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黑龙江省哈尔滨市第六中学2015届高三10月月考数学(文)试题含解析


考试时间:120 分钟

满分:150 分

【试卷综析】试卷注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学 核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回 归课本,整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.对中学数学教学和复习回归课本,重 视对基础知识的掌握起到好的导向作用. 一、选择题: (每题 5 分,共 60 分) 【题文】1. 已知 ? , ? ? R ,则“ ? ? ? ”是“ tan ? ? tan ? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 【知识点】正切函数的图象.C3 ”的( )

D.既不充分也不必要条件

【答案解析】A 解析:α,β∈R,则“α=β”如果 α=β=90°,不存在 tanα,tanβ 所以不可能得 到“tanα=tanβ”;“tanα=tanβ”可得角 α,β 的终边可能相同,也可能不相同,推不出“α=β”, 所以 α,β∈R,则“α=β”是“tanα=tanβ”的既不充分也不必要条件.故选 D 【思路点拨】通过判断 α,β∈R、“α=β”,能否得到 tanα=tanβ;以及 tanα=tanβ 能否推出 α, β∈R,则“α=β”,即可判断充分必要条件. 【题文】2.下列有关命题的说法正确的是( ) A.命题“若 x ? 1, 则 x ? 1 ”的否命题为“若 x 2 ? 1 则 x ? 1 ”
2

B. “ x ? ?1 ”是 “ x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件 C. 命题若“ x ? y ”则“ sin x ? sin y ”的逆否命题为真 D.命题“ ?x0 ? R, x0 2 ? x0 ? 1 ? 0 ”的否定是“对 ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 。 ”
2

【知识点】命题的真假判断与应用.A2 【答案解析】C 解析:命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x ≠1,则 x≠1”.所以,选项 2 2 A 不正确;由 x=﹣1,能够得到 x ﹣5x﹣6=0.反之,由 x ﹣5x﹣6=0,得到 x=﹣1 或 x=6. 2 所以,“x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件.所以,选项 B 不正确; “若 x=y”,则“sinx=siny”为真命题,所以其逆否命题也为真命题.所以,选项 C 正确; 命题“?x0∈R, 故选 C. 【思路点拨】题目给出的四个命题,A 是写出一个命题的否命题,既要否定条件,又要否定 2 2 结论;B 是分析充要条件问题,由 x=﹣1,一定能得到 x ﹣5x﹣6=0,反之,由 x ﹣5x﹣6=0, 得到的 x 的值还可能是 6;C 是考查互为逆否命题的两个命题共真假;D 是考查特称命题的 否定,特称命题的否定式全称命题. 【题文】3.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? A. ? ”的否定是“对?x∈R,x +x+1≥0”.所以,选项 D 不正确.
2 2 2

24 25

B. ?

12 25

3 ,则 sin 2? ? ( 5 12 24 C. D. 25 25



【知识点】二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系.C2 C6
1

【答案解析】A 解析:因为 α 为第二象限角, 所以 cosα=﹣

, = .故选 A.

=﹣ .所以 sin2α=2sinαcosα=

【思路点拨】直接利用同角三角函数的基本关系式,求出 cosα,然后利用二倍角公式求解 即可. 【题文】4.

sin 47 ? - sin 17 ? cos 30 ? cos17 ?
B. ?





A. ?

3 2

1 2

C.

1 2

D.

3 2

【知识点】两角和与差的正弦函数.C5 【答案解析】C = = =sin30°= .故选 C 【思路点拨】将原式分子第一项中的度数 47°=17°+30°,然后利用两角和与差的正弦函数公 式化简后,合并约分后,再利用特殊角的三角函数值即可求出值. 【题文】5.已知点 A(?1,1) 、 B (1,2) 、 C (?2,?1) 、 D (3,4) ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影 为 ( A. ) B.
??
??

解析:

3 2 2

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

【知识点】平面向量数量积的含义与物理意义.F3 【答案解析】A 则向量 解析: 方向上的投影为: , ?cos< > ,

=

?

=

=

=

,故选 A.

【思路点拨】先求出向量


?

,根据投影定义即可求得答案.
? ? ? ? ?

【 题 文 】 6. 已 知 向 量 m ? (? ? 1,1), n ? (? ? 2,2), 若 (m ? n ) ? (m ? n ) , 则 ( ) A. ? 4 B. ? 3 C. ? 2 D. ? 1

??

2

【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.F3 【答案解析】B ∴ ∵ ∴ 解析:∵ , . , =0, .

=(2λ+3,3) ,

∴﹣(2λ+3)﹣3=0,解得 λ=﹣3.故选 B. 【思路点拨】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出. 【题文】7.函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则其解析式可以是( A. y ? 3sin(2 x ? )

?

3 1 ? D. y ? ?3sin( x ? ) 2 12

)

B. y ? ?3sin(2 x ?

?
3

)

C



1 ? y ? 3sin( x ? ) 2 12

【知识点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.C4 【答案解析】B 解析:由函数的图象可得 A=3,再由 ? 再由 sin[2×(﹣ ∴可以取 φ= )+φ]=0,可得 2×(﹣ , )= ,故选 B. )+φ]=0 求出 φ 的值, = + = ,解得 ω=2. ,k∈z,

)+φ=(2k﹣1)π,即 φ=(2k﹣1)π+

故函数的解析式可以为 f(x)=3sin(2x

【思路点拨】由函数的最值求出 A,由周期求出 ω,由 sin[2×(﹣ 从而求得函数的解析式.

【题文】8.要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象( A. 向左平移 1 个单位 B. 向右平移 1 个单位 C. 向左平移



1 个单位 2

D. 向右平移

1 个单位 2

【知识点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.C4 【答案解析】C 解析:因为函数 y=cos(2x+1)=cos[2(x+ )],所以要得到函数 y=cos

(2x+1)的图象,只要将函数 y=cos2x 的图象向左平移 个单位.故选 C. 【思路点拨】 化简函数 y=cos (2x+1) , 然后直接利用平移原则, 推出平移的单位与方向即可. 【题文】 9.已知函数 f ( x ) 是定义在 ? a ? 1, 2a ? 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) 单调递增, 则关于 x 的不等式 f ( x ? 1 ) ? f ( a ) 的解集为(
3



A. [ , )

4 5 3 3

B. ? ?

? 2 1? ,? ? ? 3 3?

?1 2 ? ? ?3 , 3 ? ?

C. ? , ?

?1 2 ? ? 4 5 ? ? , ? ?3 3 ? ? 3 3?

D.随 a 的值而变化

【知识点】奇偶性与单调性的综合.B3 B4 【答案解析】C 解析:因为 f(x)是定义在[a﹣1,2a]上的偶函数,

所以(a﹣1)+2a=0,解得 a= .则 f(x)定义域为[﹣ , ]. 由偶函数性质知,f(x﹣1)>f(a)可化为 f(|x﹣1|)>f( ) , 又 x>0 时,f(x)单调递增,所以|x﹣1|> ①, 又﹣ ≤x﹣1 ②,联立①②解得 x< 或 <x≤ ,

故不等式 f(x﹣1)>f(a)的解集为[ , )∪( , ].故选 C. 【思路点拨】具有奇偶性的函数定义域关于原点对称可求得 a 值,由偶函数性质知,f(x﹣ 1)>f(a)可化为 f(|x﹣1|)>f( ) ,根据 f(x)的单调性可得|x﹣1|> ,再考虑到定 义域即可解出不等式. 【题文】 10. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2e) ? ? f ( x)(其中 e ? 2.7182? ) ,

1 1 1 , b ? , c ? ,则( ) 2 3 5 A. f (a ) ? f (b) ? f (c) B. f (b) ? f (c) ? f (a ) C. f (c) ? f (a ) ? f (b) D. f (c) ? f (b) ? f (a )
且在区间 ?e,2e? 上是减函数,令 a ? 【知识点】奇偶性与单调性的综合. B3 B4 【答案解析】C 解析:∵f(x)是 R 上的奇函数,满足 f(x+2e)=﹣f(x) , ∴f(x+2e)=f(﹣x) ,∴函数 f(x)关于直线 x=e 对称, ∵f(x)在区间[e,2e]上为减函数,∴f(x)在区间[0,e]上为增函数, ∵a= ≈0.3466,b= ≈0.3662,c= ≈0.3219,

∴c<a<b,∴f(c)<f(a)<f(b) ,故选 C. 【思路点拨】由 f(x)是 R 上的奇函数及 f(x+2e)=﹣f(x) ,可得 f(x+2e)=f(﹣x) ,从 而可知 f(x)关于 x=e 对称,由 f(x)在[e,2e]上的单调性可得 f(x)在[0,e]上的单调性, 由 a,b,c 的近似值可得其大小关系,进而得到 f(a) 、f(b) 、f(c)的大小关系. 【题文】11. 在△ABC 中, 角 A、B、C 所对的边分别是 a, b, c 且 BC 边上的高为 的最大值为 ( )

a c b , 则 ? 2 b c

2 A. 2 2 B C 2 D 4 【知识点】余弦定理;函数的最值及其几何意义;在实际问题中建立三角函数模型. C8
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4

【答案解析】A

解析:

,这个形式很容易联想到余弦定理:

cosA=
2

①而条件中的“高”容易联想到面积,
2 2

即 a =2bcsinA②,将②代入①得:b +c =2bc(cosA+sinA) ∴ =2(cosA+sinA)=2 sin(A+ ) ,当 A= 时取得最大值 2 ,故选 A.

【思路点拨】由题意知 cosA= 此可知 =2(cosA+sinA)=2 sin(A+

,a =2bcsinA,所以 b +c =2bc(cosA+sinA) ,由 ) ,当 A= 时取得最大值 2 .

2

2

2

?a ? e x ,x ? 0 【题文】12.已知函数 f ( x ) ? ? ,其中 e 为自然对数的底数,若关于 x 的方程 ?? ln x,x ? 0 ) f ( f ( x )) ? 0 ,有且只有一个实数解,则实数 a 的取值范围为(
A.

? ?? ,0 ?

B.

? ?? ,0 ? ? 0,1?

C.

? 0,1?

D.

? 0,1? ?1, ?? ?

【知识点】根的存在性及根的个数判断.B9 【答案解析】B 解析:若 a=0 则方程 f(f(x) )=0 有无数个实根,不满足条件, 若 a≠0,若 f(f(x) )=0,则 f(x)=1, ∵x>0 时,f( )=1,关于 x 的方程 f(f(x) )=0 有且只有一个实数解, 故当 x≤0 时,a?e =1 无解,即
x

在 x≤0 时无解,故



故 a∈(﹣∞,0)∪(0,1) ,故选:B 【思路点拨】若 a=0 则方程 f(f(x) )=0 有无数个实根,不满足条件,若 a≠0,若 f(f(x) ) x =0,可得当 x≤0 时,a?e =1 无解,进而得到实数 a 的取值范围. 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 【题文】13.函数 f ( x) ?

1 的定义域是____________。 (用区间表示) 1? 2x

【知识点】函数的定义域及其求法.B1 【答案解析】 ? ??, ∴函数 【思路点拨】结合函数

? ?

1? ? 2?

解析:∵1﹣2x>0∴x< 的定义域为(﹣∞, )故答案为(﹣∞, ) 的表达式可得不等式 1﹣2x>0 的解集即为所求.

5

35 【题文】14.设角 ? ? ? ? ,则 6
于 .

2 sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? sin( 1 ? sin 2 ? ? cos(

?
2

3? ??) 2 的值等

? ? ) ? cos 2 (? ? ? )
A

【知识点】运用诱导公式化简求值.C7 【答案解析】 3 ∴sinα=sin(﹣ (﹣6π+ π)= 解析:∵α=﹣ π, B π)=sin(﹣6π+ π)= ,cosα=cos(﹣ , π)=cos D

C

则原式=

=

=

=

=



故答案为: 【思路点拨】由 α 的度数求出 sinα 与 cosα 的值,原式利用诱导公式化简后,把各自的值代 入计算即可求出值. 【题文】15.函数 y ?

1 2 x ? ln x 的单调递减区间为 2
解析:对于函数



【知识点】利用导数研究函数的单调性.B12 【答案解析】 ? 0,1? ,易得其定义域为{x|x>0},

y′ =x﹣ =

,令

≤0,

又由 x>0,则 即函数

≤0?x ﹣1≤0,且 x>0;解可得 0<x≤1, 的单调递减区间为(0,1],故答案为(0,1] 的定义域,进而求得其导数,即 y′ =x﹣

2

【思路点拨】根据题意,先求函数

=

,令其导数小于等于 0,可得

≤0,结合函数的定义域,解可得答案.

【 题 文 】 16. 如 图 , 在 △ ABC 中 , ?BAC ? 120 ? , AB ? 2, AC ? 1, D 是 边 BC 上 一 点, DC ? 2 BD ,则 AD ? BC = 【知识点】平面向量数量积的运算.F3 .

6

【答案解析】 ? = ∴ = =(

8 3

解析:选定基向量



,由图及题意得



) ( + = ,

) = 将两向量 ,用基向量表示出来,再进行数量积运

【思路点拨】选定基向量 算,求出 三、解答题 的值.

17. (本小题满分 10 分)已知 tan(? ? ? ) ? (1)求 tan ? 的值; (2)求 2? ? ? 的值。 【知识点】两角和与差的正切函数.C5 【答案解析】 (1) (2)﹣ π

1 1 , tan ? ? ? ,且 ?、? ? (0, ? ) , 2 7

解析: (1)tan α=tan[(α﹣β)+β]=

=

= ,

(2)tan(2α﹣β)=tan[(α﹣β)+α]= ∵α、β∈(0,π) ,tan α∈(0,1) ,tan β<0, ∴α∈(0, ) ,β∈(

=

=1.

,π ) .∴2α﹣β∈(﹣π,0) ,∴2α﹣β=﹣ π.

【思路点拨】先由条件利用两角和的正切公式求得 tan α=tan[(α﹣β)+β]的值,tan(2α﹣β) =tan[(α﹣β)+α]的值.再求得 2α﹣β 的范围,可得 2α﹣β 的值. 【题文】 18. (本小题满分 12 分) 已知向量,m ? (2 cos ?x,1), n ? ( 3 sin ?x ? cos ?x, a ), 其中 ( x ? R, ? ? 0) ,函数 f ( x) ? m? n 的最小正周期为 ? ,其中最大值为 3; (1)求 ? 和常数 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调递增区间。 【知识点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的单调性.C4 【答案解析】 (1)2; (2) 解析: (1)
7
? ? ? ?

, (k∈Z) (1 分)

= 由 又当 (2)由(I)知

= ,得 ω=1. (4 分)

(3 分)

时 ymax=2+a﹣1=3,得 a=2(6 分) 当 (8 分)

即 故 f(x)的单调增区间为

(10 分) , (k∈Z) (12 分)

【思路点拨】 (1)利用数量积化简函数,通过二倍角、两角和的正弦函数化为一个角的一个 三角函数的形式,利用周期求出 ω,通过最大值求出 a 的值; (Ⅱ)结合(1)得到函数的表 达式,利用正弦函数的单调增区间,求函数 f(x)的单调递增区间. 【题文】19. (本小题满分 12 分)在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 向量

m = (2 sin B,? 3 ) , n = (cos 2 B,2 cos 2

?

?

? ? B ? 1) ,且 m// n . 2

(1)求锐角 B 的大小; (2)如果 b ? 2 ,求△ ABC 的面积 S ?ABC 的最大值。 【知识点】解三角形;平面向量共线(平行)的坐标表示;三角函数中的恒等变换应用. C8 C7 【答案解析】 (1) (2) ) , =(cos2B,2cos cos2B,
2
菁优

解析: (1)∵ =(2sinB,﹣ ∴2sinB(2cos
2

﹣1)且 ∥ ,

﹣1)=﹣

∴2sinBcosB=﹣ cos2B,即 sin2B=﹣ cos2B, ∴tan2B=﹣ ,又 B 为锐角,∴2B∈(0,π) , ∴2B= ,则 B= ;…(6 分)

(2)∵B=

,b=2,

∴由余弦定理 cosB=
2 2

得:a +c ﹣ac﹣4=0,

2

2

又 a +c ≥2ac,代入上式得:ac≤4(当且仅当 a=c=2 时等号成立) , ∴S△ABC= acsinB= ac≤ (当且仅当 a=c=2 时等号成立) ,

8

则 S△ABC 的最大值为

.…(12 分)

【思路点拨】 (1)由两向量的坐标及两向量平行,利用平面向量平行时满足的条件列出关系 式, 利用二倍角的正弦、 余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简, 求出 tan2B 的值, 由 B 为锐角,得到 2B 的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数; (Ⅱ) 由 B 的度数求出 sinB 及 cosB 的值, 进而由 b 及 cosB 的值, 利用余弦定理列出关系式, 再利用基本不等式化简求出 ac 的最大值, 再由 ac 的最大值及 sinB 的值, 利用三角形的面积 公式即可求出三角形 ABC 面积的最大值. 【题文】20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e ? x ? 1
x

(1)求 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若存在 x ? ? ?1, ln ? ,使 a ? e x ? 1 ? x ? 0 成立,求 a 的取值范围; 3

? ?

4? ?

【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程.B12 【答案解析】 (1)y=(e﹣1)x﹣1; (2) 解析: (1)∵函数 f(x)=e ﹣1﹣x.f′ (x)=e ﹣1,f(1)=e﹣2,f′ (1)=e﹣1. ∴f(x)在(1,f(1) )处的切线方程为 y﹣e+2=(e﹣1) (x﹣1) ,即 y=(e﹣1)x﹣1. (2)a<e ﹣1﹣x,即 a<f(x) .令 f′ (x)=e ﹣1=0,x=0. ∵x>0 时,f′ (x)>0,x<0 时,f′ (x)<0. ∴f(x)在(﹣∞,0)上减,在(0,+∞)上增.又 ∴f(x)的最大值在区间端点处取到, , , ∴ 故 a 的取值范围是 ,
x x x x x

时,

,∴f(x)在

上最大值为 ,

【思路点拨】 (1)已知知函数 f(x)=e ﹣1﹣x,对其求导,把 x=1 代入 f′ (x)求点在 x=1 x x 处的斜率,从而求解; (2)已知要使 a﹣e +1+x<0 成立,则 a<e ﹣1﹣x,即 a<f(x) ,对 f(x)求导,令 f′ (x)=0,求出 f(x)的单调区间,只要求出 f(x)的最大值即可。 【题文】21.(本小题满分 12 分)△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且有

sin 2C ? 3 cos( A ? B) ? 0.
(1) a ? 4, c ? 13 ,求 b 的值; (2)若 A ?

?
3

, cos B ? cos C , 求 AB? BC ? 2 BC ? CA? 3 CA? AB 的值。

?

?

?

?

?

?

【知识点】余弦定理;平面向量数量积的运算.C8 F3

9

【答案解析】 (1)b=1 或 b=3; (2)0 解析: (1)解:由 A+B+C=π 得,A+B=π﹣C,代入 sin2C+ 2sinCcosC﹣ 由 a=4,c=
2

cos(A+B)=0 得,

cosC=0,∴cosC=0 或 sinC= 得,c<a,∴sinC=
2 2

, ,

,且 C=

由余弦定理 c =a +b ﹣2ab?cosc, 2 得 b ﹣4b+3=0,解得 b=1 或 b=3, (2)由 cosB>cosC,得 C>B, ∵A= ,∴由(1)得,cosC=0,则 C= ,得 a= = ﹣3bc?cos + =0. ,B= , ,

在 RT△ABC 中,由 tanB= = ∴ =ac?cos =

【思路点拨】 (1)由内角和定理得 A+B=π﹣C,代入所给的式子由诱导公式和倍角的正弦公 式化简,由边的关系进行取舍求出角 C,再由余弦定理求出 b,分情况代入面积公式求值即 可; (2)根据条件判断 C 和 B 大小关系,由(1)求出 C,再由条件和内角和定理求出 B, 由角的关系推出边的关系,由数量积运算公式代入 值. 【题文】22.已知函数 f(x)=lnx﹣ ax ﹣2x(a<0) (1)若函数 f(x)存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (2)若 a=﹣ 且关于 x 的方程 f(x)=﹣ x+b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实 数 b 的取值范围. 【知识点】函数的单调性与导数的关系;根的存在性及根的个数判断.B12 B9 【答案解析】 (1)﹣1<a<0; (2)ln2﹣2<b≤﹣
2

,进行求

解析: (1)对函数求导数,得 f'(x)=
2

(x>0)

依题意,得 f'(x)<0 在(0,+∞)上有解.即 ax +2x﹣1>0 在 x>0 时有解. 2 ∴△=4+4a>0 且方程 ax +2x﹣1=0 至少有一个正根. 再结合 a<0,得﹣1<a<0 (2)a=﹣ 时,f(x)=﹣ x+b 即 x ﹣ x+lnx﹣b=0 设 g(x)= x ﹣ x+lnx﹣b,则 g'(x)=
2 2

10

∴当 x∈(0,1)时,g'(x)>0;当 x∈(1,2)时,g'(x)<0;当 x∈(2,4)时,g'(x) >0. 得函数 g(x)在(0,1)和(2,4)上是增函数.在(1,2)上是减函数 ∴g(x)的极小值为 g(2)=ln2﹣b﹣2;g(x)的极大值为 g(1)=﹣b﹣ ,且 g(4)= ﹣b﹣2+2ln2; ∵方程 g(x)=0 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.



,解之得:ln2﹣2<b≤﹣
2

【思路点拨】 (1)利用导数进行理解,即 f'(x)<0 在(0,+∞)上有解.可得 ax +2x﹣1 >0 在正数范围内至少有一个解,结合根的判别式列式,不难得到 a 的取值范围. (2)关于 x 的方程 f(x)=﹣ x+b 可化为: x ﹣ x+lnx﹣b=0,设方程的左边为 g(x) ,利 用导数讨论 g(x)的单调性,得到它在[1,4]上先减再增,并且得到 g(2)是极小值, g(1)和 g(4)是极大值,由此建立不等式组并解之,可得实数 b 的取值范围.
2

11


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