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【创新方案】2015届高考数学一轮复习(回扣主干知识+提升学科素养)第八章 第六节 双曲线教案 文


第六节

双 曲 线

【考纲下载】 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质. 2.了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或 解决实际问题中的作用. 3.理解数形结合的思想 .

1.双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线: (1)在平面内;(2)与两定点

F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数;(3)常数小于|F1F2|. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准 方程

x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

图形

范围 对称性 顶点 性 渐近线 离心率

x≥a 或 x≤-a,y∈R

y≤-a 或 y≥a,x∈R

对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点坐标: A1(-a,0),A2(a,0) 顶点坐标: A1(0,-a),A2(0,a)

b y=± x a c e= ,e∈(1,+∞) a c2=a2+b2

a y=± x b



a,b,c
的关系 实 虚 轴

线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a; 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b; a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长

1.与两定点 F1,F2 的距离之差的绝对值大于、等于或小于常数 2a 的动点的轨迹各是什 么? 提示:当 2a<|F1F2|且 2a≠0 时,轨迹是双曲线;若 2a=|F1F2|,则轨迹是以 F1,F2 为端 点的两条射线;若 2a >|F1F2|,则轨迹不存在. 2.双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系? 提 示:离心率越大,双曲线的“开口”越大.

1

1.双曲线 2x -y =8 的实轴长是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 解析:选 C 由题意知,a=2,故实轴长为 2a=4. 2 2 2.双曲线方程为 x -2y =1,则它的左焦点的坐标为( 2 ? 5 ? ? ? A.?- ,0? B.?- ,0? ? 2 ? ? 2 ? C.?-

2

2

)

? ?

6 ? ,0? 2 ?
2

D.(- 3,0)
2 2

1 2 2 2 2 2 解析:选 C 双曲线方程 x -2y =1 可化为 x - =1,所以 a =1,b = ,c =a +b 1 2 2 3 6 6 ? ? = ,c= .因此,左焦点坐标为?- ,0?. 2 2 2 ? ? 3.设 P 是双曲线 - =1 上一点,F1,F2 分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9, 16 20 则|PF2|等于( ) A.1 B.17 C.1 或 17 D.以上答案均不对 解析: 选 B 由题意知|PF1|=9<a+c=10, 所以 P 点在双曲线的左支, 则有|PF2|-|PF1| =2a=8,故|PF2|=|PF1|+8=17. 4.双曲线方程: + =1,那么 k 的取值范围是( ) |k|-2 5-k A.(5,+∞) B.(2,5) C.(-2,2) D.(-2,2)或(5,+∞) 解析:选 D 由题意知,(|k|-2)(5-k)<0 ,解得-2<k<2 或 k>5. 5 .已知双曲线 - = 1 的右焦点的坐标为 ( 13 , 0) ,则该双曲线的渐近线方程为 9 a ____________________. 2 解析:依题意知( 13) =9 +a,所以 a=4, 故双曲线方程为 - =1, 9 4 则渐近线方程为 ± =0. 3 2 即 2x±3y=0. 答案:2x+3y=0 或 2x-3y=0

y2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

x2 y2 x y

数学思想(十) 方程思想在求解离心率(范围)中的应用 [典例] 已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点, 过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的 离心率 e 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(1,2) C.(1,1+ 2) D.(2,1+ 2) [解题指导] 根据△ABE 的特征,得出边的关系,列出关于 a,c 的不等式求解即可.
2

x2 y2 a b

[解析] 由 AB⊥x 轴,可知△ABE 为等腰三角形,又△ABE 是锐角三角形,所以∠AEB

b2 a 得-1<e<2.又双曲线的离心率 e>1,从而 1<e<2.

为锐角,即∠AEF<45°,于是|AF|<|EF|, <a+c,于是 c -a <a +ac,即 e -e-2<0,解 [答案 ] B [题后悟道] 离 心率是圆锥曲线的重要几 何性质,求解椭圆或者双曲线的离心率的关 键是建立一个关于 a,b,c 的方程(不等式),通过这个方程(不等式)和 b 与 a,c 的关系消 掉 b 后,建立 a,c 之间的方程(不等式),只要能通过这个方程求出 即可,不一定具体求出

2

2

2

2

c a

a,c 的数值.
(2014?郑州模拟)已知点 F、A 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点、右顶点, 点 B(0,b)满足 FB ? AB =0,则双曲线的离心率为( ) 1+ 3 1+ 5 A. 2 B. 3 C. D. 2 2 解析:选 D 依题意得 F(-c,0),A(a,0),又 B(0,b),则 FB =(c,b), AB =(-a, c2-a2 1 2 b).由 FB ? AB =0,得 b2=ac,所以 c2-a2=ac, =1,即 e- =1,e -e-1=0,

x2 y2 a b

ac

e

1± 5 1+ 5 1+ 5 解得 e= .又 e>1,所以 e= ,即双曲线的离心率等于 . 2 2 2

3


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