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椭圆双曲线综合复习教案


椭圆、双曲线复习 【目标要求】 体验从具体情境中抽象出椭圆、双曲线模型的过程,掌握它们的定义、标准 方程、几何图形及简单性质以及内在联系;进一步提高学生解析能力。 【教学重点】 掌握这两种曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关 问题的基本技能、技巧和基本方法。 【教学难点】这两曲线的概念和性质在实际问题里面的灵活应用。 【教学方法】:讲练结合、数形结合。 【教学用具】:多媒体演示 【课 【课 型】:复习课 时】:1 课时

【教学过程】 一、给出椭圆定义、引出方程和性质 展示给学生椭圆、双曲线定义及图形的形成过程,帮助同学进一步理解椭 圆、双曲线的定义,性质。 1、定义

椭圆的定义: 平面内与两定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹(或 集合)叫做椭圆.F1, F2 叫做椭圆的焦点; F1 F2 叫做椭圆的焦距. 双曲线的定义: 平面内与两定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1 F2 )的点的 轨迹(或集合)叫做双曲线.F1, F2 叫做双曲线的焦点; F1 F2 叫做双曲线 的焦距. 2、性质一览表 椭圆与双曲线焦点在 x 轴上
x2 y2 ? ?1 (a ? b ? 0) a2 b2 x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) a2 b2

方程 顶点

(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b) (0,-a)(0,a) x 轴 y 轴,长轴长 2a, x 轴 y 轴,实轴长 2a, 虚轴长 2b (0,-c)(0,c) | F1 F2 |=2c,c 2 =a 2 +b 2 e=c/a
y?? b x a

对称轴 短轴长 2b 焦点 焦距 (-c,0)( c,0) | F1 F2 |=2c,c 2 =a 2 -b 2

离心率 e=c/a 渐近线 椭圆与双曲线焦点在 y 轴上

方程 顶点

y2 x2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) a2 b2

y2 x2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) a2 b2

(0,-a)(0,a)(-b,0)(b,0) x 轴 y 轴,长轴长 2a,

(0,-a)(0,a) x 轴 y 轴,实轴长 2a, 虚轴长 2b (0,-c)(0,c) | F1 F2 |=2c,c 2 =a 2 +b 2 e=c/a
y?? a x b

对称轴 短轴长 2b 焦点 焦距 (0,-c)(0,c) | F1 F2 |=2c,c 2 =a 2 -b 2

离心率 e=c/a 渐近线 y ? ? x 二、本节我们要解决的问题: 1.根据已知条件求标准方程: 1)利用定义求标准方程: 2)通过 a,b,c 的值,求标准方程:
b a

2.已知标准方程,求顶点,焦点,离心率等 3.椭圆与双曲线综合 4.利用基础知识,解决实际问题。 例 1:(根据定义求曲线的标准方程) 1. 已知椭圆的焦点在 x 轴上,焦距为 8,椭圆上的点到两

个焦点的距离之和为 10.求椭圆的标准方程. 2.已知双曲线的焦点在 y 轴上,且焦距为 14,双曲线上一点到两个焦点距离之 差的绝对值等于 8,求双曲线的标准方程. 1 解:.由于 2c = 8,2a = 10,即 c = 4,a = 5, 所以 b 2 ? a 2 ? c 2 =9 由于椭圆的焦点在 x 轴上,因此椭圆的标准方程为
x2 y2 ? ?1 5 2 32 x2 y2 ? ?1 25 9



2 解.

由已知得 2c = 14,2a = 8,即 c = 7,a = 4, 所以 b 2 ? c 2 ? a 2 =33 由于双曲线的焦点在 y 轴上,因此双曲线的标准方程为
y2 x2 ? ?1 16 33

例 2(根据已知条件 a,b,c 求标准方程) 1. 已知:双曲线的一个焦点为(5,0),渐近线方程为 y ? ? x , 求:双曲线的标准方程
4 3



由已知条件知双曲线的焦点在 x 轴.所以有
a 2 ? b 2 ? 25
b 4 ? a 3

解得,a=3,b=4
x2 y2 ? ?1 9 16

故所求的双曲线方程为

例 3(椭圆与双曲线综合) 求以椭圆 4 x 2 ? y 2 ? 64 的焦点为顶点,一条渐近线方程为 x ? 3 y ? 0 的双 曲线的标准方程方程.
x2 y2 ? ?1 16 64

解:椭圆化为标准方程

求得椭圆焦点为(0,± 4 3 ) 即双曲线的半实轴长:a= 4 3 , 且焦点在 y 轴上
?1 3
a 1 ? b 3

渐近线方程为 y=

x



故双曲线的半虚轴轴长:a=4 3 ,b=12
y2 x2 ?1 所以,所求双曲线方程为: ? 48 144

三、小结:

1. 椭圆和双曲线的基础知识 2.椭圆与双曲线的基本题型: (1).根据已知条件求标准方程: (2).已知标准方程,求性质; (3). 椭圆与双曲线综合; (4).利用基础知识,解决实际问题。 四、作业: 1、比较本节椭圆与双曲线异同 2、导学案 1-6(必做) 练一练(选做)

板书设计 一、复习定义 二、讲练题型 三、小结、 四、作业


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