设直线方程为y-2=k(x-3), 2 令y=0,得x=3- k,令x=0,得y=2-3k, 2 2 由已知3-k=2-3k,解得k=-1或k=3, 2 ∴直线l的方程为y-2=-(x-3)或y-2=3(x-3), 即x+y-5=0或2x-3y=0.

(2)设所求直线的斜率为k,依题意 1 3 k=-4×3=-4. 又直线经过点A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为y+3=-4(x+1), 即3x+4y+15=0. (3)过点A(1,-1)与y轴平行的直线为x=1.
?x=1, ? 解方程组? ?2x+y-6=0, ?

求得B点坐标为(1,4),此时|AB|=5, 即x=1为所求.

设过A(1,-1)且与y轴不平行的直线为y+1=k(x-1),
?2x+y-6=0, ? 解方程组? ?y+1=k?x-1?, ?

? k+7 ?x= , ? k+2 得两直线交点为? ? 4k-2 ?y= k+2 . ? (k≠-2,否则与已知直线平行).

?k+7 4k-2? ? , 则B点坐标为? . ?k+2 k+2 ? ? ? ?k+7 ? ? ? ? ?2 ?4k-2 -1? +? +1?2=52, 由已知? ? ?k+2 ? ? k+2 ?

3 3 解得k=-4,∴y+1=-4(x-1), 即3x+4y+1=0. 综上可知,所求直线的方程为x=1或3x+4y+1=0.

在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意 各种形式的适用条件,用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须 存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表 示与坐标轴垂直或经过原点的直线,故在解题时,若采用截距 式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应 先考虑斜率不存在的情况.

1 【训练2】 (1)求过点A(1,3),斜率是直线y=-4x的斜率的 的 3 直线方程. (2)求经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2 倍的直线方程. 解 (1)设所求直线的斜率为k,依题意 1 4 k=-4× =- . 3 3 又直线经过点A(1,3), 4 因此所求直线方程为y-3=-3(x-1), 即4x+3y-13=0.

x y (2)当直线不过原点时,设所求直线方程为2a+a=1, 1 将(-5,2)代入所设方程,解得a=- , 2 此时,直线方程为x+2y+1=0. 2 当直线过原点时,斜率k=-5, 2 直线方程为y=-5x,即2x+5y=0, 综上可知,所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.

考向三

直线方程的应用

【例3】?已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交 于A、B两点,如右图所示,求△ABO的面积的最小值及此时 直线l的方程. [审题视点] 设直线l的方程为截距式,利用基本不等式可求.



x y 设A(a,0),B(0,b),(a>0,b>0),则直线l的方程为 + a b

=1, 3 2 ∵l过点P(3,2),∴a+b=1. 3 2 ∴1=a+b≥2 6 ab,即ab≥24.

1 3 2 ∴S△ABO=2ab≥12.当且仅当a=b,即a=6,b=4. △ABO的面积最小,最小值为12. x y 此时直线l的方程为:6+4=1. 即2x+3y-12=0.

求直线方程最常用的方法是待定系数法.若题中直线过定 点,一般设直线方程的点斜式,也可以设截距式.注意在利用 基本不等式求最值时,斜率k的符号.

【训练3】 在本例条件下,求l在两轴上的截距之和最小时直 线l的方程.

解 设l的斜率为k(k<0),则l的方程为y=k(x-3)+2,令x=0 得B(0,2-3k),
? ? 2 令y=0得A?3-k,0?, ? ?

∴l在两轴上的截距之和为
? ? 2?? 2 2-3k+3-k=5+??-3k?+?-k??≥5+2 6, ? ? ??

6 (当且仅当k=- 3 时,等号成立), 6 ∴k=- 3 时,l在两轴上截距之和最小, 此时l的方程为 6x+3y-3 6-6=0.

难点突破18——直线的倾斜角和斜率的范围问题 从近两年新课标高考试题可以看出高考对直线的倾斜角和斜率 的考查一般不单独命题,常和导数、圆、椭圆等内容结合命 题,难度中档偏上,考生往往对直线的倾斜角和斜率之间的关 系弄不清而出错.

4 【示例1】? (2010· 辽宁)已知点P在曲线y= x 上,α为曲线 e +1 在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(
? π? A.?0,4? ? ? ?π π ? B.?4,2? ? ? ?π 3π? C.?2, 4 ? ? ? ?3π ? D.? 4 ,π? ? ?

).

【示例2】?

(2011· 济南一模)直线l过点(-2,0),l与圆x2+y2= ).

2x有两个交点时,则直线l的斜率k的取值范围是( -2 2,2 2??? A.
? C.?- ? ?
? ? ?

B.(- 2, 2)
? 1 1? D.?-8,8? ? ?

2 2? ? , ? 4 4?

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