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高中数学函数知识点梳理 2


高中数学函数知识点梳理
1. .函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. ( x1 ? x2 ) ? f (

x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? x1 ? x2 (2)设函数 y ? f (x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为减函数. 注: 如果函数 f (x) 和 g (x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减 函 数 ; 如 果 函 数 y ? f (u ) 和 u ? g (x) 在 其 对 应 的 定 义 域 上 都 是 减 函 数 , 则 复 合 函 数 y ? f [ g ( x)] 是增函数.

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

2.

奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图 象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函 数是偶函数. 注:若函数 y ? f (x) 是偶函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ;若函数 y ? f ( x ? a) 是偶 函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) . 注: 对于函数 y ? f (x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f (x) 的对称轴是 函数 x ?

a?b a?b ;两个函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ? 对称. 2 2 a 注 : 若 f ( x) ? ? f (? x ? a) , 则 函 数 y ? f (x) 的 图 象 关 于 点 ( ,0 ) 对 称 ; 若 2

f ( x) ? ? f ( x ? a) ,则函数 y ? f (x) 为周期为 2 a 的周期函数.
3. 多项式函数 P( x) ? an xn ? an?1xn?1 ? ?? a0 的奇偶性 多项式函数 P( x) 是奇函数 ? P( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P( x) 是偶函数 ? P( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x )

? f (2a ? x) ? f ( x) .
(2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

? f (a ? b ? mx) ? f (mx) .
4. 两个函数图象的对称性

a?b 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx ) 2

(1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称. 2m

(3)函数 y ? f (x) 和 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y=x 对称. 25.若将函数 y ? f (x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图 象;若将曲线 f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图 象. 5. 互为反函数的两个函数的关系

f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a .
27. 若 函 数 y ? f (kx ? b) 存 在 反 函 数 , 则 其 反 函 数 为 y ?

1 [f k

?1

( x ) ? b] , 并 不 是

y ? [ f ?1 (kx ? b) ,而函数 y ? [ f ?1 (kx ? b) 是 y ?
6. 几个函数方程的周期(约定 a>0)

1 [ f ( x ) ? b] 的反函数. k

(1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f (x) 的周期 T=a; (2) f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 ,

1 ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 或 f ( x ? a) ? ? ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 2 或 ? f ( x) ? f ( x) ? f ( x ? a ), ( f ( x) ? ? 0,1?) ,则 f (x) 的周期 T=2a; 2 1 ( f ( x) ? 0) ,则 f (x) 的周期 T=3a; (3) f ( x) ? 1 ? f ( x ? a) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (4) f ( x1 ? x2 ) ? 且 f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1,0 ?| x1 ? x2 |? 2a) , 则 1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) f (x) 的周期 T=4a; (5) f ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) ? f ( x ? 4a) ? f ( x) f ( x ? a) f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) f ( x ? 4a) ,则 f (x) 的周期 T=5a; (6) f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f (x) 的周期 T=6a.
或 f ( x ? a) ? 7. 分数指数幂 (1) a n ? (2) a 8.
m ? n

m

1
n

?

a 1

m

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ). ( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).
?

?

a
根式的性质

m n

(1) ( n a )n ? a . (2)当 n 为奇数时, an ? a ;
n

当 n 为偶数时, a ?| a |? ?
n n

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0

9.

有理指数幂的运算性质 (1) a ? a ? a
r s r ?s

(a ? 0, r, s ? Q) .

(2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) . (3) (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? Q) . p 注:若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性 质,对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式

loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
34.对数的换底公式

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a n n 推论 log a m b ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ). m log a N ?
10. 对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ;

M ? log a M ? log a N ; N (3) loga M n ? n loga M (n ? R) .
(2) log a 注:设函数 f ( x) ? logm (ax2 ? bx ? c)(a ? 0) ,记 ? ? b ? 4ac .若 f (x) 的定义域为
2

R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 ;若 f (x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要
单独检验. 11. 对数换底不等式及其推论

1 ,则函数 y ? logax (bx) a 1 1 (1)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? logax (bx) 为增函数. a a 1 1 (2)(2)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? logax (bx) 为减函数. a a
若 a ? 0 ,b ? 0, x ? 0 , x ? 推论:设 n ? m ? 1, p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则 (1) logm? p (n ? p) ? logm n . (2) log a m log a n ? log a
2

m?n . 2

二次函数 I.定义与定义表达式 一般地, 自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系: y=ax^2+bx+c (a,b,c 为常数,a≠0,且 a 决定函数的开口方向,a>0 时,开口方向向上,a<0 时, 开口方向向下,a还可以决定开口大小,a 越大开口就越小,a 越小开口就越大.) 则称 y 为 x 的二次函数。 II.二次函数的三种表达式 一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) 顶点式: y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点 P(h,k)] 交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(仅限于图像与X 轴有交点) 对称轴h=-b/2a

3.抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0),若 a>0,当 x ≤ -b/2a 时,y 随 x 的增大而减小; 当 x ≥ -b/2a 时, 随 x 的增大而增大. a<0, x ≤ -b/2a 时, 随 x 的增大而增 大; x ≥ -b/2a y 若 当 y 当 时,y 随 x 的增大而减小. 4.抛物线 y=ax^2+bx+c 的图象与坐标轴的交点: (1)图象与 y 轴一定相交,交点坐 标为(0,c); (2)当△=b^2-4ac>0,图象与 x 轴交于两点即两根 5.抛物线 y=ax^2+bx+c 的最值:如果 a>0(a<0),则当 x= -b/2a 时,y 最小(大)值 =(4ac-b^2)/4a. 顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的 取值. 6.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知 点或已知 x、y 的三对对应值时,可设解析式为一 般形式: y=ax^2+bx+c(a≠0). (2) 当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时, 可设解析式为顶点式: y=a(x-h)^2+k(a ≠0). (3)当题给条件为已知图象与 x 轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式 反比例函数 形如 y=k/x(k 为常数且 k≠0) 的函数,叫做反比例函数。 自变量 x 的取值范围是 不等于 0 的一切实数。 反比例函数图像性质: 反比例函数的图像为双曲线。 由于反 比例函数属于奇函数,有 f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。 另外,从反比例函数的解 析式可以得出,在反比例函数的图像上任取一点,向两个坐标轴作 垂线,这点、两个 垂足及原点所围成的矩形面积是定值,为∣k∣。当 K>0 时,反比例函数图像经过一, 三象限,是减函数 当 K<0 时,反比例函数图像经过二,四象限,是增函数 反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴,无法和坐标轴相交。 知识点: 1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的 矩形的 面积为| k |。 2.对于双曲线 y=k/x , 若在分母上加减任意一个实数 (即 y=k/ (x±m) 为常数), m 就 相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。 (加一个数时向左平移,减一个数时 向右平移) 对数函数 对数函数的一般形式为 , 它实际上就是指数函数 的反函数。 因此指数函 数里对于 a 的规定, 同样适用于对数函数。 右图给出对于不同大小 a 所表示的函数 图形: 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线 y=x 的对称图 形,因为它们互 为反函数。 (1)对数函数的定义域为大于 0 的实数集合。 (2)对 数函数的值域为全部实数集合。 (3)函数总是通过(1,0)这点。 (4)a 大于 1 时,为单调递增函数,并且上凸;a 小于 1 大于 0 时,函数为单调递减函数, 并且 下凹。 (5)显然对数函数无界。 指数函数 指数函数的一般形式为 ,从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使 得 x 能够取整个 实数集合为定义域, 则只有使得 如图所示为 a 的不同大小影响函数 图形的情况。 可以看到: (1) 指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是 a 大于 0,对 于 a 不大于 0 的情 况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予 考虑。 (2) 指数函数的值域为大于 0 的实数集合。 (3) 函数图形都是下凹的。 (4) a 大于 1,则指数函数单调递增;a 小于 1 大于 0,则为单调递减的。 (5) 可以看到一个显然的规律,就是当 a 从 0 趋向于无穷大的过程中(当然不能等于 0) , 函数的曲线从分别接近于 Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的位置, 趋向分别接近 于 Y 轴 的正半轴与 X 轴的负半轴的单调递增函数的位置。 其中水平直线 y=1 是从 递减到递增的一个 过渡位置。 (6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于 X 轴,永不 相交。 (7) 函数总是通过(0,1)这点。 (8) 显然指数函数无界。

奇偶性 1、 ①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言 ②奇、偶函数的定义域一定关 于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这 个函数一定不是奇(或偶) 函数。 (分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再 严格按照奇、 偶性的定义经过化简、整理、再与 f(x)比较得出结论) ③判断或证明 函数是否具有奇偶性的根据是定义 2、 奇偶函数运算 (1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数. (2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数. (3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数. (4) . 两个偶函 数相乘所得的积为偶函数. (5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数. (6) . 一个偶函 数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.
3、 复合函数的有关问题 复合函数的单调性由“同增异减”判定; .函数图像(或方程曲线的对称性) (1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图 像上; (2)证明图像 C1 与 C2 的对称性,即证明 C1 上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点 仍在 C2 上,反之亦然; (3) 曲线 C1: f(x,y)=0,关于 y=x+a(y=-x+a)的对称曲线 C2 的方程为 f(y-a,x+a)=0(或 f(-y+a, -x+a)=0); (4)曲线 C1:f(x,y)=0 关于点(a,b)的对称曲线 C2 方程为:f(2a-x,2b-y)=0; (5)若函数 y=f(x)对 x∈R 时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则 y=f(x)图像关于直线 x=a 对称; (6)函数 y=f(x-a)与 y=f(b-x)的图像关于直线 x= 对称; 4.函数的周期性 (1)y=f(x)对 x∈R 时,f(x +a)=f(x-a) 或 f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则 y=f(x)是周期为 2a 的 周期函数; (2)若 y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线 x=a 对称,则 f(x)是周期为 2︱a︱的周期函数; (3)若 y=f(x)奇函数,其图像又关于直线 x=a 对称,则 f(x)是周期为 4︱a︱的周期函数; (4)若 y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则 f(x)是周期为 2 的周期函数; (5)y=f(x)的图象关于直线 x=a,x=b(a≠b)对称,则函数 y=f(x)是周期为 2 的周期函数; (6)y=f(x)对 x∈R 时,f(x+a)=-f(x)(或 f(x+a)= ,则 y=f(x)是周期为 2 的周期函数; 5.方程 k=f(x)有解 k∈D(D 为 f(x)的值域); 6.a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min; 7.(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1); (3) l og a b 的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 ); 8. 判断对应是否为映射时,抓住两点: (1)A 中元素必须都有象且唯一; (2)B 中元素不 一定都有原象,并且 A 中不同元素在 B 中可以有相同的象; 9.对于反函数,应掌握以下一些结论: (1)定义域上的单调函数必有反函数; (2)奇函数的 反函数也是奇函数; (3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;(4)周期函数不存在 反函数; (5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;(5) y=f(x)与 y=f-1(x)互为反函数, 设 f(x)的定义域为 A,值域为 B,则有 f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).

高一数学必修一系列回归综合练习一
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分) 1. 集合 M ? ?x | ?4 ? x ? 7?, N ? {x | x ? 3, 或x ? ?2} ,则 M ? N ? ( A C
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?x | ?4 ? x ? ?2, 或3 ? x ? 7? ?x | x ? ?2, 或x ? 3?
x ?1

B D
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?x | ?1 ? x ? ?2, 或3 ? x ? 7? ?x | x ? ?2, 或x ? 3?
D 非奇非偶函数
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2 2. 函数 f ? x ? ? 2 x ? 2 x 是(

) C
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A 奇函数
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B 偶函数
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既奇又偶函数

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3.已知幂函数 f ? x ? 的图象过点 (2, ) ,则 f ? A ?
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?1? ? 的值为( ?2?
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) D 4
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B

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C ?4
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4 下列函数在区间 [3,5] 上有零点的是(
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A f ( x) ? 2 x ? ln( x ? 2) ? 3
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B

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f ( x) ? ? x3 ? 3x ? 5 C f ( x) ? 2x ? 4
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D f ( x) ? ?
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1 ?2 x

5 已知 log 7 ?log 3 ? log 2 x ? ? ? 0 ,那么 x ? ?
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?

1 2

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?(
C
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A
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1 3

B

1
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1
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6 在 b ? log? a ?2? ? 5 ? a ? 中,实数 a 的取值范围是(
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2 3

2 2


D

1
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3 3
D 3? a ? 4
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A a?5 或 a?2
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B 2?a?5
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C 2? a ?3 或 3? a ?5
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7. 函数 y ? a A ( ??, )
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? x2 ?3 x ? 2

? 0 ? a ? 1? 的单调增区间为(
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3 3 B ( , ??) C (??, 2) D (1, 2) 2 2 8 设 f ( x) ? 3ax ? 1 ? 2a 在 ? ?1,1? 上存在 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 a 的取值范围是(
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A

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1 ?1 ? a ? 5

B a?
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1 或 a ? ?1 5

C

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a?

1 5

D a ? ?1
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二、填空题 9 log3 9 ? log5 25 ? _________________
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10 已知函数 y ?
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mx2 ? 6mx ? m ? 8 的定义域为 R,则 m 的取值范围是
.
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11 已知 a ? log0.5 0.9, b ? log2.1 0.5, c ? 2.10.9 ,则 a,b,c 从小到大的顺序是
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12 已知 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 ,那么不等式 a
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logb ? x ?3?

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? 1 的解集为______

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三、解答题 13.(1)若 x ? x
1 2 ? 1 2

? 3 ,求 x 2 +x ? 2 的值 ;(2)计算: lg 25 ? lg 2 ? lg50 ? (lg 2)2 ;

14.(1)已知

? x ? 4,x ? 0,,求 f ( x) ? ? ? x ? 4,x ? 0,
5 3

f ? f (?3)? 的值;

(2)已知 f(x)=x +ax +bx-8,f(-2)=10,,求 f(2)的值;

15 已知 A ? {x | x2 ? px ? 2 ? 0}, B ? {x | x2 ? qx ? r ? 0} , A ?B ? ? 2, , 且 ? ,5 1
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?A

? ? 2? B ?

?,

求 p、 q、 r 的值.

16 已知函数 f ? x ? ? ?1 ? a ? x ? ax ?1,
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2

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(1)若函数只有一个零点,求实数 a 的取值范围. (2)如果函数的一个零点为 2,求 a 的值.

高一必修一系列综合练习一
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 D 4 A 5 C 6 C 7 B 8 B 12、 x | 3 ? x ? 4? 或 ?3,4? ?

二、 (每小题 4 分, 16 分) 题 共 9、 4 三、解答题(共 52 分)

b 11、 ? a ? c

13 题(10 分)解:(1)由 x 2 ? x ? 2 ? 3 得: x ? x?1 ? 2 ? 9 ,------------------------------------------2 分
?1 ∴ x ? x ? 7 ,------------------------------------------------------3 分
2 ?2 ∴ x ? x ? 2 ? 49 ,------------------------------------------------------4 分

1

1

2 ?2 ∴ x ? x ? 47 ------------------------------------------------------5 分

(2)原式= 2lg5 ? lg 2 ? (1 ? lg5) ? (lg 2)2 ? 2lg5 ? lg 2(1 ? lg5 ? lg 2) ? 2lg5 ? 2lg 2 ? 2 --------10 分 (其中第一,二个等号各 2 分。第三个等号 1 分)

14. 题(10 分) 解一:(1) f (?3) ? ?3 ? 4 ? 1, f ( f (?3)) ? f (1) ? 1 ? 4 ? ?3 ---------------------5 分 (其中第一个式子 2 分。第二个式子 3 分) (2)f(-2)=(-2)5+a(-2)3-2b-8=10,--------7 分 ∴ 8a+2b=-50,--------8 分 f(2)=25+23a+2b-8=24+8 a ? 2b =-26.--------10 分 解二: f ( x) ? 8 ? x5 ? ax3 ? bx 为奇函数,--------7 分 f (?2) ? 8 ? 18 ,--------8 分 ∴ f (2) ? 8 ? ?18 ,--------9 分 f (2) ? ?26 .--------10 分 15 题(10 分)解:? A ? {x | x2 ? px ? 2 ? 0}, A ? B ? ??2? --------2 分
??2 ? A.得 ? ?2 ? ? p ? ? ?2 ? ? 2 ? 0, 解得p ? ?1 --------4 分
2

此时A ? {x | x2 ? x ? 2 ? 0} ? ??2,1? -------5-分
? A ? B ? ??2,1,5?, A ? B ? ??2?
?5 ? B ,? 2 B --------6 ?



--------7 分 即5, ?2为x2 ? qx ? r ? 0的根.此时,由韦达定理得:
??q ? 5 ? (?2) ?q ? ?3 即 ? ? r ? 5 ? (?2) ? ?r ? ?10

--------9 分 ? p=-1,q ? ?3, r ? ?10 --------10 分

16 题(10 分)解: (1)①若 1 ? a ? 0, 则a ? 1, 此时f ( x) ? ? x ?1 ,是一次函数,有一个零点. --------2 分 ② 若1 ? a ? 0, 此时函数f ( x)为二次函数 --------3 分 --------4 分 依题意得方程?1? a ? x2 ? ax ?1 0应有一个实数根, =

?? ? ? ?a ? ? 4 ? ?1 ? a ? ? (?1) ? a 2 ? 4a ? 4 ? ? a ? 2 ? ? 0
2 2

--------5 分

? a ? 2 --------6 分
综上所述,? a的值为 1, 或 2 --------7 分 (2)若函数的一个零点为 2,则 ?1 ? a ? ? 22 ? 2a ? 1=0, 6a ? 3, 即a ? 1 .--------10 分 ?
2

17 题 (12 分)解:(1)由

x?2 >0 得 ( x ? 2)( x ? 2) ? 0 解得x ? ?2或x ? 2 --------1 分 x?2

? f ( x) ? log a

x?2 的定义域是 ? x | x ? ?2或x ? 2? . --------2 分 x?2
?x ? 2 x?2 x?2

(2)? f (? x) ? log a ? x ? 2 ? log a x ? 2 ? ? log a x ? 2 ? ? f ( x) --------4 分 --------5 分 由()知,函数f ( x)的定义域关于原点对称, 1
? f ( x) ? log a x?2 为奇函数.--------6 分 x?2
m?2

(3)假设存在这样的实数 a ,则由 m ? n及 log m ? 1和 log m ? 2 有意义可知 2<m<n ---------7 分 a a 又?loga n ? 1 ? loga m ? 1,即 loga n ? loga m,?0 ? a ? 1. --------8 分 令 t ? x ? 2 , 则t ? 1- 4 在 ? m, n ? 上递增, ? f ( x) ? log a x ? 2 在 ? m, n ? 上递减,
x?2 x?2

x?2

m?2 ? ? f (m) ? log a m ? 2 ? log a m ? 1 ? ?? ? f (n) ? log n ? 2 ? log n ? 1 a a ? n?2 ?
? m, n 是方程 log a x?2 ? log a x ? 1 的两个实数解. x?2

问题转化为关于 x的方程 ax2 ? (2a ?1) x ? 2 ? 0在? 2, ??? 上有两个不同的实数解 -----10 分

令g ( x) ? ax2 ? (2a ?1) x ? 2, 则有
? ? 3? 2 2 3?2 2 或a ? ? ? ? (2a ? 1) 2 ? 8a ? 0 ?a ? 2 2 ? ? , 即 ?a ? 0 ? g (2) ? 8a ? 0 ? ? 2a ? 1 ? 1 ?? ?2 ?a ? ? 2a 6 ? ?

解得 0 ? a ? 3 ? 2 2 .
2

故存在这样的实数a, 0 ? a ?

3 ? 2 2 --------12 分 . 2


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