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1[1].2.4函数的表示法(二)


1.2.4 函数的表示法(二)
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)能根据不同情境,选用恰当的方法,求出已知函数的解析式; (2)会利用函数的图象求函数值域. 2.过程与方法 (1)经历在分析、求解求有关函数的解析式的过程,熟练掌握求解析式的基本题型及 方法; (2)在运用函数图象求函数值域的过程,体会数形结合思想. 3.情感、态度与价值观 在学习过程中进一步体会发现规律,应用规律的学习乐趣,从而提高学习数学的兴趣, 提高学生的求知欲. (二)教学重点与难点 重点:求函数解析式的基本题型及方法. 难点:函数图象的应用. (三)教学方法 指导启发式学习法,通过自我尝试与实践,获得知识,形成技能,通过老师的合理恰当 的指导启发,克服学习障碍;学会突破难点,调整和寻找最佳解题方案. (四)教学过程 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 师生合作总结上节课的基本知识 函数的表示法有三种:解析式、 及基本方法. 复习回顾 图象法、 列表法; 它们之间可相 复习回顾、 重新体会对于特殊函数可进行三 整合知识 互转化, 常见形式有: 解析式 ? 整合知识 种形式之间的互相转化. 图象法,解析式 ? 列表法. 师:分析实现不同形式的转化的意义. 例 1 (1)已知 f (x)是一 学习尝试练习求解,老师指导、点 次函数,且 f [f (x)] = 4x – 1,求 评. 师生合作归纳题型特点及适用方 f (x)及 f (2); 法. 1 x (2) 已知 f (1 ? ) ? , 例 1 解: (1)设 f (x) = ax + b (a≠ x 1 ? x2 0). 求 f (x)的解析式; 则 f [f (x)] = f (ax + b) = a (ax + b) + b = 掌握求函 1 (3)已知 2 f ( ) ? f (x) = x a2x + ab + b. x 进入课题 数解析式 又 f [f (x)] = 4x – 1, (求函数解 (x≠0),求 f (x)的解析式; 的基本类 ∴a2x + ab + b = 4x – 1. 析式) 型及对应 (4) 已知 3f (x5) + f (–x5) = ? a ? 2, 2 ?a ? 4, 方法. ? 即? ?? 1 4x,求 f (x)的解析式. ?ab ? b ? ?1, ?b ? ? ,
? 3

或?

? a ? ?2, ?b ? 1.

1 ∴f (x) = 2x – ,或 f (x) = –2x + 1. 3

则 f (2) ?

11 ,或 f (2) = –3. 3
1 x

(2)解法一:∵ f (1 ? ) =
1 x = 1 ? x2 1 ? x x

=

1 , 1 1 (1 ? ) ? 1 ? [ ] 1 x ?1 ?1 x
1 x ?1? 1 x ?1

∴f (x) =

=

x ?1 x ?1 = 2 . 2 ( x ? 1) ? 1 x ? 2 x

解法二:设 t = 1+ 又 f (1 ? ) ?
1 x

1 1 ,则 x ? . x t ?1

x , 1 ? x2

1 ∴ f (t ) ? t ? 1 1 2 1? ( ) t ?1

=

t ?1 t ?1 = 2 , 2 (t ? 1) ? 1 t ? 2t

∴ f ( x) ?

x ?1 . x ? 2x
2

(3) x = a (a≠0),则 2 f ( ) + f (a) = 令 a; 令x=
1 (a≠0),则 a 1 a 1 . a

1 a

2 f (a) + f ( ) ?

联立上述两式得 f (a) = ∴f (x) =
2 x ? (x≠0). 3x 3

2 a ? . 3a 3

(4)令 x = a,或 x = –a,分别可得
?3 f (a 5 ) ? f (?a 5 ) ? 4a, ? ? 5 5 ?3 f (?a ) ? f (a ) ? ?4a. ?

解之得 f (a5) = 2a.

又令 a5 = t, 例 2 设 f (x)是 R 上的函 ∴ a ? 5 t , 数,且满足 f (0) = 1,并且对任 ∴f (t) = 2 5 t , 意实数 x, 有 f (x – y) = f (x) – ∴f (x) = 2 5 x . y, y (2x – y + 1),求 f (x)的表达式. 例 2 解: 法一: f (0) = 1, (x – y) 由 f = f (x) – y(2x+y+1). 设 x=y,得 f (0)= f (x)–x (2x–x+1). ∵f (0) = 1,∴f (x)–x (2x–x+1) = 1, ∴f (x) = x2 + x + 1. 法二:令 x = 0,得 f (0–y) = f (0) – y (–y + 1), 即 f (–y) = 1 – y (–y + 1). 又令–y = x 代入上式得 例 3 已知 f (x)为二次函 f (x) = 1– (–x) (x + 1) = 1 + x (x + 1) = x2 数,且 f (x+1)+f (x–1) = 2x2–4x,+ x + 1. 即 f (x) = x2 + x + 1. 求 f (x)的表达式. 例 3 解:设 f (x)=ax2+bx+c (a≠0), 小结:求解析式的基本方法: 则 f (x+1) + f (x – 1) = a (x+1)2 + b (x + 1) + c + a (x – 1) + c + a (x – 1)2 + b (x – (1)待定系数法 1) + c = 2ax2 + 2bx + 2a + 2c = 2x2 – 4x. (2)换元法 (3)配方法 ?2a ? 2, ?a ? 1, (4)函数方程法. ? ? ∴ ?2b ? ?4, ? ?b ? ?2,
?2a ? 2c ? 0, ? ?c ? ?1. ?

∴f (x) = x2 – 2x – 1. 师生合作解析例 3、例 4. 师:反映实际问题的函数定义域怎样确 定? 生:解析式有意义和实际问题自身条件 确定. 例 4 解: 矩形的长 AB = 2x, 宽为 a, 例 4 用长为 l 的铁丝变成 则有 2x + 2a + ? x = l, 下部为矩形, 上部为半圆形的框 培养学生 l ? ∴a ? ? x?x . 2 2 应用举例 架如图所示,若矩形底边长为 应用数学 (函数应用 2x,求此框架围成的面积 y 与 x 半圆的直径为 2x,半径为 x,所以 知识, 解决 2 问题) 的函数关系式,并指出其定义 实际问题 ?x l ? y? ? ( ? x ? x) ·2x 域. 的能力. 2 2 2 D 2x A B <
l . 2??

C

? = ?(2 ? ) x2 ? lx , 2
由实际意义得 ?2
?l ? ? ? x ? x ? 0, ? 0<x 2 ? x ? 0, ?

? 即 y ? ?(2 ? ) x2 ? lx ,定义域为 2
(0m 1 ). 2 ??

例 5 解:设票价为 y,里程为 x, 由题意可知, 自变量 x 的取值范围是(0, 例 5 某市“招手即停”公 20]. 共汽车的票价按下列规则制定: 由“招手即停”公共汽车票价的制 (1)5 公里以内(含 5 公 定规则,可得到以下函数解析式: 里) ,票价 2 元; ?2, 0 ? x ? 5, (2) 公里以上, 5 每增加 5 ?3, 5 ? x ? 10, ? 公里,票价增加 1 元(不足 5 y ? ? ?4,10 ? x ? 15, 公里的按 5 公里计算). ?5,15 ? x ? 20. ? 如果某条线路的总里程为 20 公 里, 请根据题意, 写出票价与里 根据这个函数解析式,可画出函数图 程之间的函数解析式, 并画出函 象,如下图. 数的图象. 我们把像例 4 这样的函数 称为分段函数.即在函数的定义 域内, 对于自变量 x 的值的不同 取值区间,有着不同的对应法 则,这样的函数通常叫分段函 数. 生活中, 有很多可以用分段 函数描述的实际问题, 如出租车 的计费、个人所得税纳税额等 等. 1.求函数解析式的方法: 换元法、 配方法、 待定系数 法、赋值法. 师生合作总结. 归纳总结 2. 求实际问题函数解析式,学生整理、小结,老师点评、归纳. 关键找具有因果关系的两个变 量的联系式. 课后作业 1.2 第四课时习案 学生独立完成

整合知识 形成技能.

巩固基础、 提高能力

备选例题
例1 经市场调查,某商品在近 100 天内,其销售量和价格均是时间 t 的函数,且销售
1 1 109 量近似地满足关系 g (t) = ? t ? (t∈N*, 0<t≤100), 在前 40 天内价格为 f (t) = t + 22(t 4 3 3 1 ∈N*,0≤t≤40),在后 60 天内价格为 f (t ) ? ? t ? 52 (t∈N*,40<t≤100),求这种商品的 2 日销售额的最大值(近似到 1 元). 【解析】前 40 天内日销售额为:
1 1 109 1 7 1 S ? ( t ? 22)(? t ? ) = ? t 2 ? t ? 779 4 3 3 12 4 3

∴S ??

1 37849 (t ? 10.5)2 ? 12 48

后 60 天内日销售额为:
1 1 109 1 2 213 5668 . S ? (? t ? 52)(? t ? )= t ? t? 2 3 3 6 6 3

∴ S ? (t ? 106.5)2 ? ∴得函数关系式

1 6

25 24

37849 ? 1 2 ? ? 12 (t ? 10.5) ? 48 (0 ? t ? 40且t ? N *) ? S ?? ? 1 (t ? 106.5) 2 ? 25 (40 ? t ? 100 且t ? N *) ?6 24 ?

由上式可知:对于 0<t≤40 且 t∈N*,有当 t = 10 或 11 时,Smax≈809. 对于 40<t≤100 且 t∈N*,有当 t = 41 时,Smax = 714. 综上所述得:当 t = 10 或 11 时,Smax≈809. 答:第 10 天或 11 天日售额最大值为 809 元.


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