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解析几何 高考题型专题冲刺精讲


解析几何 高考题型专题冲刺精讲(数学) (二)
———— 1. 如图,已知椭圆
x a
2 2

圆锥曲线综合应用

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0)

的长轴为 A B ,过点 B 的直线 l 与 x 轴垂直.直线

( 2 ? k ) x ? (1 ? 2 k ) y ? (1 ? 2 k ) ? 0 ( k ? R ) 所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的

离心率 e

?

3 2

.(1)求椭圆的标准方程;
? x

(2)设 P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点, P H
HP ? PQ

轴, H 为垂足,延长 H P 到点 Q 使得
y

,连结 A Q 延长交直线 l 于点 M , N 为 M B 的中点.试判断直线 Q N 与以 A B 为直
M
N

径的圆 O 的位置关系.
Q
P

A

O

H

B

x

l

2.已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 (Ⅰ)求椭圆的方程;

3 2

的椭圆过点( 2 ,

2 2

).

(Ⅱ)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P,Q 两点,满足直线 OP,PQ,OQ 的斜率依 次成等比数列,求△OPQ 面积的取值范围.[来源:学科网 ZXXK]

1

3.已知圆 C 的方程为 x ? y ? 4 ,过点 M ( 2, 4 ) 作圆 C 的两条切线,切点分别为 A、B,直
2 2

线 AB 恰好经过椭圆 T :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的右顶点和上顶点.

(Ⅰ)求椭圆 T 的方程; (Ⅱ)已知直线 l 与椭圆 T 相交于 P、Q 两不同点,直线 l 方程为 y ? kx ? O 为坐标原点,求△ O P Q 面积的最大值.
3 (k ? 0) ,

4. 已知椭圆 M 的中心为坐标原点 ,且焦点在 x 轴上,若 M 的一个顶点恰好是抛物线
y ? 8 x 的焦点,M 的离心率 e ?
2

1 2

,过 M 的右焦点 F 作不与坐标轴垂直的直线 l ,交

M 于 A,B 两点。 (1)求椭圆 M 的标准方程; (2)设点 N(t,0)是一个动点,且 ( N A ? N B ) ? A B ,求实数 t 的取值范围。
??? ? ??? ? ??? ?

2

5. 抛物线 C : x 2 ? 2 py ( p ? 0 ) 上一点 P ( m , 4 ) 到其焦点的距离为 5. (I)求 p 与 m 的值; (II)若直线 l : y ? kx ? 1 与抛物线 C 相交于 A 、 B 两点, l1 、 l 2 分别是该抛物线在 A 、
B

两点处的切线, M 、 N 分别是 l1 、l 2 与该抛物线的准线交点,求证:| AM ? BN |? 4 2 .

6. 已知抛物线的顶点是坐标原点 O ,焦点 F 在 x 轴正半轴上,过 F 的直线 l 与抛物线交于
??? ??? ? ? A 、 B 两点,且满足 O A ? O B ? ? 3 .

⑴求抛物线的方程; ⑵在 x 轴负半轴上一点 M ( m , 0 ) ,使得 ? A M B 是锐角,求 m 的取值范围; ⑶若 P 在抛物线准线上运动,其纵坐标的取值范围是 [ ? 2, 2 ] ,且 P A ? P B ? 1 6 ,点 Q 是以 A B 为直径的圆与准线的一个公共点,求点 Q 的纵坐标的取值范围.
??? ??? ? ?

3

7. 已知定点 C(-1,0)及椭圆 x2+3y2=5,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两点. (1)若线段 AB 中点的横坐标是- ,求直线 AB 的方程;
2 1

(2)在 x 轴上是否存在点 M,使 MA 在,请说明理由.

? MB

为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存

8.已知 M 是以点 C 为圆心的圆 ( x ? 1) ? y ? 8 上的动点,定点 D (1, 0 ) .点 P 在 D M 上,
2 2

点 N 在 C M 上,且满足 D M ? 2 D P , N P ? D M ? 0 .动点 N 的轨迹为曲线 E 。 (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)线段 A B 是曲线 E 的长为 2 的动弦, O 为坐标原点,求 ? A O B 面积 S 的取值范 围。

?????

???? ??? ????? ?

4

解析几何 高考题型专题冲刺精讲(数学) (二)
———— 1. 如图,已知椭圆
x a
2 2

圆锥曲线综合应用

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0)

的长轴为 A B ,过点 B 的直线 l 与 x 轴垂直.直线

( 2 ? k ) x ? (1 ? 2 k ) y ? (1 ? 2 k ) ? 0 ( k ? R ) 所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的

离心率 e

?

3 2

.

(1)求椭圆的标准方程; (2)设 P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点, P H
HP ? PQ
? x

轴, H 为垂足,延长 H P 到点 Q 使得
y

,连结 A Q 延长交直线 l 于点 M , N 为 M B 的中点.试判断直线 Q N 与以 A B 为直
M
N

径的圆 O 的位置关系. 1.解(1)将 ( 2 ? k ) x ? (1 ? 2 k ) y ? (1 ? 2 k ) ? 0 整理得 ( ? x ? 2 y ? 2 ) k ? 2 x ? y ? 1 ? 0
? ? x ? 2 y ? 2? 0 解方程组 ? 得直线所经过的定点(0,1) , ? 2 x ? y ? 1? 0
A
O

Q
P

H

B

x

l

所以 b ? 1 . 由离心率 e (2)设 P ? x 0 , y 0 ? ,则 ∵ HP
? PQ
x0 4
2

?

3 2

得 a ? 2 .所以椭圆的标准方程为

x

2

? y ?1
2

4
2

? y0 ? 1 .

,∴ Q ? x 0 , 2 y 0 ? .∴ O Q

?

x0 ? ? 2 y0
2

2

??2

∴ Q 点在以 O 为圆心,2 为半径的的圆上.即 Q 点在以 A B 为直径的圆 O 上. 又 A ? ? 2 , 0 ? ,∴直线 A Q 的方程为 y
? 8 y0 ? ? 2, ? x0 ? 2 ? ? ????
? 2 y0 x0 ? 2

?x ? 2? .
? 4 y0 ? ? 2, ? x0 ? 2 ? ?

令x

? 2

,得 M

.又 B ? 2, 0 ? , N 为 M B 的中点,∴ N

∴OQ

????

? ? x0 , 2 y0 ?

, NQ

? 2 x0 y0 ? ? ? x0 ? 2, ? x0 ? 2 ? ?



∴OQ

2 ???? ???? x0 ? 4 ? x0 2 x0 y0 4 x0 y0 ? N Q ? x0 ? x0 ? 2 ? ? 2 y0 ? ? x0 ? x0 ? 2 ? ? ? x0 ? x0 ? 2 ? ? x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2

2

?

???? ???? ? x 0 ? x 0 ? 2 ? ? x 0 ? 2 ? x 0 ? ? 0 .∴ O Q ? N Q

.∴直线 Q N 与圆 O 相切.
3 2 2 2

2.已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为

的椭圆过点( 2 ,

).

5

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P,Q 两点,满足直线 OP,PQ,OQ 的斜率依 次成等比数列,求△OPQ 面积的取值范围.[来源:学科网 ZXXK] 2.解: (Ⅰ)由题意可设椭圆方程为
? ? ? 则? ? ? ?
x a
2 2

?

y b

2 2

?1

(a>b> 0),

c a 2 a
2

? ?

3 2 1 2b

, ? 1,

故 ?
2

? a ? 2, ?b ? 1

,所以,椭圆方程为

x

2

? y

2

?1.

4

y P

(Ⅱ)由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0, 故可设直线 l 的方程为 y=kx+m (m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2), 由?
? y ? kx ? m , ? x ? 4 y ? 4 ? 0,
2 2

Q 消去 y 得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,

O

x

则△=64 k2b2-16(1+4k2b2)(b2-1)=16(4k2-m2+1)>0, 且 x1 ? x 2 ?
?8km 1 ? 4k
2

, x1 x 2 ?

4(m

2

? 1)
2

1 ? 4k



故 y1 y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2. 因为直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列, 所以,
y1 x1

?

y2 x2
2



k x1 x 2 ? k m ( x1 ? x 2 ) ? m x1 x 2

2

2

=k2,

即,

?8k m 1 ? 4k

2

2

+m2=0,又 m≠0,所以 k2=

1 4

,即 k= ?

1 2



由于直线 OP,OQ 的斜率存在,且△>0,得 0<m2<2 且 m2≠1. 设 d 为点 O 到直线 l 的距离,则 S△OPQ=
m (2 ? m )
2 2

1 2

d | PQ |=

1 2

| x1-x2 | | m |=

,所以 S△OPQ 的取值范围为 (0,1).
2 2

3.已知圆 C 的方程为 x ? y ? 4 ,过点 M ( 2, 4 ) 作圆 C 的两条切线,切点分别为 A、B,直
x a
2 2

线 AB 恰好经过椭圆 T :

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的右顶点和上顶点.

(Ⅰ)求椭圆 T 的方程;

6

(Ⅱ)已知直线 l 与椭圆 T 相交于 P、Q 两不同点,直线 l 方程为 y ? kx ? O 为坐标原点,求△ O P Q 面积的最大值.

3 (k ? 0) ,

3.. 解析】 Ⅰ) 【 ( 由题意: 一条切线方程为:x ? 2 , 设另一条切线方程为:y ? 4 ? k ( x ? 2 ) ..2 分[来源:Z§xx§k.Com] 则:
| 4 ? 2k | k ?1
2

? 2 ,解得: k ?

3 4

,此时切线方程为: y ?
6 5 8 5

3 4

x?

5 2

切线方程与圆方程联立得: x ? ?

,y ?

,则直线 A B 的方程为 x ? 2 y ? 2

令 x ? 0 ,解得 y ? 1 ,∴ b ? 1 ;令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,∴ a ? 2
x
2

故所求椭圆方程为

? y

2

?1

4

? y ? kx ? 3 , ? (Ⅱ)联立 ? x 2 整理得 ?1 ? 4 k 2 ? y ? 1. ? ? 4

2

?x

2

? 8 3 kx ? 8 ? 0 ,

令 P ( x1 , y1 )
2

, Q ( x 2 , y 2 ) ,则 x 1 ? x 2 ?
2

? 8 3k 1 ? 4k
2

2

, x1 x 2 ?

8 1 ? 4k
2



? ? ( 8 3 k ) ? 32 (1 ? 4 k ) ? 0 ,即: 2 k
3 1? k
| P Q |? 1? k
2

?1 ? 0

原点到直线 l 的距离为 d ?


2

| x1 ? x 2 | ,

∴ S ?OPQ ?

1 2

PQ ? d ?

3 2

| x1 ? x 2 |?

3 2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 2 6 ?
2

2k ? 1
2

(1 ? 4 k )
2

2

=2 6 ?

2k ? 1
2

4 ( 2 k ? 1) ? 1 2 ( 2 k ? 1) ? 9
2 2 2

? 2 6?
2

1 4 ( 2 k ? 1) ? 1 2 ? 9 2k ? 1
2

?1

当且仅当 k ?

5 2

时取等号,则 ? O P Q 面积的最大值为 1.

4. 已知椭圆 M 的中心为坐标原点 ,且焦点在 x 轴上,若 M 的一个顶点恰好是抛物线
y ? 8 x 的焦点,M 的离心率 e ?
2

1 2

,过 M 的右焦点 F 作不与坐标轴垂直的直线 l ,交

7

M 于 A,B 两点。 (1)求椭圆 M 的标准方程; (2)设点 N(t,0)是一个动点,且 ( N A ? N B ) ? A B ,求实数 t 的取值范围。
x
2

??? ?

??? ?

??? ?

4.解。 (Ⅰ)椭圆 M 的标准方程:

?

y

2

?1

4

3

(Ⅱ)设 A ? x 1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,设 l : x ? my ? 1 ? m ? R , m ? 0 ?
? x ? my ? 1 ? 2 2 2 2 ? 3 m ? 4 y ? 6 my ? 9 ? 0 y ?x ? ?1 ? 4 3 ?

?

?

由韦达定理得 y 1 ? y 2 ? ?

6m 3m
2

? 4



( NA ? NB ) ? AB ? NA ? NB ?

? x1

? t ? ? y1
2

2

? ?x2 ? t ? ? y 2 ?
2 2

? x1

? x 2 ?? x 1 ? x 2 ? 2 t ? ? y 1 ? y 2
2

?

2

?? 0

将 x 1 ? my 1 ? 1 , x 2 ? my 2 ? 1 代入上式整理得:

? y1

? y2 ? m
2

??

2

? 1 ? y 1 ? y 2 ? ? m ? 2 ? 2 t ? ? 0 ,由 y 1 ? y 2 知
1 3m
2

?

?

?m

? 1 ? y 1 ? y 2 ? ? m ? 2 ? 2 t ? ? 0 ,将①代入得 t ?
? ? 1? ? 4?

?

? 4

所以实数 t ? ? 0 ,

5. 抛物线 C : x 2 ? 2 py ( p ? 0 ) 上一点 P ( m , 4 ) 到其焦点的距离为 5. (I)求 p 与 m 的值; (II)若直线 l : y ? kx ? 1 与抛物线 C 相交于 A 、 B 两点, l1 、 l 2 分别是该抛物线在 A 、
B

两点处的切线, M 、 N 分别是 l1 、l 2 与该抛物线的准线交点,求证:| AM ? BN |? 4 2 .
p 2 ?5

5.解: (I)根据抛物线定义, 4 ?
x ? 4y
2

,解得 p ? 2

,将 P ( m , 4 ) 代入 x 2 ? 4 y ,解得 m ? ? 4
2

(II) l : y ? kx ? 1 带入 x 2 ? 4 y 得 x 2 ? 4 kx ? 4 ? 0 ,
? ? 16 k ? 16 ? 0

, k 2 ? 1 , k ? ( ?? , ? 1) ? (1, ?? ) ,
1 4 1 2

设 A ( x `1 , y 1 ) , B ( x `2 , y 2 ) ,则 x `1 ? x 2 ? 4 k , x1 x 2 ? 4 由 x2 ? 4 y ? y ?
y? 1 4 x1 ?
2

x ? y? ?
2

x ,所以抛物线在 A
1 2 x1 x ? 1 4 x1
2

处的切线 l1 的方程为

1 2

x1 ( x ? x1 )

,即 y ?



8

令 y ? ? 1 ,得 x M ?
2

x1 ? 4
2


4 x1

2 x1

同理,得 x N ?

x2 ? 4 2 x2

. x 1 、 x 2 是方程①的两个实根,故 x1 x 2 ? 4 ,即 x 2 ?
2



从而有 x N

? 4 ? ? ? ?4 2 2 x2 ? 4 4 ? x1 ? x1 ? ? ? ? ? ? xM 8 2 x2 2 x1 x1

AM ? ( x m ? x1 , ? 1 ? y 1 )

, BN ? ( ? x m ? x 2 , ? 1 ? y 2 ) ,
2

方法 1:∵ x `1 ? x 2 ? 4 k , y `1 ? y 2 ? k ( x `1 ? x 2 ) ? 2 ? 4 k 2 ? 2 ∴ | AM ? BN |?
( x1 ? x 2 ) ? (2 ? y1 ? y 2 )
2

?

32 ( k

4

? k )
2


x2 4
2

∵ k 2 ? 1 ,∴ 32 ( k 4 ? k 2 ) ? 4 2 ,即 | AM ? BN | ? 方法 2:
| AM ? BN | ? ? ? ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2 x1 ? x 2
x1 4
2

(

x1 4

2

?

? 4) ? 4 ? 4
2

2



2

? (2 ? y1 ? y 2 )

2

2

2

? 2 x1 x 2 ? 4 ? 4( y1 ? y 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? 12 ? 4 ( x1 4
2

2



2

2

?

x2 4

2

)? (

x1 4

2

?

x2 4

2

)

2

?

(

?

x2 4

2

? 4) ? 4
2

∵ | x1 | ? | x 2 | , x1 x 2 ? 4 ,∴
x1 4
2

x1 4
2

2

?

x2 4

2

? 2

| x1 | | x 2 | 2 2

? 2

∴ | AM ? BN | ?

(

?

x2 4

2

? 4) ? 4 ? 4

2



6. 已知抛物线的顶点是坐标原点 O ,焦点 F 在 x 轴正半轴上,过 F 的直线 l 与抛物线交于
??? ??? ? ? A 、 B 两点,且满足 O A ? O B ? ? 3 .

⑴求抛物线的方程; ⑵在 x 轴负半轴上一点 M ( m , 0 ) ,使得 ? A M B 是锐角,求 m 的取值范围; ⑶若 P 在抛物线准线上运动,其纵坐标的取值范围是 [ ? 2, 2 ] ,且 P A ? P B ? 1 6 ,点 Q 是以 A B 为直径的圆与准线的一个公共点,求点 Q 的纵坐标的取值范围. 6.解:⑴设抛物线方程 y ? 2 p x ( p ? 0 ) ,直线 l 方程 x ? ty ?
2

??? ??? ? ?

p 2



联立消去 x 得 y ? 2 p ( ty ?
2

p 2

) ,即 y ? 2 p ty ? p ? 0 .
2 2
2

设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则 y 1 ? y 2 ? 2 p t , y 1 y 2 ? ? p ,进而
x1 x 2 ? ( ty 1 ? ? t ? (? p ) ?
2 2

p 2

)( ty 2 ? pt 2

p 2

) ? t y1 y 2 ?
2

pt 2

( y1 ? y 2 ) ?

p

2

4

? 2 pt ?

p

2

?

p

2

4

4

9

所以 O A ? O B ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 所求抛物线方程为 y ? 4 x .
2
2

??? ??? ? ?

p

2

? p ? ?
2

3 4

p ? ? 3 ,即 p ? 2 ,
2

4

???? ???? ⑵因为 ? A M B 是锐角,所以 M A ? M B ? 0 恒成立,即 ( x1 ? m )( x 2 ? m ) ? y 1 y 2 ? 0 ,

(4 分)

x1 x 2 ? m ( x1 ? x 2 ) ? m ? y 1 y 2 ? 0 .

由⑴得 x1 x 2 ? 1 , y1 y 2 ? ? 4 , y 1 ? y 2 ? 4 t , x1 ? x 2 ? t ( y 1 ? y 2 ) ? p ? 4 t ? 2 .
2

所以 1 ? m ( 4 t ? 2 ) ? m ? 4 ? 0 ,而 m ? 0 ,所以 t ?
2 2
2

m ? 2m ? 3
2

对于 ? t ? R 恒

4m

成立,所以

m ? 2m ? 3
2

4m

?m ? 2m ? 3 ? 0 ? 0 .又 m ? 0 ,所以 ? , ?m ? 0
2

解得 m 的取值范围 m ? ? 1 . ⑶由条件可设 P 的坐标为 ( ? 1, a ) , ? 2 ≤ a ≤ 2 ,则
??? ??? ? ? P A ? P B ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? ( y 1 ? a )( y 2 ? a )

(8 分)

? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? y 1 y 2 ? a ( y 1 ? y 2 ) ? a ? 1 ? 4t ? 2 ? 1 ? 4 ? 4 at ? a
2 2 2 2 2

2

? 4t ? 4 at ? a ? (2t ? a ) ? 16,

所以 2 t ? 4 ? a 或 2 t ? 4 ? a ,而 ? 2 ≤ a ≤ 2 ,所以 2 ≤ 2 t ≤ 6 或 ? 6 ≤ 2 t ≤ ? 2 . 根据抛物线定义可知,以 A B 为直径的圆与抛物线的准线相切,所以点 Q 的纵坐标
y1 ? y 2 2 ? 4t 2 ? 2 t ,从而点 Q 的纵坐标的取值范围是 [ ? 6 , ? 2 ] ? [ 2 , 6 ]



7. 已知定点 C(-1,0)及椭圆 x2+3y2=5,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两点. (1)若线段 AB 中点的横坐标是- ,求直线 AB 的方程;
2 1

(2)在 x 轴上是否存在点 M,使 MA ? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存 在,请说明理由. 7..解 (1)依题意,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y=k(x+1), 将 y=k(x+1)代入 x2+3y2=5, 消去 y 整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),
? ? ? 36 k 4 ? 4 ( 3 k 2 ? 1 )( 3 k ? 2 6k 则? . ? x1 ? x 2 ? ? 2 3k ? 1 ?
2

? 5) ? 0,

① ② 由线段 AB 中点的横坐标是- ,
2 1



x1 ? x 2 2

=-

3k 3k
2

2

?1

=- ,解得 k=±
2
3

1

3 3

,适合①.
3

所以直线 AB 的方程为 x-

y+1=0,或 x+

y+1=0.

(2)假设在 x 轴上存在点 M(m,0),使 MA ? MB 为常数. (ⅰ)当直线 AB 与 x 轴不垂直时,由(1)知 x1+x2=- ?
6k 3k
2 2

?1

,x1x2=

3k 3k

2 2

?5 ?1

. ③所以 MA

? MB

=(x1-m)(x2-m)+y1y2

10

=(x1-m)( x2-m)+k2(x1+1)(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2. 将③代入,整理得 MA =m2+2m- 3 1
6 m ? 14 3(3 k
2

? MB

=

( 6 m ? 1) k 3k
2

2

?5

?1

+m =

2

(2m ?

1 3

)( 3 k

2

? 1) ? 2 m ?
2

14 3

3k

?1

+m2



? 1)

注意到 MA
? MB
4

? MB

是与 k 无关的常数,从而有

6m+14=0,m=- ,此时 MA
3

7

= .
9

(ⅱ)当直线 AB 与 x 轴垂直时, 此时点 A,B 的坐标分别为 ? ? 1, ?
? ? 2 ? ? ? 3 ?

、 ? ? 1, ? ?
?

?

2 ? ? ? 3 ?



当 m=- 时,亦有 MA
3

7

? MB
? ?

= .
9
7 3 ? ,0 ? ?

4

综上,在 x 轴上存在定点 M ? ?

,使 MA
2 2

? MB

为常数.

8.已知 M 是以点 C 为圆心的圆 ( x ? 1) ? y ? 8 上的动点,定点 D (1, 0 ) .点 P 在 D M 上, 点 N 在 C M 上,且满足 D M ? 2 D P , N P ? D M ? 0 .动点 N 的轨迹为曲线 E 。 (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)线段 A B 是曲线 E 的长为 2 的动弦, O 为坐标原点,求 ? A O B 面积 S 的取值范 围。 8..解: (Ⅰ)? D M ? 2 D P , N P ? D M ? 0 . ∴ N P 为 D M 的垂直平分线,∴ | N D |? | N M | , 又?| C N | ? | N M |? 2 2 ,?| C N | ? | D N | ? 2 2 ? 2 . ∴动点 N 的轨迹是以点 C ( ? 1, 0 ), D (1, 0 ) 为焦点的长轴为 2 2 的椭圆.
x
2

?????

???? ??? ????? ?

?????

???? ??? ????? ?

∴轨迹 E 的方程为

? y

2

? 1.

2

(Ⅱ) 解法一∵线段 A B 的长等于椭圆短轴的长,要使三点 A、 O 、 B 能构成三角形, 则弦 AB 不能与 x 轴垂直,故可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b ,
? y ? kx ? b, ? 2 2 2 由? x2 ,消去 y ,并整理,得 (1 ? 2 k ) x ? 4 kb x ? 2 b ? 2 ? 0 . 2 ? y ? 1. ? ? 2
4 kb 1 ? 2k
2

设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ?

, x1 x 2 ?

2 ( b ? 1)
2

1 ? 2k

2



11

?| A B |? 2, ?

(1 ? k )( x 2 ? x1 )
2
2

2

? 2 . ? (1 ? k ) ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? ? 4 , ? ?
2 2

2 ?? 4 kb ? 8 ( b ? 1) ? ? (1 ? k ) ? ? ? ? ? 4, 2 ? 2 ? 1 ? 2k ? ?? 1 ? 2 k ? ? ? 2

?

1 1? k
2

? 2 (1 ? b )
2

, ?1? k ? 1
2



?

1 2

? b ? 1.
2

又点 O 到直线 A B 的距离 h ?

|b | 1? k
2


1 2 1 2

?S ?

1 2

| A B | ? h ? h ,? S

2

? h ? 2 b (1 ? b ) ? ? 2 ( b ?
2

2

2

2

) ?
2

? 0? S

2

?

1 2

,? 0 ? S ?

2 2



解法二:∵线段 A B 的长等于椭圆短轴的长,要使三点 A、 O 、 B 能构成三角形,则弦
AB 不能与 x 轴垂直,故可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b ,

? y ? kx ? b, ? 2 2 2 由? x2 ,消去 y ,并整理,得 (1 ? 2 k ) x ? 4 kb x ? 2 b ? 2 ? 0 . 2 ? y ? 1. ? ? 2
4 kb 1 ? 2k
2

设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ?
?| A B |? 2, ?

2

, x1 x 2 ?
2

2 ( b ? 1)
2

1 ? 2k

2

(1 ? k )( x 2 ? x1 )
2
2

2

? 2 . ? (1 ? k ) ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? ? 4 , ? ?

2 2 ?? 4 kb ? 8 ( b ? 1) ? 2k ? 1 2 ? (1 ? k ) ? ? ? ? ? 4, ? b ? , 2 ? 2 ? 2 1 ? 2k ? 2 (1 ? k ) ?? 1 ? 2 k ? ? ?
2

又点 O 到直线 A B 的距离 h ?

|b | 1? k
2

,? S ?

1 2

| A B | ?h ? h 。

?S

2

? h ?
2

b

2 2

1? k

?

2k ? 1
2

2 (1 ? k )
2

?

1 1? k
2

?

1 2 (1 ? k )
2

设t ?

1 1? k
2

,则 S ? ?
2

1 2

t ? t (0 ? t ? 1) ,? 0 ? S
2

2

?

1 2

,? 0 ? S ?

2 2



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