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图形计算器——高中数学有效教学的利器


收稿日期:2012-06-18 作者简介:邓军民(1977-) ,男,湖南邵阳人,中学高级教师,广州市十佳青年教师,主要 从事数学教育与中学教学研究。

图形计算器——高中数学有效教学的利器
邓军民(广东省广州市第二中学) 摘要:图形计算器简单易学、功能强大。利用图形计算器进行辅助教学,能有效地渗 透数形结合的数学思想, 能有效地呈现线性规划问题的求解过程, 能有效地解决数理统计的 线性回归分析问题,能有效地落实“算法初步”的教学过程,能有效地对含参问题进行分类 讨论; 利用图形计算器让学生在真实、 具体的操作情境中丰富感知, 在身临其境中得到启发, 激活思维,体验学习的成功,提高学习数学的兴趣,从而也提高了高中数学课堂教学的有效 性。 关键词:图形计算器;有效教学;数形结合;分类讨论 “数学课堂教学的有效性” 之所以成为当前数学教育中一个新的热点问题, 主要是针对 近年来在教学方法改革中出现的形式主义倾向以及“数学课堂效率不高”而提出的.有效教 学的“有效”,主要是指教师在一种先进教学理念指导下经过一段时间的教学之后,使学生获 得具体的进步或发展;有效教学的“教学”,是指教师引起、维持和促进学生学习的所有行为 和策略。笔者认为,图形计算器是最能有效教学的利器,下面以 Casio fx-CG 20 图形计算器 的具体操作实例谈谈图形计算器对高中数学有效教学的促进作用。 一、有效地渗透数形结合的数学思想 数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值 域、最值问题中,在求解复数和三角函数的问题中,运用数形结合的思想,不仅直观明了, 容易发现解题的途径,而且能够避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择 题、填空题的过程中更能凸显其优越性,所以要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图、 见数想图,以开阔自己的思维视野,提高自己的解题能力。
2 例 1 已知函数 f ( x) ? log2[2x ? (m ? 3) x ? 2m] ,若 f ( x ) 的值域为 R ,求实数 m 的

取值范围. 探究:S1:按 p6 进入动态函数窗口,按 iwr, 输入 y1 ? log2 [2x ? (m ? 3) x ? 2m] 和 y2 ? 2x ? (m ? 3) x ? 2m 的解析式;
2 2

S2:按 rw,把“动态设定”设置为 [?12,12] ,步长为 1 ,再按 eq,把“动态 速度”设置好,再按 l 回到“动态变量”窗口,再按 l 进入执行状态; S3:不断地按 l,可见 m 的变化对 y1 值域的影响以及对 y2 与 x 轴交点个数的影响。 显示结果如图 1。

(1)

(2) 图1

(3)

由图 1 可以很直观地看到,当 y1 的值域为 R 时, y2 的图象(抛物线)与 x 轴刚好有交 点,所以有 ? ? (m ? 3)2 ? 4 ? 2 ? 2m ? 0 ,解得 m ? 1 或 m ? 9 ,因此实数 m 的取值范围为

(??,1] ? [9, ??] .
【评注】 此题要深刻理解对数函数的定义, 审题思路要清晰、 严谨. 若 f ( x ) 的值域为 R , 说明其真数 y2 要取遍 (0, ??) 的任何数,所以 (0, ??) 一定要是 y2 的值域的子集,所以只需

y2 的图象与 x 轴有交点即可. 同时由此题我们还可以得到如下结论: 若 f ( x ) 的定义域为 R ,
则 ? ? 0 ,解得 m ? (1,9) .这是一道易错题,由以上求解过程可以看出,数形结合的思想 是解决此题的关键。 二、有效地呈现线性规划问题的求解过程 线性规划是运筹学的重要分支,可以说它是一门实用性很强的应用数学学科。随着计 算机技术的发展和普及, 线性规划的应用越来越广泛。 它已成为人们为合理利用有限资源制 订最佳决策的有力工具。 而高中数学研究的是只有两个变量的简单的线性规划问题, 一般采 用图解法求解这种方法的特点是直观且易于理解。 例2 (2011 年广东高考数学理科卷第 5 题)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由

?0 ? x ? 2, ? 不等式组 ? y ? 2, 给定,若 M ? x, y ? 为 D 上的动点,点 A 的坐标为 ? ?x ? 2 y ???? ? ??? ? ) 。 z ? OM ? OA 的最大值为(
(A)3 (B)4 (C) 3 2

?

2,1 ,则

?

(D) 4 2

探究: S1:按 5,开启图形函数窗口; S2:按 LpNNqd,完成“相交”设置; S3:输入题中给定的不等式组,按 u 作图; S4:按 iqqq1l,把图片保存为图片 1; S5:按 Lp,把背景设为图片 1,再退出设置; S6:按 p6 进入动态函数窗口,输入 y ? ? 2x ? z ; S7:按 rw,把“动态设定”设置好,再按 eq, 把“动态速度”设置好,再按 l 回到“动态变量”窗口, 再按 l 进入执行状态; S8:不断按 l,可见 z 的最小值是 0 ,最大值是 4 。显示结果如图 2。所以此题答案 为 B.

(1)

(2)

(3) 图2

(4)

【评注】了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组,会从 实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题, 并能加以解决. 这是高考对线性规划的要 求. 这种问题同时也体现了数形结合思想的重要性. 近几年广东高考在这个知识点考查的力 度比较大,但是题目难度都不大。 三、有效地解决数理统计的线性回归分析问题 线性回归是利用数理统计中的回归分析,来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定 量关系的一种统计分析方法之一, 运用十分广泛。 分析按照自变量和因变量之间的关系类型, 如果在回归分析中, 只包括一个自变量和一个因变量, 且二者的关系可用一条直线近似表示, 这种回归分析称为一元线性回归分析。 例 3 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与玩篮球时间之间的关系,下表记录了小李 某月 1~5 日每天打时间 x(单位:时)与当于投篮命中率 y 之间的关系: 1 2 3 4 5 时间 x 命中率 y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这 5 天的平均投篮命中率为 , 用线性回归分析的方法, 预测小李该月 6 日玩 6 小时篮球的投篮命中率为 . 探究: S1:按 p2,开启统计窗口,录入数据; S2:按 qu 把图的类型设置为散点图 Scatter,确认横纵坐标,再按 l; S3:按 q 绘出散点图,按 qww 显示回归结果; S4:按 u,绘出拟合函数的图象; S5:按 Lyq,输入 x ? 6 ,再按 l,则输出 y ? 0.53 。显示结果如图 3。所以 用线性回归分析的方法,预测小李该月 6 日玩 6 小时篮球的投篮命中率为 0.53 .

(1)

(2) 图3

(3)

【评注】 会作两个有关联变量的数据的散点图, 会利用散点图认识变量间的相关关系. 了 解最小二乘法的思想, 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 这个知识点 从 2007 年开始,一直是广东高考数学的重点和热点. 四、有效地落实“算法初步”的教学过程 算法是高中数学课程中的新增内容,其思想是非常重要的,但并不神秘。例如,运用 消元法解二元一次方程组、求最大公因数等的过程就体现着算法。在这一章节中,学生将学 习算法的初步知识,并通过对具体算法案例的分析,体验算法在解决问题中的重要作用,培 养算法基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达的能力。 例4 编程:写出用二分法求方程 x 3 ? x ? 1 ? 0 在区间 ?1, ? 内的一个近似解(精确 2

? 3? ? ?

到 0.001 ) . 探究:按如下步骤操作: S1:按 age 新建一个程序,命名为 lingdian ,再按 l,进入程序编辑状态; S2:输入下框(图 4)中的程序: ?→A ?→B ?→C While |A-B|≥C (A+B)/2→D (A3-A-1)→X (D3-D-1)→Y If Y=0 Then D◢ IfEnd If XY<0 Then D→B Else D→A IfEnd WhileEnd D◢

图4 S3:按 dq,显示结果如图 5:

图5 【评注】算法是实践性很强的内容,只有通过学生自己的亲身实践,让学生亲自去解 决几个算法设计的问题, 才能使学生体会算法的基本思想, 学会基本的逻辑结构和对应的算 法语句.因此,在“算法初步”的教学过程当中,提倡通过实例让学生体会和理解算法的涵 义,通过模仿、操作、探索,经历“写出算法步骤、画出程序框图、编制程序、上机验证” 的全过程,并由此落实算法教学内容. 五、有效地对含参问题进行分类讨论 分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略, 它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.凡涉及要分类讨论的问题,一般都 具有较强的逻辑性、综合性、条理性、探索性,对解题能力的要求极高.
2 2 2 例 5 (2006 年湖北高考数学理科卷第 10 题) 关于 x 的方程 ( x ? 1) ? x ? 1 ? k ? 0 ,

给出下列四个命题: ①存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; ②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根; ④存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根. 其中假命题的个数是( ) 。 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 探究:
2 S1 按 p5 进入图形窗口,画出 t ? x ? 1 的函数图象,如图 6;

图6
2 S2:按 y 对图形进行分析可知:对于方程 t ? x ? 1 ,

当 t ? 1 时,方程有 2 个实根; 当 t ? 1 时,方程有 3 个实根; 当 0 ? t ? 1 时,方程有 4 个实根;

当 t ? 0 时,方程有 2 个实根; 当 t ? 0 时,方程无实根; 而对于函数 y ? x2 ? x ? k 来说,注意到其函数图象的对称轴为 x ?

1 ,所以有: 2

2 2 2 当判别式 ? ? 0 时,无实根,这时对应的方程 ( x ? 1) ? x ? 1 ? k ? 0 无实根;

t1 ? t2 ? 当判别式 ? ? 0 时, 有两个实根:
就有 4 个实根;

1 2 2 2 , 这时对应的方程 ( x ? 1) ? x ? 1 ? k ? 0 2

当 判 别 式 ? ? 0 时 , 若 两 实 根 满 足 0 ? t1 ? t2 ? 1 , 这 时 对 应 的 方 程

( x 2 ? 1) 2 ? x 2 ? 1 ? k ? 0 就有 8 个实根;
当 判 别 式 ? ? 0 时 , 若 两 实 根 满 足 0 ? t1 ? t2 ? 1 , 这 时 对 应 的 方 程
2 ( x2 ? 1 ) ? x 2 ? 1 ?k

?0 就 有 5 个实根;

当 判 别 式 ? ? 0 时 , 若 两 实 根 满 足 t1 ? 0 ? 1 ? t2 , 这 时 对 应 的 方 程

( x 2 ? 1) 2 ? x 2 ? 1 ? k ? 0 就有 2 个实根;
综上所述,答案为 A。 S3:下面以实际图形来论证上述推理的正确性。按 p6 进入动态函数窗口,输入

f ( x) ? ( x 2 ? 1) 2 ? x 2 ? 1 ? k 解析式;按 rw,把“动态设定”设置为 [?5,5] ,步长为1 ,
再按 eq,把“动态速度”设置好,再按 l 回到“动态变量”窗口,再按 l 进入执 行状态;不断地按 l,可见随着 k 的变化,函数 f ( x ) 图象与 x 轴的交点个数也随之变化, 显示结果如图 6。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) 图6 【评注】此题是研究一个含参数的复合函数的图象与 x 轴交点个数的问题,前两步的 逻辑推理是建立在巧妙换元的基础之上的, 然后在图形计算器的帮助下, 对判别式也就是对 参数的取值范围进行分类讨论, 使解题思路显得非常的清晰合理, 最后再以实际图形进行验 证,确保了问题解决的正确性. 图形计算器作为一个立足于数学、立足于教学、立足于学生的教学产品,为数学的教、 学、用量身定制,形象直观地实现了数学多元关联的有效呈现,即对同一数学对象能够给出 几种不同的表示,对问题涉及到的相关知识进行有机整合,集“数、形、表”于一体,代数 表示法、 数值表示法、 统计表示法、 图形和几何、 静态与动态的表达形式得到全方位的展示, 为数学理解、数学猜想、数学实验提供了丰富的背景。同时,以“键盘”操作为手段的图形 计算器可以让学生在“玩”中学,在“玩”中思,在“玩”中做,让学生在真实、具体的操 作情境中丰富感知,在身临其境中得到启发,激活思维,体验学习的成功,提高学习数学的 兴趣,图形计算器是名副其实的高中数学有效教学的利器。 参考文献: [1] 肖凌戆 . 高中数学“优效教学”的研究与思考 [J] . 中国数学教育(高中版) 2009(3):12-14。 [2]邓军民.浅谈 TI 图形计算器对高中数学有效教学的促进作用[J] .中学数学研究, 2012(3):10-12。


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