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2015-2016学年高中数学必修4分层演练:1.2.2 同角三角函数关系(含答案)


1.2 1.2.2

任意角的三角函数 同角三角函数关系

已知 sin α-cos α=-

5 , 180°<α<270°, 你能求出 tan 5

α的值吗?你能化简

sin θ-cos θ 吗?……为此, 我们有必要研究 tan θ-1

同角三角函数

的关系.

基 础 巩 固 1.若α为第二象限角,则 sin2α-sin4α可化为( )

A.sin

α-sin2α

B.sin αcos α D.sin2α-sin α

C.-sin αcos α

答案:C

?1? 2.若 f(sin x)=2cos x+1,则 f? ?等于( ?2?

)

A. 3+1 C.1+ 3或 1- 3

B.1- 3 D.2

1 解析:由 sin x= 求出 cos x,然后再代入函数关系式. 2 答案:C

3.已知 sin α=

2 5 π , ≤α≤π,则 tan α=________. 5 2

答案:-2

4.sin2α+cos4α+sin2α cos2α的化简结果是( A. C. 1 4 3 2 1 B. 2 D.1

)

解析: sin2α+cos4α+sin2αcos2α=sin2α+cos2α(cos2α+ sin2α)=sin2α+cos2α=1. 答案:D

5.下列各式中与 1-2sin 2cos 2相等的是( A.sin 2-cos 2 C.sin 2+cos 2 B.cos 2-sin 2 D.-sin 2-cos 2

)

解析: “1”的代换,1=sin22+cos22,同时要注意 sin 2>0, cos 2<0. 答案:A

6.cos α+2sin α=- 5,则 tan α=________.

7. cos α= 3sin α,0≤α≤π,则 sin α· cos α的值为 ( ) A.± 3 10 3 B. 10 C. 3 10 D.± 3 10

解析: 所求式子可化成 除以 cos2α. 答案:B

sin α·cos α (齐次分式), 分子分母同 sin2α+cos2α

8.若 A. 1

sin α+cos α =2,则 tan α的值为( 2sin α-cos α B.-1 3 C. 4 D.- 4 3

)

解析:分子、分母同除以 cos α.

答案:A

9.sin2x+sin2y-sin2xsin2y+cos2xcos2y=________.

解析:sin2x+sin2y-sin2xsin2y+cos2xcos2y =sin2x+sin2y(1-sin2x)+cos2xcos2y =sin2x+sin2ycos2x+cos2xcos2y =sin2x+cos2x(sin2y+cos2y)=sin2x+cos2x=1. 答案:1

能 力 升 级 2 10.A 为三角形 ABC 的一个内角,若 sin A+cos A= ,则△ABC 3 是________三角形.

2 解析:∵sin A+cos A= , 3 ∴sin Acos A=- 答案:钝角 5 <0,∴A 为钝角. 18

11. 设 a 为常数, 且 a>1,0≤x≤2π, 则函数 f(x)=cos2x+2asin

x-1 的最大值为________.

解析:f(x)=1-sin2x+2asin x-1=-(sin x-a)2+a2.

π ∵a>1,0≤x≤2π,∴当 x= 时,f(x)max= 2 2a-1. 答案:2a-1

12.已知 tan α=m,α是第二、三象限角,则 sin α的值等于 ( ) 1+ m 2 A. 1+ m 2 1+ m B.- 1+ m2
2 2

m 1+ m C.± 1+ m 2

m 1+ m D.- 1+ m2

2

cos2α+sin2α 1 解析:由 tan α=m,∴1+tan α= = =1 2 cos α cos2α
2

+m 2.∴cos2α=

1 ,∴cos α=- 1+ m 2 1 1+ m
? m ? 2?=- 1+ m ?
2

1 ,故 sin α=tan 1+ m 2 .

α·cos α=m·? ?-
?

?

答案:D

1 13.如果 sin θ+cos θ=- (0<θ<π),则 tan θ的值为 5 ( ) A.- 4 3 4 B. 3 4 C.± 3 D.- 3 4

1 解析:sin θ+cos θ=- ,平方得 5

sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ= 故 2sin θcos θ=- 24 <0, 25

1 . 25

∴θ为钝角,1-2sin θcos θ= ∴(sin θ-cos θ)2=

49 , 25

49 7 7 ,sin θ-cos θ= - 舍去, 25 5 5 3 sin θ= , ? ? 5 ? 4 cos θ =- , ? ? 5

1 sin θ+cos θ=- , ? ? 5 由? 7 sin θ - cos θ = ? ? 5 3 ∴tan θ=- . 4 答案:D

14. 是否存在一个实数 k, 使方程 8x2+6kx+2k+1=0 的两个根 是一个直角三角形的两个锐角的正弦?

解析:假设存在,设直角三角形两个锐角为α,β,则 sin α, sin β是方程 8x2+6kx+2k+1=0 的两个根. ∵α+β=90°,∴sin β=cos α. 由根与系数的关系,得 3k sin α+cos α=- , ? ? 4 ? 2k+ 1 sin α·cos α= , ? ? 8 ① ②

10 ①2-2×②,整理得 9k2-8k-20=0,解得 k1=2,k2=- . 9 当 k=2 时,原方程变为 8x2+12x+5=0,Δ=144-160<0,所 以原方程无解,k=2 舍去,将 k=- =sin α·sin β=- 10 代入②,得 sin α·cos α 9

11 ,∴sin α,sin β异号,应有 sin α<0 72

10 或 sin β<0,实际上 sin α>0,sin β>0,∴k=- 不满足题意, 9 ∴k 值不存在.


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