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数形结合在解题中的应用(精版)


数形结合在解题中的应用
目录

第一章 引言................................................................. 2 第二章 数形结合在解题中的应用 ............................................... 3 2.1 数形结合在集合中的应用 ....

.......................................... 3 2.1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 ............................ 3 2.1.2 利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题 .................... 3 2.2 数形结合在解析几何中的应用 .......................................... 4 2.2.1 与斜率有关的问题 .............................................. 5 2.2.2 与距离有关的问题 .............................................. 5 2.2.3 与截距有关的问题 .............................................. 7 2.2.4 与定义有关的问题 .............................................. 7 2.3 数形结合在函数中的应用 .............................................. 9 2.3.1 利用数形结合解决与方程的根有关的问题 ......................... 9 2.3.2 利用数形结合解决函数的单调性问题 ............................. 9 2.3.3 利用数形结合解决比较数值大小的问题 .......................... 10 2.3.4 利用数形结合解决抽象函数问题 ................................ 11 2.4、数形结合在不等式中的应用 ........................................... 12 2.4.1 求参数的取值范围 ........................................... 12 2.4.2 解不等式 ................................................... 13 2.5 数形结合在解三角函数中的应用 ....................................... 14 2.6 数形结合在复数中的应用 ............................................. 16 第三章 数形结合在高等数学中的应用 .......................................... 17 3.1 数形结合在数学分析中的应用 ......................................... 17 3.3.1 用数形结合求定义域 ............................................ 17 3.1.2 微积分中的解题应用数形结合 .................................... 18 3.2 数形结合在常微分方程中的应用 ....................................... 19 3.3 数形结合在概率论中的应用 ........................................... 21 第四章 利用数形结合思想解题需要注意的问题 .................................. 22 第五章 结论与展望.......................................................... 22 【参考文献】............................................................ 23

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数形结合在解题中的应用

摘要:数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形相结合起来
使抽象思维和形象思维结合。 运用数形结合的思想方法,既可以使很多代数问题 的解决简捷明了, 也可以大大开拓我们的解题思路。本文主要通过一些例题讲解 数形结合的思想在初等数学即集合、解析几何、函数、三角函数、不等式、复数 以及高等数学中的相关应用。

关键字:数形结合

应用

初等数学

高等数学

第一章

引言

数与形是数学研究(尤其是中学数学研究)的两类基本对象,相互独立又互 相渗透。在坐标系建立以后,数与形的结合更为紧密。而且,在实际应用中,若 就数论数,便缺乏直观性;若就形论形,便缺乏严密性。而二者结合往往可优势 互补, 得到事半功倍的效果。 通过数到形结合的研究对数学思维品质的培养大有 帮助。数形结合,就是据数学问题的条件和结论间的内在联系,既分析其代数含 义,又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙地结合,再充分利用这种结 合寻找解题思路,解决问题的数学思想方法。 数形结合的思想既是数学的本质之一,也是数学教学的精髓,可以融合、 贯穿在课堂教学教程中。 我们可以利用数形结合引入新知, 建构概念, 提出问题, 解决问题,利用数学思想、数学方法去激发学生的学习兴趣,提高其数学能力, 同时也为学生以后的学习和工作打下坚实基础。很多时候,数形结合能使数量之 间的联系变得直观, 在分析问题时, 注意把数和形结合起来, 由问题的具体情形, 把数量关系问题化为图形问题, 或把图形问题化为数量关系问题,使复杂问题简 单化、抽象问题具体化,化繁为简、化难为易。 高考考试说明中明确指出: 数形结合的思想方法是学生必须掌握的思想方法 之一。历年的高考试题中,充分体现了数形结合的应用。在我们的大学数学中, 也有很多关于数形结合的思想在解题中的应用,比如高等数学里面的微积分、数 学分析中的求面积、 求体积的问题,概率统计以及常微分方程等都有运用到数形 结合, 由此可见数形结合的思想贯穿整个数学研究。 后面我们从集合、 解析几何、 函数、不等式、三角函数、复数5个方面谈数形结合在初等数学解题中应用。从
2

数学分析、概率论、常微分方程来谈数形结合在高等数学中的应用。

第二章

数形结合在解题中的应用

2.1 数形结合在集合中的应用
2.1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题

一般我们用圆来表示集合, 两圆相交则表示两集合有公共元素,两圆相离则 表示两个集合没有公共元素. 若利用韦恩图法则能直观地解答有关集合之间的关 系的问题.例如: 例 1.有 45 名学生,要求每人至少参加一个活动小组,参加数、理、化 小组的 人数分别为 27,24,14,同时参加理、数 小组的 8 人,同时参加化、数小组的 6 人,同时参加化、数小组的 7 人,问:同时参加数、理、化 小组的有多少人 【分析】我们可用圆 A、B、C 分别表示参加数理化小组的人数(如图 1) ,则三 圆的公共部分表示同时参加数理化小组的人数. 用 card 表示集合中元素的个数, 则有:
card( A) ? card( B) ? card(C ) ? card( A ? B) ? card( A ? C ) ? card( B ? C ) ? card( A ? B ? C ) ? 45

即: 27 ? 24 ? 14 ? 8 ? 6 ? 7 ? card( A ? B ? C ) ? 45 ∴ card( A ? B ? C ) ? 1 ,即同时参加数理化小组的有 1 人.

A(数)

B(理)

C(化)

图1 2.1.2 利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题

当两个集合的解集是不等式形式时,要求其交集或并集,常借助于数轴,把
3

不等式的解集在数轴上表示出来,通过数轴便可直观的观察它们的交集或并集。 例如: 例 2.已知集合 A ? ?x | ?2 ? x ? 6?, B ? ?x | a ? x ? 3a?, (a ? R) (1)若 A ? B ,求 a 的范围. (2)若 B ? A,求 a 的范围.

解:在数轴上表示出集合 A,要使 A ? B ,则集合 B 应该覆盖集合 A,从而
?a ? ?2 有: ? , ?3a ? 6

此时 a 值不存在(图 2)

a -2


(1)



6 3a

-2

。 a
(2)



3a 6

3 3a a 3a 3a

图2

?a ? ?2 ? (2) 要使 B ? A,当 a >0 时,集合 A 应该覆盖集合 B,则有 ?3a ? 6 成立 ,即 ?a?0 ?
0 ? a ? 2 。当 a ? 0 时, B ? ? , B ? A显然成立.

故 B ? A时的取值范围为: a ? 2 .(图 2 (2)) 通过上面的例子我们可以知道,一般对于比较复杂的集合运算题、涉及到求 一些参数取值、取值范围的题我们都可以用数形结合的方法求解.

2.2 数形结合在解析几何中的应用

解析几何问题通常综合许多知识点,在知识网络的交汇处命题,深受出题者 喜爱, 求解过程中常通过数形结合的思想把抽象的数学语言和直观的几何图形相 结合起来,达到研究与解决问题的目的.

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2.2.1 与斜率有关的问题

例 1.已知一有向线段 PQ, 其中起点 P 与终点 Q 坐标分别为 P (-1, 1) , Q (2, 2) . 若直线 l∶my+x+m=0 与有向线段 PQ 延长线相交,求实数 m 的取值范围.

【分析】 本题将直线 l 的方程是化为点斜式方程后,可看出 其和斜率为- 、与 Y 轴的交点为 M(0,-1).结合图形可求出 斜率的取值范围.

解:直线 l 的方程 my+x+m=0 可化为点斜式:y+1=- (x-0) ,易知直线 l 过定点 M(0,-1) ,且斜率为- . ∵ l 与 PQ 的延长线相交,由图像可得:当过 M 且与 PQ 平行时,直线 l 的斜 率趋于最小;当过点 M、Q 时,直线 l 的斜率趋于最大.

这个题看上去是一个动直线与定直线的问题,但是通过转化,问题变得简单 了,直线过定点,于是便转化成与斜率相关的问题,再通过数形结合,这类题便 迎刃而解了。一般在确定区间、确定域(线性规划问题中表现比较明显)求斜率 的问题都可以利用数形结合思想求解。 2.2.2 与距离有关的问题

例 2. 求:y=(sinθ -sinα -2)2 +(cosθ -cosα +3)2 的最大(小)值. 【分析】此可看成求两动点 P(cosα -3,sinα +2)与 Q(cosθ ,sinθ )之间 距离的最值问题.距离最值的平方便是 y 的最值。 解:经分析可得,两动点的轨迹方程分别为:x2+y2=1 和(x+3)2+(y-2)2=1, 转化为求两曲线上两动点之间距离的最值问题.如下图:

5

所以

y

max

? 17 ? 4 13

y

min

? 17 ? 4 13

例 3. 已 知 P 为 直 线 4 x ? 3 y ? 16 ? 0 上 的 动 点 , PA, PB 是 曲 线

x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 的两条切线, A, B 为切点,C 为圆心,求四边形 PACB 面
积的最小值。 解:圆的方程可转化为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 9 .可知圆心为(2,2) ,半径为 3.
1 ? S PACB ? 2S ?PBC ? 2 ? ? PB ? BC ? PB ? PC 2 ? 1 2 要使面积最小,只需 PC 最小,即求定点 C 到定直线 上动 点 P 最小距离

即点 C (2,2) 到直线 4 x ? 3 y ? 16 ? 0 的距离, 而d ?

3 ? 2 ? 4 ? 2 ? 16 4 ?3
2 2

?6

? ( S PACB ) min ? 6 2 ? 1 ? 35

对于例 2 看上去是一个参数函数的值域问题,若直接把它当作函数处理,便 麻烦了, 但若把问题转化一下, 转化成两个点的关系, 很容易想到圆的参数方程, 于是整个问题便转化成了定圆之间的最大距离与最小距离的问题,结合图像,可 以很直观的得到答案。例 3,这道题直接求解较难,如能联想点到直线的距离公 式, 数形结合, 以形助数, 则更简洁。 所以在平时求解的过程中一定要注意转化, 利用图像解决问题,使问题简单化。

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2.2.3 与截距有关的问题

例 4. 若直线 y=x+m 与曲线 x ? 1 ? y 2 恰有一个公共点,求 m 的取值范围. 解:易知曲线 x ? 1 ? y 2 为单位圆 x2+y2=1 的右半圆
( x ? 0) ,m 是直线 y=x+m 在 y 轴上的截距.

由数形结合知:当直线与曲线相切时,直线与曲线 有一个交点,此时 m ? ? 2 ,结合图形可知:当 ? 1 ? m ? 1 也满足条件.综上:m 的取值范围是: m ? ? 2 或 ? 1 ? m ? 1

这道题很直观的看出所要求解的 m 为直线 y=x+m 在 y 轴上的截距, 曲线为右 半圆, 结合图像便可求解。 一般对于斜率确定求截距的取值范围的问题我们都可 以用数形结合的方法。 变式:若直线 y=x+n 与曲线 x ? 1 ? y 2 恰有两个交点,求 n 的取值范围. 解:由例 4 可知,n 的取值范围为: ? 2 ? n ? ?1 .

2.2.4 与定义有关的问题

例 5. 求抛物线 x ?

y2 上到焦点 F 的距离与到点 A(2,2)的距离之和最小的点 4

P 的坐标,并求出最小值. 【分析】要求 | PA | ? | PF | 的最小值,可利用抛物线的定 义,把|PF|转化为点 P 到准线的距离,化曲为直,从而借 助数形结合来解决相关问题. aaa 解:设 P′为抛物线 y 2 ? 4 x 上任意一点,过 P′作

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其准线 l 的垂线,设垂足为 D,连接 P′F(F 为抛物线的焦点) ,由抛物线的定 义可得:
P' F ? P' D . 故 P' A ? P' F ? P' A ? P' D

过点 A 作准线 l 的垂线,垂足为 Q,交抛物线于 P.显然,线段 AQ 的长小于 折线 AP′D 的长,从而所求的点 P 为 AQ 与抛物线交点. ∵ 线段 AQ 平行于 x 轴,且过 A(2,2)点 P 在曲线 y 2 ? 4 x 上. ∴ 点 P 的坐标为(1,2) ,且与 F、A 的距离之和最小,最小距离为 3.

例 6:已知动圆与定圆 C:x2+y2+4y-32=0 内切,且过定圆内的一定点 A(0,2) , 求动圆圆心 P 的轨迹方程. 解:如下图所示:

由定圆 C:X2+(Y+2)2=36 知圆心 C(0,-2),半径 r=6.设动圆圆心 P 的坐标为 (x,y),半径为|PA|. ? 圆 P 与圆 C 内切,? |PC|=r-|PA|,即|PA|+|PC|=r=6. 所以 动圆圆心 P 到两定点 A(0,2),C(0,-2)的距离之和为 6,且 6>4. 故动圆圆心 P 的轨迹是以 A,C 为焦点的椭圆, 且 2a=6,2c=4,即 a=3,c=2,所以 b2=5. 故: 所求动圆圆心 P 的轨迹方程为
x2 y2 ? ?1 5 9

由上面的两个例子,我们不难画出其图像,通过研究图像的一些性质,结 合圆锥曲线的定义, 我们便可很快的解出题来。所以很多定义性的问题我们都可 以采用数形结合的方法。

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2.3 数形结合在函数中的应用

2.3.1

利用数形结合解决与方程的根有关的问题

例 1.已知方程|x2-4x+3|=t 有 4 个根,求实数 t 的取值范围. 【分析】此题不涉及到求方程根的具体值,只涉及到求根的个数,而求方程根的 个数问题可转化为求两曲线的交点的个数问题.

解: 方程|x2-4x+3|=t 根的个数问题可转化为函数 y=|x2-4x+3|与函数 y=t 图象 交点个数的问题. 2 作出函数 y=|x -4x+3|的图象,再作直线 y=t.(如下图所示).

由图象知,当 0<t<1 时,两函数图象有 4 交点,所以 t 的取值范围为: (0,1).

解决这种类型的题,如果我们把前面等式看作方程,来求参数的取值范围, 难度会相当大, 但如果把前面的等式看作是两个函数,再把研究根的问题转化为 研究函数交点的问题,结合函数图像,此题便迎刃而解了。所以很多关于函数的 根的问题,我们都可以数形结合转化为研究函数交点问题。

2.3.2

利用数形结合解决函数的单调性问题

函数的单调性是函数的重要性质之一,也是高考数学热点问题之一.在解决 相关问题时,常需要先确定函数的单调性、单调区间.数形结合思想是确定函数
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单调性常用的数学思想, 函数的单调区间可以形象直观地在函数的图象中反映出 来.例如: 例 2.求函数 f ( x) ? x | x | ?2 | x | 的单调区间.

?? x 2 ? 2 x, x ? 0 解: y ? x | x | ?2 | x |? ? 2 ? x ? 2 x, x ? 0
画出函数的草图如下:

由图象可知,函数的单调递减区间为[0,1],函数的单调递增区间为(-∞,0] , [1,+∞). 此题中,要求这个含绝对值函数的单调区间,直接求是无法实现的,但如果 去了绝对值,写成分段函数的形式,画出其函数图像,结合图像,其单调区间便 一目了然。所以在许多求函数单调区间的问题都可利用数形结合的思想。 2.3.3 利用数形结合解决比较数值大小的问题

例 3.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足以下三个条件:①对任意的 0≤x1<x2 ≤2,都有 f(x1)<f(x2) ;②对任意的 x∈R 都有 f(x+4)=f(x) ;③y=f(x+2) 的图象关于 y 轴对称.则 f(4.2) ,f(6.2) ,f(7.2)的大小关系是______ . 解:由①知:函数 f(x)在区间[0,2]上是增函数;由②知:函数周期 T=4: ; 由③知: f (? x ? 2) ? f ( x ? 2) ,所以 y ? f ( x) 的图象关于直线 x=2 对称.由此,画 出示意图(如下图)便可比较大小.

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显然,f(4.2)<f(7.2)<f(6.2). 这是一个抽象函数比较数值大小的问题,那么我们直接是不可能比较出来 的 ,如果利用题设中给出的条件再结合图像便解决这类问题。

2.3.4

利用数形结合解决抽象函数问题

抽象函数问题是近年来高考中的热点问题,也是高考中的难点.若利用数形 结合常便能使我们找到很多解决此类问题的捷径. 例 4. 设 f ( x), h( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 在区间 [a, b] (a<b<0) 上, f ' ( x)h( x) ? f ( x)h' ( x) ? 0且f ( x) ? h( x) 有最小值-6.则函数 y ? f ( x) ? h( x) 在 区间[-b,-a]上( ).

A. 是减函数且有最大值 6 B. 是减函数且有最小值-6 C. 是增函数且有最大值 6 D. 是增函数且有最小值-6

解:由 f ' ( x)h( x) ? f ( x)h' ( x) ? [ f ( x) ? h( x)]'? 0 ∴ y ? f ( x) ? h( x) 在区间[a,b] (a<b<0)上是增函数, 又∵ f ( x), h( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数.

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∴ y ? f ( x) ? h( x) 是奇函数. 故其函数图象关于原点对称,作出示意图如下:

易知函数 y ? f ( x) ? h( x) 在区间[-b,-a]上是增函数且有最大值 6,因此 选 C.

此题中运用到了及复合函数的相关性质, 再数形结合, 最值问题便得到解决。 所以关于很多抽象函数在已知条件下求最值(或值域)的问题都可以利用图像来 解决。

2.4、数形结合在不等式中的应用
2.4.1 求参数的取值范围

例 1. 若当 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2< logm x 恒成立,求 m 的取值范围. 解:设 y1=(x-1)2(1<x<2) ,y2= logm x .

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由图像可知,要使 y1<y2(1<x<2) ,则 m>1. y1=(x-1)2 过(2,1)点,当 y2= logm x 也过(2,1)点,即 m=2 时,恰有 y1<y2 (1<x<2) ∴ 当1<m≤2 时(x-1)2< logm x 在 x∈(1,2)上恒成立.

这道题是解决含参不等式中参数取值范围的问题,那么直接运算是不能实 现的,看作两个函数在某区间上的值的大小问题,数形结合便很容易求出来。 2.4.2 解不等式

例 2.已知函数 f (x) 是 R 上的偶函数, 且在(-∞,0]上是增函数, f (a) =0 (a>0) , 则不等式 xf ( x) ? 0 的解集是( A. {x|0<x<a} C. {x|-a<x<a} ).

B. {x|-a<x<0 或 x>a} D. {x|x<-a 或 0<x<a}

解: 由题意得 f (x) 在 R 上为偶函数, 且在(-∞,0]上是增函数, f (a) =0 (a>0) , 可得函数 f(x)图象如下:

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又 xf(x)<0,则 x 与 f(x)异号,从图象可知,当 x∈(-a,0)∪(a,+∞) 时满足题意,故选 B. 例 3.函数 f ( x) ? 2|x?1|?|x?1| ,求使 f ( x) ? 2 2 的 x 取值范围.

解:由 f ( x) ? 2 2 得 2| x ?1|?| x ?1| ≥ 2

2

? | x ? 1 | ? | x ?1 |?

3 2
h( x) ? 3 2

设: g ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 1 | 则 画函数图象如下:

则当 g ( x) ? h( x) ,

解得 x ?

3 4

这两道题都是与函数相关的不等式求解问题,所以利用函数图像便很好解 决。例 2 这种类型,在没有告诉具体函数解析式的情况下,运用函数的性质,画 出草图的方法尤为常见,在很多问题中我们都可采纳。

2.5 数形结合在解三角函数中的应用

例 1.已知函数 f(x)=2|sinx|+sinx,x∈[0,2 ? ]的图象与直线 y=m 有且仅 有 2 个不同的交点,求 m 的取值范围.

【分析】由函数解析式画出图象,通过图像,便可以直观简明地得到答案.

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? 3 sin x, x ? [0, ? ] 解:函数f ( x) ? ? ,由图像可知: ?? sin x, x ? [? ,2? ] m的取值范围为: 1? m ? 3

8 sin 2 x ? cos2 x ? 1 例2、当0 ? x ? 时,求函数f ( x) ? 的最小值. 2 sin 2 x

?

解:y=

,由斜率关系知:y 为点 A

(0,5)与点 P(-sin2x,3cos2x)两点连线的斜率,又点 P 轨迹的参数方程 为 (0<α < ) ,转化成标准方程:x2+ =1(x<0).如图,当过点 A

的直线∶y=kx+5 与椭圆 x2+ =1(x<0)刚好相切时,k 取得最小值 4.故 f(x) 的最小值为 4.

例 3.△ABC 中,A= ,BC=3,则△ABC 的周长为______.

A.4 3 sin(B ? B.4 3 sin(B ? C.6 sin(B ? D.6 sin(B ?

?
6

)?3 )?3

?
3

?
6

)?3 )?3

?
3

解: 本题可通过三角恒等变形和正弦定理的相关应用与计算来完成,但应用数

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形结合,可以更快地解决问题. 延长 CA 到 D,使得 AD=AB,则有:CD=AB+AC, ∠CBD=∠ABC+ ,∠D= ,由正弦定理 :

BC AB ? AC ? ? sin D sin(B ? ) 6

得到 AB+AC=6sin(B+ ).所以:△ABC 的周长为 6sin(B+ )+3,故选 C.

这 3 个三角函数函数题所求解的各有不同,例 1 中由交点问题求参数取值 范围, 仍然结合图像研究两个函数交点的问题, 例 2 中要求的函数看上去很复杂, 但经过非常巧妙的变形便转化成斜率问题,其中又涉及到了椭圆的参数方程,结 定点与椭圆图像, 这个题也就变得简单了,例 3 中通过数形结合也避免了繁杂的 计算。综上可知,数形结合在解决三角函数相关问题中也应用得很广泛。

2.6 数形结合在复数中的应用

例.已知复数 z 满足 | ?2 ? 2i ? z |? 2 ,求 z 的模的最大值、最小值。

【分析】 由 | ?2 ? 2i ? z |?| z ? 2 ? 2i |?| z ? (2 ? 2i) | , 不难发现其几何意义:复平面上,复数 z 对应的点到复 数 2 ? 2i 对应的点之间的距离,故满足 | ?2 ? 2i ? z |? 2 的复数 z 对应的点 Z,在以(2,2)为圆心,半径为 2 的圆上(上图) ,而 z 表示点 Z 到原点 O 的距离,数形结合,当点 O、圆心 C、点 Z 三点共线时, z 取得最值, || z ? 2 , || z ? 3 2 , m i n m a x ∴复数 z 的模的最小值为 2 ,最大值为 3 2 。 这是一个关于模的计算问题,但如果经过适当的变形,更容易观察出它的几 何性质,再利用相关的几何意义,结合图像,解决此类问题就不会那么棘手了。 在我们复数的相关运算中,有很多问题都可以利用其几何意义通过数形结合来 解。
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在我们的立体几何中,也有用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其 相互关系进行研究,可将抽象的几何问题转化为纯粹的代数运算。由此可见,数 形结合的思想方法对我们数学的学习多么重要。

第三章

数形结合在高等数学中的应用

3.1 数形结合在数学分析中的应用

3.3.1 用数形结合求定义域

例:求二元函数z=

? y 2 ? 4x ln(1 ? x 2 ? y 2 )

+arcsin(2 x )定义域

: ? y 2 ? 4 x 的定义域:- y 2 +4x≥0,
1 的定义域: 1 ? x 2 ? y 2 ≠1且 1 ? x 2 ? y 2 >0. 2 2 ln(1 ? x ? y )

arcsin(2 x ) 的定义域:|2 x |≤1,

故所求的定义域为(如下图):
? | 2 x |? 1, ? ? 2 ? x ? 2, ? ? y 2 ? 4 x ? 0, ? ? ? ? y 2 ? 4x ? 2 2 ?0 ? x 2 ? y 2 ? 1 ?1 ? x ? y ? 1, 2 2 ? ? 1 ? x ? y ? 0 ? ?

?

1

1

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从这一个简单的求函数定义域的例子,我们可以看出,在高等数学中有许多 的问题是要用到数形结合来解决的, 下面的几个应用数形结合思想解题的难度就 稍进一层。

3.1.2 微积分中的解题应用数形结合 例.设有一曲顶柱体,以 xy 坐标为底,以平面 x =0为侧,柱面 x 2 + y 2 =1为内侧, 柱面 x 2 + y 2 =2 x 为外侧,以双曲线抛物面 z = xy 为顶,试求这个柱体的体积。 解: 由题设可知曲顶柱体在 x o y 平面上的投影,即积分域D(如下图) ,由D 的形状可知用极坐标计算曲顶柱体的体积比较简便。 由公式:V= ?? zdxdy = ?? xydxdy
D D

曲线L1: ? =2cos ? ,L2: ? =1,联立解得, ? =

? . 3

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故 V= ? 3 d?
0

?

?

2 cos ?

0

? 3 sin ? cos?d?
4

1 = 4


? ?16 cos
3 0

?

? ? 1?? 3 sin ? cos ?d?

1 8

9 ? ?1 ? 16 cos ? ?d ?cos ? ? = 16 .
3 0 4 2

?

在微积分的应用中,很多问题的解决都离不开图形。一般,若解题单用数学 语言分析问题, 常会使人觉得枯燥甚至茫然不知所措, 若再结合所求问题的几何 意义,画出图像,借助图像的直观形象便能很快解决问题。

3.2 数形结合在常微分方程中的应用

例. 在上半平面求一条下凸的曲线,满足曲线上任意一点P( x , y )处的曲率 等于此曲线在该点的法线段 PQ 长度的倒数( Q 为法线与 x 轴的交点),且曲线在 点(1,1)处的切线与 x 轴平行。 解:如下图所示,设所求曲线为 y = f ( x ).则曲线在 P ( x , y )点处的曲率 为: K=
| y ?? | y ??

?1 ? y ? ?

3 2 2



?1 ? y ? ?

3 2 2

(∵曲线为下凸的,∴ y ?? >0),

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又因为曲线 y = f ( x )在点 P ( x , y )处的法线方程为: Y- y =1 (X- x ) ( y ? ≠0), y?

它与 x 轴的交点 Q 的坐标为: Q ( x + y y ? ,0),于是得到:
| PQ | =

? yy ??

2

? y = y (1+ y ? ) ,
2

2

1 2

由题意设:K=

1 ,则有: | PQ |

y ??

?1 ? y ? ?
这是不显含 x 的方程,

3 2 2



1 y 1 ? y?

?

1 2 2

?

? y y ? =1+ y ? 2

初始条件为: f (1) ? 1, f ' (1) ? 0 . 令 y ? = p , y ?? = p
dp ,于是方程变为 dy

y p

dp dy p 1 =1+ p 2 ? d p= ? ln(1+ p 2 )=ln y +C 1 , 2 dy y 1? p 2

代入 f ' (1) ? 0 ,得到 C 1 =0 ? p 2 = y 2 -1 ? p = y 2 ? 1 , 积分可得: ln| y + y 2 ? 1 |=( x -1)+ C 2 , 代入 f (1) ? 1 ,得到 C 2 =0,故所求的曲线为:

y + y 2 ? 1 =e x ? x ?1? ,
即所求曲线方程为:

1 y = (e x ?1 +e ? ? x ?1? ) 2
这是数形结合在常微分方程中的应用,很多问题我们不能直观的想象出来, 但是我们可以根据已知条件画出其草图,再将形的问题转化为数的问题,这样问 题就变得简单了。
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3.3 数形结合在概率论中的应用

概率论是比较贴近日常生活的一门学科,在其解题中同样离不开数形结合。 请看下面的例题: 例.平面上画有一组间隔为 d ( d >0)的平行线,向平面上任意投掷一枚长为 l ( l < d )的针,求针与任一平行线相交的概率。 解:用x表示针的中点与最近一条直线的距离,以 ? 表示针与此直线间的夹 角,见下图(1) 。从图中易知:0≤ x ≤ d /2,0≤ ? ≤ ? , 由这两式可以确定 x — ? 平面上的一个矩形Ω ,为样本空间,它的面积为:
d? 2

S

?

?

记针与平行线相交为事件A,则针与平行线相交的充要条件是:

l x ≤ sin ? . 2
由此不等式表示的区域是图(2)中的阴影部分。

图(1)

图(2)

因为针是向平面任意投掷的,所以由等可能性知这是几何概率问题。 故:
? l ?0 2 sin ?d? 2l SA P (A)= = = . d S? d ? ? 2

若 l , d 为已知,代入上式即可计算得P(A)。

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此例正说明了数形结合在概率论中的也有着不可替代的作用,简捷、直观, 化繁为简,由抽象到具体。 通过上面的几个例子, 我们可以知道数形结合的思想在高等数学的解题应用 中也占有主导作用, 它贯穿我们整个数学解题,所以这是作为一个数学者必须掌 握的思想与方法。

第四章

利用数形结合思想解题需要注意的问题

在学习数形结合的解题思想及方法,我们还应看到数学证明、运算的简捷化 与严格化。把运算与证明的简捷化与严格化绝对对立起来是错误的.反而,我们 通过大量的例子证实了:严格的方法同时也是比较简捷、容易理解的方法,它们 是相辅相成的.所以我们在利用数形结合思想解题时需要做到: 1、数形结合也有简繁之分,注意方法的选择 2、注意数形等价转化 3、注意图象伸展“速度”与展望 4、注意图象延伸趋势 5、注意仔细观察图象

第五章

结论与展望

“数”与“形”是数学研究中最古老、最重要的两方面。它们一直都是一对 矛盾体。 正如矛和盾一样总是同时存在, 有 “形” 必有 “数” , 有 “数” 必有 “形” 。 数形结合思想是重要的数学思想之一,它可以使某些抽象问题具体化,体现了转 化与化归的思想,有助于把握数学问题的本质。因此,在整个数学学习中应注重 运用数形结合思想,提高自身的思维能力和数学素养。 我国著名的数学家华罗庚先生曾用“数缺形时少直观,形离数时难入微,数 形结合百般好,隔裂分家万事休”形象生动地阐述了数形结合的意义。在解决数 学问题时,根据问题的条件和结论,借助形来观察,从而解决数的问题。而对于 形的问题也可以借助数来思考。它的主要特点就是:以形助数、以数赋形。数形 结合是我们必备的数学解题技能,我们要让数形结合成为一种数学学习习惯!

致谢:在本论文的撰写过程中,得到张益老师的悉心关怀和指导,在此深表
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感谢。

【参考文献】
[1]邱海泉.浅谈数形结合思想在高中数学中的几点应用 .河北:河北理科教学研究 ,2005, 40-43. [2]杨明.浅谈数学思想方法在解题中的应用. 河北:河北理科教学研究,2008,39-40. [3] 陈婉华. 在数学教学中提高学生的多种能力[J]. 青年探索 , 2005,(06) [4] 董涛 . 建构 主 义视野 中 的 数学 概 念教 学 [J]. 曲 阜 师范 大 学学 报 ( 自然 科 学 版 ) , 2004,(02) . [5] 王君芬 . 例谈数学教学中的数形结合 [J]. 黑龙江科技信息 , 2009, (14) [6] 蔡东兴 . 数形结合思想方法的应用 [J]. 高中数学教与学 , 2009, (02) [7] 贾宏伟 . 新课标下高中数学学习的几种思想方法 [J]. 新西部 , 2008, (11) [8] 刘军刚 . 新数形结合的应用浅析 [J]. 新课程研究 ( 基础教育 ), 2008,(04) [9] 欧阳光中,朱学炎 . 数学分析 . 高等教育出版社, 1983 [10]盛祥耀.高等数学[M].北京:高等教育出版社,1992. [11]王子兴.数学方法论[M].长沙:中南大学出版社,2001. [12]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2003. [13]茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2004,24-25.

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文学综述
数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用此种方法很多问题便能 迎刃而解。我们可以利用数学结合的思想解决很多问题: 1 、集合问题:在 集合的相关运算中我们常借助 Venn 图、数轴来解决,使问题得以简化、快 捷明了。文中有举例说明。 2 、解析几何问题:解析几何的基本思想就是数 形结合,在解题中善于将数形结合运用与点、线、曲线的性质及其相关关 系。本文对于求斜率、距离、截距等问题都有例题说明。 3 、函数问题:借 助图像研究函数的性质是一种常用的方法,函数图像的几何特征与数量特 征紧密结合,体现了数形结合的特征与方 法。本文中有提到单调性、方程 的跟、抽象函数、以及比较数值大小的问题。 4、不等式问题:从题目的条 件和结论出发,联系相关函数着重分析其几何意义,从图形上找到解题思 路,本文主要从求参数的取值范围和解不等式两方面来讲解。 5 、三角函数 问题:一般借助于单位圆和三角函数图像来处理,而其中还会运用到一些 曲线的参数方程。这些文中的例题中都有解释。 6 、复数问题:一般对于复 数问题都比较简单,但其中也不乏一些难的问题,会用到复数的几何意义。 这些问题都是数形结合在初等数学中的应用,除此之外,数形结合在高等 数学中也有很多应用,本文主要从数学分析、常微分方程、概率论三个方 面来讲解在数形结合在高等数学中的应用。在求解数学问题中,要让数形 结合成为一种学习习惯,但同时也要注意数形的等价转化等,尽量做到化繁 为简,去粗取精,从而扬长避短,尽可能地发挥各自的优势。数形转换时尽可能 构图简单合理优美, 从而可使代数计算简洁、 明了, 还能给我们良好的视觉感受, 增添学习乐趣。

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