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等比数列前n项和公式(第一课时)


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S 30 ? 1,? 2 2,? 22 ,? 22 ,? ? ?? , 229
22 33

错位相减法 等比数列的前 30项和
第一天返还1元, 第二天返还2元, 第三天返还4元…… 后一天返还数为前一天的 2倍.

? 2 ? 1 约为10.74亿
30

=?

如何求等比数列的Sn:
Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an

错位相减法
n ?2 n?1

Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ?a1q
2
2 3

? a1q


n

qSn ? a1q ? a1q ? a1q ? ?? a1q

n?1

? a1q ②
n

①—② ,得

(1 ? q)Sn ? a1 ? 0 ??? 0 ? a1q
(1 ? q)Sn ? a1 ? a1q
n

等比数列前n项和公式:

? na1 (q ? 1) ? n S n ? ? a1 ? a1q (q ? 1) ? ? 1? q

等比数列前n项和公式的推导欣赏 (一) 用等比性质推导 因为 所以

当 q = 1 时 Sn = n a1

(二)借助和式的代数特征进行恒等变形

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an ? a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an?1 ) ? a1 ? q(S n ? an )
a1 ? a n q 当q≠1时, S n ? 1 ? q

当q=1时, S n ? na1

等比数列前n项和公式: na1 (q ? 1) ? ? n a1 ? a n q S n ? ? a1 ? a1 q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q

注意:
使用公式求和时,需注意对 q 的情况加以讨论;

? 1和 q ? 1

公式应用 1 1 1 : 例1:求等比数列 , , , ? 的前8项的和。
2 4 8

例2 已知等比数列 ?an ? , a1 ? 27, a9 ? 求前8项的和.

1 243

.

1. 根据下列条件,求相应的等比数列?an ?的 S n

1 (1) a1 ? 8, q ? , n ? 5; 2 1 ( 2)a1 ? 2.7, q ? ? , n ? 6. 3 a3 ? ?1? a1 ? 2 , S3 ? 14.则q ?

? 2? a1 ? ?1, a4 ? 216 则 q ?

, S4 ?

已知{an }中,an?1 ? 2an , a2 ? 3, 求S6 .

2.求等比数列1,2,4,…从第5项到第10项的和.

3 3 3 , ,? 3.求等比数列 , 从第3项到第7项的和 2 4 8 .

例3.某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年 的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今 起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保 留到个位)? 分析:第1年产量为 5000台 第2年产量为 5000×(1+10%)=5000×1.1台 第3年产量为 5000×(1+10%) ×(1+10%) 第n年产量为 5000?1.1 则n年内的总产量为:
2

……

? 5000 ?1.1 台
2

n?1


n ?1

5 ? 5 ?1.1 ? 5 ?1.1 ? ? ? 5 ?1.1

例4.等比数列 ?an ? 的前n项和为 Sn,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列, (1)求?an ? 的公比 q (2)若 a1 ? a3 ? 3 ,求 Sn

例5.求和

(1)a ? a ? a ? ??? ? a ?a 1 1 1 2 n (2).( x ? ) ? ( x ? 2 ) ? ??? ? ( x ? n ) y y y ( x ? 0, x ? 1, y ? 1)
2 3

n ?1

n

分析:

思考:
1 2 3 4 n Sn ? ? ? ? ??? n 求和: 2 4 8 16 2
n 1 a ? ? n ? (提示 设 n 2 n 2n :

,其中?n?为等差数列, ,利用错位相减法求和.)

1 ?1? ? n ? 为等比数列,公比为 2 ?2 ?

反思推导求和公式的方法——错位相减法, 可以求形如?xn ? yn ?的数列的和,其中 等差数列, ?yn ?为等比数列.

?xn ?为

练习 : 1 .求和 Sn ? x ? 2x 2 ? 3x3 ? ??? nxn ( x ? 0)


2 an 2 , n ? 1,2,? 2.已知数列?an ? 的首项 a1 ? , an ?1 ? 3 an ? 1

?1 ? (1)证明:数列 ? ? 1?是等比数列 an ? ? ?n? (2)求数列 ? ? 的前n项和Sn ? an ?


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