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2011高中物理竞赛教程(超详细)


2011-5-16

第五讲

机械振动和机械波

第五讲
5.1.1、简谐振动的动力学特点

机械振动和机械波
§5.1 简谐振动

? ? F 回 与它偏离平衡位置的位移 x 大小成正比,方向相反。即满足: 如果一个物体受到的回复力

F回 ? ? K x 的 关 系 , 那 么 这 个 物 体 的 运 动 就 定 义 为 简 谐 振 动 根 据 牛 顿 第 二 是 律 , 物 体 的 加 速 度
a? F回 K ?? m m ,因此作简谐振动的物体,其加速度也和它偏离平衡位置的位移大小
P

成正比,方何相反。 现有一劲度系数为 k 的轻质弹簧,上端固定在 P 点,下端固定一个质量为 m 的物 体, 物体平衡时的位置记作 O 点。 现把物体拉离 O 点后松手, 使其上下振动, 如图 5-1-1 所示。 当物体运动到离 O 点距离为 x 处时,有

x

F回 ? F ? mg ? k ( x0 ? x) ? mg
式中

x0 为物体处于平衡位置时,弹簧伸长的长度,且有 kx0 ? mg ,因此
F回 ? kx

图 5-1-1

说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移 x 成正比。因回复力指向平衡位置 O,而位移 x 总 是背离平衡位置, 所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反, 竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。 注意:物体离开平衡位置的位移,并不就是弹簧伸长的长度。 5.1.2、简谐振动的方程 由于简谐振动是变加速运动,讨论起来极不方便,为此。可引入一个连 续的匀速圆周运动,因为它在任一直径上的分运动为简谐振动, 以平衡位置 O A ? 为圆心,以振幅 A 为半径作圆,这圆就称为参考圆,如图 5-1-2,设有一质点 ?0 x O ? 作匀速圆周运动,它在开始时与 O 的连线跟 x 轴夹角 在参考圆上以角速度 为 ?0 , 那 么 在 时 刻 t , 参 考 圆 上 的 质 点 与 O 的 连 线 跟

x 的夹角就成为
图 5-1-2

? ? ?t ? ? 0 ,它在 x 轴上的投影点的坐标

x ? A cos(?t ? ? 0 )

(2)

这就是简谐振动方程,式中 ? 0 是 t=0 时的相位,称为初相: ?t ? ? 0 是 t 时刻的相位。

参考圆上的质点的线速度为 A? ,其方向与参考圆相切,这个线速度在 x 轴上的投影是

v ? ? A? cos(?t ? ?0 )
这也就是简谐振动的速度
2

(3)

参考圆上的质点的加速度为 A? ,其方向指向圆心,它在 x 轴上的投影是

a ? ? A? 2 cos(?t ? ?0 )
这也就是简谐振动的加速度 由公式(2)(4)可得 、

(4)

a ? ?? 2 x
由牛顿第二定律简谐振动的加速度为

a?

F k ?? x m m

因此有

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?2 ?

(5) 简谐振动的周期 T 也就是参考圆上质点的运动周期,所以

k m

T?

2? m ? 2? ? w k
F ? ? kx ;

5.1.3、简谐振动的判据 物体的受力或运动,满足下列三条件之一者,其运动即为简谐运动: ①物体运动中所受回复力应满足 ②物体的运动加速度满足
2

③物体的运动方程可以表示为 事实上,上述的三条并不是互相独立的。其中条件①是基本的,由它可以导出另外两个条件②和③。 §5.2 弹簧振子和单摆 简谐振动的教学中经常讨论的是弹簧振子和单摆,下面分别加以讨论。 5.2.1、弹簧振子 弹簧在弹性范围内胡克定律成立,弹簧的弹力为一个线性回复力,因此弹簧振 k 子的运动是简谐振动,振动周期

a ? ?? x ; x ? A cos(?t ? ?0 ) 。

T ? 2?

m k 。

m
k

(1)恒力对弹簧振子的作用 比较一个在光滑水平面上振动和另一个竖直悬挂振动的弹簧振子,如果 m 和 k 都相同(如图 5-2-1) ,则它们的振动周期 T 是相同的,也就是说,一个振动方向上 的恒力不会改变振动的周期。

m
图 5-2-1

如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子,弹簧原长 l0 ,振子的质量为 m=1.0kg,电梯静止时弹簧伸长

?l =0.10m,从 t=0 时,开始电梯以 g/2 的加速度加速下降 t ? ?s ,然后又以 g/2 加速减速下降直至停止试画 出弹簧的伸长 ?l 随时间 t 变化的图线。
由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动,而电梯是一个有加速度的非惯性系,因此要考虑弹簧振子所受 到的惯性力 f。在匀速运动中,惯性力是一个恒力,不会改变振子的振动周期,振动周期

T ? 2? / ? ? 2? / k m
因为 k ? m g / ?l ,所以

T ? 2? ?l g ? 0.2? (s)
因此在电梯向下加速或减速运动的过程中,振动的次数都为

n ? t / T ? ? / 0.2? ? 5(次)
当电梯向下加速运动时,振子受到向上的惯性力 mg/2,在此力和重力 mg 的共同作用下,振子的平衡 位置在

?l1 ?

1 mg / k ? ?l / 2 2

的地方,同样,当电梯向下减速运动时,振子的平衡位置在

?l2 ?

3 mg / k ? 3?l / 2 2

?l 2?l ?l O
?

的地方。在电梯向下加速运动期间,振子正好完成 5 次 全振动,因此两个阶段内振子的振幅都是 ?l / 2 。弹簧的伸 长随时间变化的规律如图 5-2-2 所示,读者可以思考一下,

T

2?

t

图 5-2-2

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如果电梯第二阶段的匀减速运动不是从 5T 时刻而是从 4.5T 时刻开始的,那么 ?l ~ t 图线将是怎样的? (2)弹簧的组合 设有几个劲度系数分别为 k1 、 k2 ?? kn 的轻弹簧串联起来,组成一个新弹簧组, 当这个新弹簧组在 F 力作用下伸长时,各弹簧的伸长为 x1 ,那么总伸长
n

x ? ? xi
i ?1

各弹簧受的拉力也是 F,所以有

xi ? F / ki
i ?1 故 根据劲度系数的定义,弹簧组的劲度系数

x ? F?

n

1 ki

k ?F/x

m
图 5-2-3

i ?1 即得 如果上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹簧组,那么各弹簧的伸长是相同的。要使各弹簧都伸长 x ,需要的外力

1/ k ? ?

n

1 ki

F ? ? ki x ? x ? ki
i ?1 i ?1

n

n

根据劲度系数的定义,弹簧组的劲度系数

k?

n F ? ? ki x i ?1

导出了弹簧串、 并联的等效劲度系数后, 在解题中要灵活地应用, 如图 5-2-3 所示的一个振动装置, 两根弹簧到底是并联还是串联?这里我们必须抓住弹簧串并联的本质特征:串联的本质特征是每根弹簧受 力相同;并联的本质特征是每根弹簧形变相同。由此可见图 5-2-3 中两根弹簧是串联。 当 m 向下偏离平衡位置 ?x 时,弹簧组伸长了 2 ?x ,增加的弹力为

F ? 2?xk ? 2?x

k1k2 k1 ? k2
k1k2 4k k ? 1 2 ?x k1 ? k2 k1 ? k2

m 受到的合外力(弹簧和动滑轮质量都忽略)

?F ? 2 ? 2?x
所以 m 的振动周期

T ? 2?

m( k1 ? k 2 ) 4k1k 2

?
=

m( k1 ? k 2 ) k1k 2

再看如图 5-2-4 所示的装置,当弹簧 1 由平衡状态伸长 ?l1 时,弹簧 2 由 平衡位置伸长了 ?l2 ,那么,由杆的平衡条件一定有(忽略杆的质量)
2

k1 ? ?l1a ? k2 ?l2b
?l2 ? k1 a ? ? ?l1 k2 b
a
1

k2

b

由于弹簧 2 的伸长,使弹簧 1 悬点下降

k1

m
图 5-2-4

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?x? ? ?l2

a k1 a 2 ? ? ? ?l1 b k2 b 2

因此物体 m 总的由平衡位置下降了

? k a2 ? ?x1 ? ?l1 ? ?x? ? ? 1 ? 2 ? 1??l2 ?k b ? ? 2 ?
此时 m 所受的合外力

?F ? k1?l1 ?

k1k2b 2 ?x1 k1a 2 ? k2b 2
T ? 2? m(k1a 2 ? k 2b 2 ) k1k 2b 2

所以系统的振动周期

(3)没有固定悬点的弹簧振子 质量分别为 m A 和 m B 的两木块 A 和 B,用一根劲度系数为 k 的轻 弹簧联接起来,放在光滑的水平桌面上(图 5-2-5) 。现在让两木块将弹簧压缩后由静止释放,求系统振动 的周期。 想象两端各用一个大小为 F、 方向相反的力将弹簧压缩, 假设某时刻 A、 各偏离了原来的平衡位置 x A B 和 x B ,因为系统受的合力始终是零,所以应该有

mA xA ? mB xB
A、B 两物体受的力的大小



FA ? FB ? ( xA ? xB )k
由①、②两式可解得

A


B

m ? mB FA ? k A xA mB m ? mB FB ? k A xB mB
由此可见 A、B 两物体都做简谐运动,周期都是

图 5-2-5

T ? 2?

m A mB k ( m A ? mB )

此问题也可用另一种观点来解释:因为两物体质心处的弹簧是不动的,所以可以将弹簧看成两段。如

mB m A ? mB mA l0 k l0 l0 ,左边一段原长为 m A ? mB ,劲度系数为 mB m A ? mB ,劲 果弹簧总长为 ;右边一段原长为 m A ? mB k mB 度系数为 , 这样处理所得结果与上述结果是相同的, 有兴趣的同学可以讨论,
如果将弹簧压缩之后,不是同时释放两个物体,而是先释放一个,再释放另一个,这样 两个物体将做什么运动?系统的质心做什么运动? 5.2.2、单摆 一个质量为 m 的小球用一轻质细绳悬挂在天花板上的 O 点,小球摆动至与竖直方 向夹 ? 角,其受力情况如图 5-2-6 所示。其中回复力,即合力的切向分力为

O
?

F

F回 ? mg? sin ?
当 ? <5?时,△OAB 可视为直角三角形,切向分力指向平衡位置 A,且

sin ? ?

x l,

B

mg

x

A

图 5-2-6

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所以

F回 ?

mg x l
k? mg l )

F回 ? kx (式中

说明单摆在摆角小于 5?时可近似地看作是一个简谐振动,振动的周期为

T ? 2?
(1)等效重力加速度 g ?

m l ? 2? k g
O
?

在一些异型单摆中, l 和 g 的含意以及值会发生变化。 单摆的等效重力加速度 g ? 等于摆球相对静止在平衡位置时, 指向圆心的弹力与摆球质量的比值。 如在加速上升和加速下降的升降机中有一单摆,当摆球相对 静止在平衡位置时,绳子中张力为 m( g ? a) ,因此该单摆的等效

图 5-2-7 a l T ? 2? O g ?a 重力加速度为 g ? = g ? a 。周期为 ? ? 的光滑斜面上有一单摆,当摆球相对静 再如图 5-2-7 所示,在倾角为 止在平衡位置时,绳中张力为 m g sin ? ,因此单摆的等效重力加速度为
g ? = g sin ? ,周期为

A

f ? ma
mg

T ? 2?

l g sin ?
图 5-2-8

又如一节车厢中悬挂一个摆长为 l 的单摆,车厢以加速度 a 在水平地面 上运动(如图 5-2-8) 。由于小球 m 相对车厢受到一个惯性力 f ? m a ,所以

tga ?
它可以“平衡”在 OA 位置,

a g ,此单摆可以在车厢中以 OA 为中心做简

?

2 2 谐振动。当小球相对静止在平衡位置 A 处时,绳中张力为 m a ? g ,等效重

? 力加速度 g ?

a 2 ? g 2 ,单摆的周期

l

T ? 2?

l a ?g
2 2

m
图 5-2-9
B D

(2)等效摆长 l ? 单摆的等效摆长并不一定是摆球到悬点的距离,而是指摆球的圆弧轨迹的 半径。如图 5-2-9 中的双线摆,其等效摆长不是 l ,而是 l sin ? ,周期

T ? 2?

l sin ? g

再如图 5-2-10 所示,摆球 m 固定在边长为 L、质量可忽略的等边三角形支 架 ABC 的顶角 C 上,三角支架可围绕固定的 AB 边自由转动,AB 边与竖直方 向成 a 角。 当 m 作小角度摆动时,实际上是围绕 AB 的中点 D 运动,故等效摆长

?
A

l?

m
C

?
图 5-2-10

l ? ? L cos300 ?

3 L 2

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正因为 m 绕 D 点摆动,当它静止在平衡位置时,指向 D 点的弹力为 m gsin a ,等效重力加速度为

g sin a ,因此此异型摆的周期

T ? 2?

l? 3L ? 2? g? 2 g sin a

(3)悬点不固定的单摆 如图 5-2-11,一质量为 M 的车厢放在水平光滑地面上,车厢中悬有一个摆长为 l ,摆球的质量为 m 的 单摆。显然,当摆球来回摆动时,车厢也将作往复运动,悬点不固定。 由摆球相对于车厢的运动是我们熟悉的单摆,故取车厢为非惯性系,摆球受到重力 mg,摆线拉力 N 和惯性力 m aM 的作用,如图 分析摆球 N= mg cos? ? maM sin ? 回复力 分析车厢: ①(忽略摆球向心力) ②
?

aM

F ? mgsin ? ? maM cos?


N

N sin ? ? MaM

M

2 因为 ? 很小,所以可认为 sin ? ? ? , cos ? ? 1 , sin ? ? 0 则由①、③式可得

maM
mg

aM ?

m g? M
m )? M

图 5-2-11

把它代入②

F ? mg (1 ?

摆球偏离平衡位置的位移

所以 因此摆球作简谐振动,周期

x ? ?l mg ( M ? m) F? x MI

T ? 2?

ml ( M ? m) g
T ? 2? l g ,因为此时 M 基本不动,一般情

由周期表达式可知:当 M?m 时,

T ? 2?
况下,

l g

§5.3 振动能量与共振 5. 3.1、简谐振动中的能量 以水平弹簧振子为例,弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成,在振动过程中,振子的 瞬时动能为:

EK ?

1 2 1 mv ? mA 2? 2 sin 2 (?t ? ? ) 2 2

振子的瞬时弹性势能为:

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Ep ?

1 2 1 kx ? m? 2 A2 cos 2 (?t ? ? ) 2 2
1 1 m? 2 A2 ? kA 2 2 2

振子的总能量为:

E ? EK ? E p ?

1 2 kA 简谐振动中,回复力与离开平衡位置的位移 x 的比值 k 以及振幅 A 都是恒量,即 2 是恒量,因此
振动过程中,系统的机械能守恒。 如以竖直弹簧振子为例,则弹簧振子的能量由振子的动能、重力势能和弹簧 的弹性势能构成,尽管振动过程中,系统的机械能守恒,但能量的研究仍比较复 杂。由于此时回复力是由弹簧的弹力和重力共同提供的,而且是线性力(如图

F回
kx

1 2 kx 5-3-1) ,因此,回复力做的功 2 (图中阴影部分的面积)也就是系统瞬时弹性
势能和重力势能之和,所以类比水平弹簧振子瞬时弹性势能表达式,式中 x 应指 振子离开平衡位置的位移,则 E p 就是弹性势能和重力势能之和,不必分开研究。 简谐振动的能量还为我们提供了求振子频率的另一种方法,这种方法不涉及 振子所受的力,在力不易求得时较为方便,将势能写成位移的函数,即 另有

x
O

x
图 5-3-1

Ep ?

2E p 1 2 kx k? 2 2 x 。 ,

??
2E p m x2

2E p k ? m m x2

x
c
R
M

也可用总能量和振幅表示为

??

图 5-3-2

5.3.2、阻尼振动 简谐振动过程的机械能是守恒的,这类振动一旦开始,就永不停止,是一种理想状态。实际上由于摩 擦等阻力不可完全避免,在没有外来动力的条件下,振动总会逐渐减弱以致最后停息。这种振幅逐渐减小 的振动,称为阻尼振动。阻尼振动不是谐振动。 ①振动模型与运动规律 如图 5-3-2 所示,为考虑阻尼影响的振动模型,c 为阻尼器,粘性阻尼时,阻力 R=-cv,设 m 运动在 任一 x 位置,由 ?F ? m? x 有

x
(17)

m? x ? ?kx ? cvx
分为

ax ? 2nvx ? w2 x ? 0
n? c 2m

o

t

式中 这里参考图方法不再适用,当 C 较小时,用微分方程可求出振体的运 动规律,如图 4-22 所示。 ②阻尼对振动的影响 由图 5-3-3 可见,阻尼使振幅逐渐衰减,直至为零。同时也伴随着振动 系统的机械能逐渐衰减为零。

图 5-3-3

c ?n 此外, 2m 愈大,即阻尼愈大,振幅衰减愈快。而增大质量 m 可使

1cm

k
x

图 5-3-4

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n 减小。所以,为了减小阻尼,单摆的重球及弹簧振子往往选用重球。 ③常量阻力下的振动 例 1、如图 5-3-4 所示,倔强系数为 250g/cm 的弹簧一端固定,另端连结一质量为 30g 的物块,置于 水平面上,摩擦系数 经过弹簧原长位置几次后才停止运动。 解:振体在运动中所受摩擦阻力是与速度方向相反的常量力,并不断耗散系统的机械能,故不能像重 力作用下那样,化为谐振动处理。

??

1 4 ,现将弹簧拉长 1cm 后静止释放。试求: (1)物块获得的最大速度; (2)物块

(1)设首次回程中,物块运动至弹簧拉力等于摩擦力的 x 位置时,达最大速度



由 再由能量守恒:

1 mg ? 4 ? 0.03(cm ) x? ? k 250 g kx ? m g? , 30 g ?
1 2 1 1 2 kx 0 ? mg ? (1 ? 0.03) ? k ? 0.03 2 ? mv max 2 2 2

代入已知数据得

vmax ? 485(cm / s)

? (2)设物体第一次回程中,弹簧的最大压缩量为 x1 ,则
1 2 1 2 ? ? kx 0 ? kx1 ? mg ? ( x0 ? x1 ) 2 2 2mg ? ? ? x0 ? x1 ? k
再设物体第一次返回中,弹簧的最大拉伸量为 x1 ,则

1 2 1 2 ? ? kx1 ? kx1 ? mg ? ( x1 ? x1 ) 2 2 2mg ? ? ? x1 ? x1 ? k
可见振体每经过一次弹簧原长位置,振幅减小是相同的,且均为

2m g? ? k

2 ? 30?1000?

1 4 ? 3 (cm) 250?1000 50

而 故物体经过 16 次弹簧原长位置后,停止在该处右方。 5.3.3 受迫振动——在周期性策动外力作用下的振动。 例如:扬声器的发声,机器及电机的运转引起的振动。 1、振动模型及运动规律 如图 5-3-5 所示,为策动外力作用下的振动模型。其中,阻力 R=-cv, 为常见的粘性阻尼力。 策动力 F=Hcospt,为简谐力时。

1 ? 16 ? 0.04 (cm ) ? 0.06cm 3 / 50

o c
R

x F ? H cos pt
M

图 5-3-5

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由 ?F回 ? max ,有 max ? H cos pt ? cvx ? kx 化为标准标式

? x ? 2nvx ? ? 2 x ? h cos pt
式中

n?

c ?? 2m ,

k H h? m, m
x x
由 微分 方程 理论 可求 得振 子的 运动 规律 ( 2)受

x

o

t

?

o

t

?

o

t

瞬态振动

静态振动

受迫振动

(a )

(b) 图 5-3-6

(c)

迫振动的特性 在阻尼力较小的条件下,简谐策动力引起的振动规律如图 5-3-6 所示。在这个受迫振动过程由两部分 组成:一部分是按阻尼系统本身的固有频率所作的衰减振动,称为瞬态振动(图(a);另一部分按策动 ) 力频率所作的稳定振动(图(b)。在实际问题中,瞬态振动很快消失,稳态振动显得更加重要。稳态振 ) 动的频率与系统本身的固有频率无关,其振幅与初位相也不由初始条件确定,而与策动频率 p 密切相关。 5.3.4、共振—当策动力频率 p 接近于系统的固有频率 ? 时受迫振动振幅出现最大值的现象。 如图 5-3-7 所示的一组曲线,描述了不同阻尼系统的稳态振幅 A c0 ? 0 随策动力频率 p 改变而引起的变化规律。由图可见: 1、当 p 接近 ? 时振幅最大,出现共振。 A 2、阻尼越小,共振越大。 c ?c ?c 3、 p ? 0 时,振幅就是静力偏移,即
1 2 3

A0 ?

4、p>> ? 时,振体由于惯性,来不及改变运动,处于静止状态。

H k

A0
O

c c1 2 c3
?

P

§5.4 振动的合成 图 5-3-7 若一个物体同时受到两个或几个周期性策动力的作用,在一般情 况下其中一个力的存在不会对另外一个力产生影响,这时物体的振动 就是它在各个策动力单独作用下产生的振动相互叠加后的振动,由各策动力单独产生的振动来求它们叠加 后的振动,叫振动的合成。 5. 4.1、 同方向、同频率两简谐运动的合成 当一个物体同时参与同方向的两个振动时,它在某一时刻的位移应为同一时刻两个振动的位移的代数 和。当两振动的频率相同时,设此两振动的位移分别为

x1 ? A1 cos(?t ? ?1 ) x2 ? A2 cos(?t ? ? 2 )
则合振动的位移应为

x ? x1 ? x2 ? A1 cos(?t ? ?1 ) ? A2 cos(?t ? ?2 ) ? A1 cos?t cos?1 ? A1 sin ?t sin ?1 ? A2 cos?t cos? 2 ? A2 sin ?t sin ? 2

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? ( A1 cos?1 ? A2 cos? 2 ) cos?t ? ( A1 sin ?1 ? A2 sin ? 2 ) sin ?t ? A cos? cos?t ? A sin ? sin ?t ? A cos(?t ? ? )
上式中

A ? ( A1 cos ?1 ? A2 cos ? 2 ) 2 ? ( A1 sin ?1 ? A2 sin ? 2 ) 2 ?
2 A12 ? 2 A1 A2 c o s? 2 ? ?1 ) ? A2 (

tg? ?

A1 sin ?1 ? A2 sin ? 2 A1 cos?1 ? A2 cos? 2

根据以上结论,进一步可以看到 ①若 ? 2 ? ?1 ? 0或2k? (k 为整数) ,则

cos(? 2 ? ?1 ) ? 1
A?
2 A12 ? 2 A1 A2 ? A2 ? A1 ? A2

即合振动的振幅达到最大值,此时合振动的初位相与分振动的初位相同(或相差 2k? ) ②若 ? 2 ? ?1 ? ? 或 (2k ? 1)? 则

cos(? 2 ? ?1 ) ? ?1
2 A ? A12 ? 2 A1 A2 ? A2 ? A1 ? A2

即合振动的振幅达到最小值。此时合振动的初位相取决于 A1 和 A2 的大小。即当 A1 ? A2 时,合振动 的初位相等于 ?1 (?1 ? 2k? ) ; A2 ? A1 时, 当 合振动的初位相等于 ? 2 (或? 2 ? 2k? ) ; A2 ? A1 时, A=0, 当 则 物体不会发生振动。 ③一般情况下, ? 2 ? ?1 可以任意值,合振动的振幅 A 的取值范围为

A1 ? A2 ≥ A ≥ A1 ? A2
5. 4.2、 同方向、频率相近的两振动的合成 设物体同时参与两个不同频率的简谐运动,例如

为简单起见,我们已设 ? 2 ? ?1 ? 0 ,这只要适当地选取时间零点,是可以做到的。如果再设

x1 ? A1 cos?1t x2 ? A2 cos?2t

A1 ? A2 ? A ,则合振动 x ? x1 ? x2 ? A(cos?1t ? cos?2t ) ? ? ?2 ? ? ?2 ? 2 A cos 1 t cos 1 t 2 2

由于 ?1 和 ? 2 相差不多,则有( ?1 ? ?2 )比 ( ?1 ? ?2 )大很多,由此,上一合振动可以看成 是振幅为

x
o

T

2 A cos

?1 ? ? 2
2

t

(随时间变化) 。角频

?1 ? ? 2
2 率为 的振动。这种振动称为“拍” 。拍的 位移时间图像大致如图 5-4-1 所示。由图可见,振

t

图 5-4-1

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幅的变化周期 T ? 为

t 2 变化周期的一半,即 1 2 2? T? ? ? ? 2? ? 2 ?1 ? ? 2 ?1 ? ? 2

2 A cos

?1 ? ? 2

或拍频为

v? ?

1 ?1 ? ? 2 ? ? v1 ? v2 T? 2?

? ? ? ?1 ? ? 2
5.4.3、同频率相互垂直的两个简谐振动的合成 当一物体同时参与相互垂直的振动时

x ? A1 cos(?t ? ?1 ) y ? A2 cos(?t ? ? 2 )
合振动的轨迹在直角坐标系中的方程为

x 2 y 2 2 xy ? 2? cos(? 2 ? ?1 ) ? sin 2 (? 2 ? ?1 ) 2 A1 A2 A12
当 ? 2 ? ?1 ? 2K? 时, ( K ? 0,?1,?2??)

(6-17)

x 2 y 2 2 xy ? 2? ?0 A12 A2 A12
y?


A2 x A1

A2 合成结果仍为简谐振动(沿斜率为 A1 的直线作简谐振动) 。 当 ? 2 ? ?1 = (2 K ? 1)? 时, ( K ? 0,?1,?2??)

x2 y 2 ? 2 ?1 A12 A2

可见,当

? 2 ? ?1 ?

?

3 或 ? 2 2 时,合振动均为椭圆振动,但两者旋转方向不同。

§5.5 机械波 5.5.1、机械波 机械振动在介质中的传播形成机械波,波传递的是振动和能量,而介质本身并不迁移。 自然界存在两种简单的波:质点振动方向与波的传播方向垂直时,称为横波;与传播方向一致时,叫 纵波,具有切变弹性的介质能传播横波;具有体变弹性的介质可传播纵波,固体液体中可以同时有横波和 纵波,而在气体中一般就只有纵波存在了。 在波动中,波上相邻两个同相位质点间的距离,叫做一个波长,也就是质点作一个全振动时,振动传 播的距离。由于波上任一个质点都在做受迫振动,因此它们的振动频率都与振源的振动频率相等,也就是 波的频率,在波动中,波长 ? 、频率 f 与传播速度 v 之间满足

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第五讲

机械振动和机械波

y (1) 注意:波速不同于振动质点的运动速度,波速与传播介质的密度及弹 性性质有关。 5.5.2、波动方程 O 如图 5-5-1 所示,一列横波以速度 v 沿 x 轴正方向传播,设波源 O 点 的振动方程为:
T

v ? ?f ?

?

v

P

x

y ? A cos(?t ? ?0 )
在 x 轴上任意点 P 的振动比 O 点滞后时间

tp ?

x v ,即当 O 点相位为

图 5-5-1

x ? ? l f ? ?? (t ? v ) ? ? 0 ? (?t ? ? 0 ) 时,P 点的相位为 ? ? ,由 ? ? 2?f , v ? ?f , T ,P 点振动方程为 x ? ? y ? A cos?? (t ? ) ? ? 0 ? v ? ? 2?x ? A cos( 2?ft ? ? 0 ? ) ? 2? 2?x ? A cos( t ? ?0 ? ) T ?
这就是波动方程, 它可以描述平面简谐波的传播方向上任意点的振动规律。 当波向 x 轴负方向传播时, (2)式只需改变 v 的正负号。由波动方程,可以 (1)求某定点 x1 处的运动规律 将 x ? x1 代入式(6-14) ,得

x 2? t ? ? 0 ? 2? 1 ) T ? ? A c o s (t ? ?1 ) ? 2?x1 ?1 ? ? 0 ? ? 为 x1 质点作简谐振动的初相位。 其中 y1 ? A cos(
(2)求两点 x1 与 x2 的相位差 将 x ? x2 代入(2)式,得两点 x1 、 x2 的相位差

?? ? ?1 ? ? 2 ? 2?


x2 ? x1

x2 ? x1 ?

?
2
(k

?

? 2k ( k

为整数) ,则 ?? ? 2k? ,则该两点同相,它们的位移和速度都相同。若

x2 ? x1 ? (2k ? 1)

?
2

为整数) ,则 ?? ? (2k ? 1)? ,则该两点相位相反,它们的位移和速度大小相同,

速度方向刚好相反。 球面波的波动方程与平面波相比,略有不同,对于球面波,其振幅随传播距离的增加而衰减,设离波 源距离为 r1 处的振幅为 A1 ,离波源距离为 r2 处的振幅为 A2 。则有

A1r1 ? A2 r2
即振幅与传播的距离成反比 球面简谐波的方程为

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机械振动和机械波

y (r , t ) ?

A 2? cos( ?t ? r) r ?

r1

P

式中 A 是与波源的距离为一个单位长度处的振幅。 3、波的叠加和干涉 当空间存在两个(或两个以上)振源发出的波时,空间任一点的扰动 是各个波在该点产生的扰动的矢量和,这叫做波的叠加原理。 当有频率相同、振动方向相同的两列波在空间叠加时,会出现某些地 方振动增强,某些地方振动减弱的现象,叫做波的干涉,这样的两列波叫 相干波。

S1
d

{
S 2 ?r
图 5-5-2

r2

设有两列相干波自振源 S1 、 S2 发出,两振源的位相相同,空间任一点 P 至 S1 的距离为 r1 ,至 S2 的距 离为 r2 (图 5-5-2) ,则两列波在 P 点产生的振动的相位差为

?? ? 2?

r2 ? r1

当 ?? ? k ? 2? (k 为整数) ,即当波程差

?

?r ? r2 ? r1 ? 2k ?

?
2 时,P 点的合振动加强;

当 ?? ? (2k ? 1)? ,即当波程差

?r ? r2 ? r1 ? (2k ? 1)

?
2 时,P 点的合振动减弱,可见 P 点振动的强弱由
C1

i

i

波程差 ?r ? r2 ? r1 决定,是 P 点位置的函数。 C2 r 总之, 当某一点距离两同位相波源的波程差等于零或者是波长的整数倍时, 该点振动的合振幅最大,即其振动总是加强的;当某一点距离两同位波源的波 程差等于半波长或半波长的奇数倍时,该点振动的合振幅最小,即其振动总是 图 5-5-3 削弱的。 4、波的反射、折射和衍射 当波在传播过程中遇到的两种介质的交界面时,一部分返回原介质中,称为反射波;另一部分将透入 第二种介质继续传播,称为折射波,入射波的传播方向与交界面的法线成 i 角, i 叫入射角) ( ,反射波的传 播方向与交界面的法线成 i ? 角( i ? 叫反射角) 。折射波的传播方向与法线成 ? 角( ? 叫折射角) ,如图 5-5-3, 则有

i ? i? s i n c1 i ? s i n c2 r 式中 c1 为波在入射介质中的传播速度,c2 为波在折射介质中的传
播速度, (1)式称为波的反射定律, (2)式称为波的折射定律。 弦上的波在线密度不同的两种弦的连结点处要发生反射,反射的 波形有所不同。 设弦上有一向上脉冲波,如图 5-5-4,传到自由端以后反射,自由 端可看成新的振源,振动得以继续延续下去,故反身波仍为向上的脉 冲波,只是波形左右颠倒。当弦上有向上脉冲波经固定端反射时,固 定端也可看成新的“振源” ,由牛顿第三定律,固定端对弦的作用力方 向与原脉冲对固定端的作用力方向相反,故反射脉冲向下,即波形不 仅左、右颠倒,上、下也颠倒,这时反射波可看成入射波反向延伸的 负值(如图 5-5-5) ,将周期波看成一系列连续脉冲,周期波经自由端

图 5-5-5

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机械振动和机械波

或固定端的反射也可由此得出。 波在传播过程中遇到障碍物时,偏离原来的传播方向,传到障碍物 “阴影”区域的现象叫波的衍射。当障碍物或孔的尺寸比波长小,或者 跟波长相差不多时,衍射现象比较明显;当障碍物或孔的尺寸比波长大 的时候,衍射现象仍然存在,只是发生衍射的部分跟直进部分相比,范 围较小,强度很弱,不够明显而已。此外,在障碍物或小孔尺寸一定的 情况下,波长越长,衍射现象越明显。 5.6.5、驻波 驻波是频率相同、振幅相同、振动方向一致、传播方向相反的两列 简谐波叠加的结果,如图 6-5-6,设弦上传递的是连续的周期波,波源 的振动方程为

图 5-5-4

y0 ? A cos?t
向左传播的入射波表达式为

y1 ? A cos( ?t ?

2?

?

x)

考虑到入射波和反射波在连接点的振动相位相反,即入射波在反射时产生了 ? 的相位突变,故反射波 在反射点的相位为

5 ? 设波源到固定端的距离为 4 ,则入射波传到反射点时的相位为 2? 2? 5 5 ?t ? x ? ?t ? (? ? ) ? ?t ? ? ? ? 4 2

? t ? ? ? ? ? ?t ? ?
反射波在原点 P 的相位为

5 2

7 2

?t ? ? ? ? ? ?t ? 6?
因而,反射波的波动方程为

7 2

5 2

y2 ? A cos( ?t ? 6? ?
合成波为:

2?

?

x) ? A cos( ?t ?

2?

?

x)

y ? y1 ? y2 ? A cos( ?t ?
2? ? 2 A c o s ( x) c o s t ?

2?

?

x) ? A cos( ?t ?

2?

?

x)

y

?

? 合成波的振幅为 与 x 有 关, 振幅最大处为波腹,振幅最小处为波节。波腹的 位置为
2?

2 A cos(

2?

x)

DA E

B F

O

x

?

x ? k?

图 5-5-6
λ

k ? 0,?1,?2?? 如图 5-6-6 2 即 中的 D、E、F 等处。 波节的位置为

x?k?

?

? 2

2A

波节 波腹 波节 波腹

图 5-5-7

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机械振动和机械波

1 x ? ( k ? )? ? 2 1 ? x ? (k ? ) 2 2 即

2?

k ? 0,?1,?2??

如图 5-5-7 中的 O、A、B 等处。

? 相邻两波节(或波腹)之间的间距为 2 。
不同时刻驻波的波形如图 5-6-7 所示,其中实线表示 t ? 0 、T、2T??时的波形;点线表示

t?

1 T 2 、

3 1 9 t? T T T 8 、 8 时的波形。 2 ??时的波形;点划线表示
5.5.6、多普勒效应 站在铁路旁边听到车的汽笛声,发现当列车迎面而来时音调较静止时为高,而列车迅速离去时音调较 静止时为低,此外,若声源静止而观察者运动,或者声源和观察者都运动,也会发生收听频率和声源频率 不一致的现象,这种现象称为多普勒效应。下面分别探讨各种情况下多普勒频移的公式: (1)波源静止观察者运动情形 c 如图 5-5-8 所示,静止点波源发出的球面波波面是同心的, c 若观察者以速度 vD 趋向或离开波源,则波动相对于观察者的传 播速度变为 c? ? c ? vD 或 c? ? c ? vD , 于是观察者感受到的频率 为

c vD D c

c vD
S
D

c

c c

f??

c?

?

?

c ? vD

?

从而它与波源频率 f 之比为

图 5-5-8

f ? c ? vD ? f c
(2)波源运动观察者静止情形 若波源以速度 vS 运动,它发出的球面波不再同心。图 5-5-9 所示两圆分别是时间相隔一个周期 T 的两个波面。它们中心之间 的距离为 vS T,从而对于迎面而来或背离而去的观察者来说,有 效的波长为 ??? ? ? ? vST ? (c ? vS )T 观察者感受到的频率为

? ? ? ? ? vsT
? ?

? ? ? ? ? vsT

D

D

c c cf ? ? ? ?? (c ? vS )T c ? vS 因而它与波源频率 f 之比为 f?? f? c ? f c ? vS

图 5-5-9

(3)波源和观察者都运动的情形 此处只考虑波的传播方向、波源速度、观察者速度三者共线的特殊情况,这时有效波速和波长都发生 了变化,观察者感受到的频率为

f??

c? c ? vD c ? vD ? ? f ? ?? (c ? vS )T c ? vS

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从而它与波源频率 f 之比为

f ? c ? vD ? f c ? vS
下举一个例 单行道上,有一支乐队,沿同一个方向前进,乐队后面有一坐在车上的旅行者向他们靠近。此时, 乐队正在奏出频率为 440HZ 的音调。 在乐队前的街上有一固定话筒作现场转播。 旅行者从车上的收音机收 听演奏,发现从前面乐队直接听到的声音和从广播听到的声音混合后产生拍,并测出三秒钟有四拍,车速 为 18km/h,求乐队前进速度。 (声速=330m/s) 。 解:先考虑车上听到的频率,连续两次应用多普勒效应,有

f1 ?

c ? f0 c ? v乐
f2 ?

f 2 ? (1 ?

v车 ) ? f1 c ( f 2 为旅行者听到乐队的频率)

得 收音机得到频率为

c ? v车 ? f0 c ? v乐
c ? v车 ? f3 c 又拍频为
4 HZ 3

f3 ?

c ? f0 c ? v乐

旅行者听到广播频率为

f4 ?

f 4 ? f3 ?

综上得: v乐 =2.98m/s 5.5.7.声波 机械振动在空气中的传播称为声波。声波作用于人耳,产生声音感觉。人耳可闻声波频率是 16~20000 H Z 。 频率超过 20000 H Z 的声波叫超声波。 超声波具有良好的定向性和贯穿能力。 频率小于 16 H Z 的声波称为次声波。在标准情况下,声波在空气中的速度为 331m/s。 (1)声波的反射—声波遇障碍物而改变原来传播方向的现象。 回声和原来的声波在人耳中相隔至少 0.1 秒以上,人耳才能分辨,否则两种声音将混在一起,加强原 声。 室内的声波,经多次反射和吸收,最后消失,这样声源停止发声后,声音还可在耳中继续一段时间, 这段时间叫交混回响时间。交混回响时间太长,前后音互相重叠,分辨不清;交混时间太短,给人以单调 不丰满的感觉,这种房间不适于演奏。 (2)声波的干涉——两列同频率同振幅的声波在媒质中相遇而发生的波干涉现象。 (3)声波的衍射——声波遇障碍物而发生的波衍射现象。由于声波波长在 17cm—17m 之间,与一般 障碍物尺寸可相比拟,可绕过障碍物进行传播。而可见光的波长在 0.4—0.8 ? m ,一般障碍物不能被光绕 过去。这就是“闻其声而不见其人”的缘由。 (4)共鸣——声音的共振现象 音叉和空气柱可以发生共鸣。 在一个盛水的容器中插入一根玻璃管,在管口上方放一个正在发声的音叉,当把玻璃管提起和放下, 以改变玻璃管中空气柱的长度时,便可以观察到空气柱与音叉发生共鸣的现象。在这个实验中发生共鸣的

1 L ? ( n ? )? n ,式中 L 为玻璃管的长度, ? 为音叉发出声波的波长,n 为自然数。 条件是:
5、乐音噪声——好听、悦耳的声音叫乐音,嘈杂刺耳的声音叫噪声。乐音是由作周期性振动的声源 发出的,嘈声是由做无规则非周期性振动的声源产生的。 6、音调、响度与音品为乐音三要素。 音调—基音频率的高低,基频高则称音调高。人们对音调的感觉客观上也取决于声源振动的频率,频 率高,感觉音调高。 响度—声音的强弱。声源振幅大、声音的声强(单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的能

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量)也大,人感觉到的声音也大。 音品—音色,它反映了不同声源发出的声音具有不同的特色。音品由声音所包含的泛音的强弱和频率 决定。


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