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山东省菏泽市2014-2015学年高二数学上学期期末考试试卷 理(B)


高二数学(理)试题(B)
第Ⅰ卷(选择题部分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出的 4 个选项中只有一个 是正确的,请将所选选项的字母填写在答题卷相应的位置上) 1. 下列结论正确的是( A.若 ac ? bc ,则 a ? b C.若 a ? b , c ? 0 ,则 a ? c ? b ? c 2.若命题“ p ? q ”为

假,且“ ?p ”为假,则( A.p 或 q 为假 B.q 假 ) B.若 a 2 ? b 2 ,则 a ? b D.若 a < b ,则 a ? b ) C.q 真
??? ?

D.不能判断 q 的真假
???? ??? ? ????

3.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E 为上底面 A1C1 的中心,若 AE ? AA1 ? xAB ? y AD ,则 x,

y 的值是(
A. x ?

) B. x ? 1 , y ?
1 2

1 1 ,y? 2 2

C. x ?

1 , y ?1 2

D. x ? 1 , y ? 1 ) D.2

4.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3 ? a9 ? 2a52 , a2 ? 2 ,则 a1 的值是( A. ? 2 B.
2 2

C. 2 ) C.a>2

5. 若不等式 x 2 ? ax ? a ? 1 有解,则 a 的取值范围为( A.a<2 B.a=2

D.a ? R )

6.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 c cos A ? b ,则△ABC 是( A.锐角三角形 7.下列命题错误 的是( .. B.钝角三角形 ) C.直角三角形

D.斜三角形

A.命题“若 m ? 0 ,则方程 x 2 ? x ? m ? 0 有实数根”的逆否命题是“若方程 x 2 ? x ? m ? 0 没 有实数根,则 m ? 0 ”; B.“ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件; C.命题“若 xy ? 0 ,则 x,y 中至少有一个为 0”的否命题是“若 xy ? 0 ,则 x,y 中至多 有一个为 0”; D.对于命题 p: ?x ? R ,使 x 2 ? x ? 1 ? 0 ;则 ?p : ?x ? R ,均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 .

-1-

8. 在△ABC 中,若 C ? 90? ,三边为 a , b, c, 则 A.
[ 2 , 2 2]
( 2, 2)

a?b 的范围是( c


2]

B.

(1,

2]

C.

(0,

D.

9.若直线 y ? 2 x 上存在点(x,y)满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的最大值为(
?x ? m ?

?x ? y ? 3 ? 0 ?



A.

1 2

B.1

C.

3 2

D.2

10.如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A, a 2 b2

B,左、右焦点分别是 F1,F2,若 AF1 , F1 F2 , F1 B 成 等比数列,则此椭圆的离心率为( A.
1 4

) D. 5 ? 2

B.

1 2

C.

5 5

第Ⅱ卷(非选择题部分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请把下列各题的正确答案填写在答题 卷相应的位置上) 11. 若关于 x 的不等式 x 2 ? 4 x ? a 2 ? 0 的解集是空集,则实数 a 的取值范围是
?y ? 0 ?



12. 设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为
?x ? y ? 3 ? 0 ?



x2 y 2 . ? ? 1 ,点 P (2,1) 在 C 的渐近线上,则 C 的率心率为 a 2 b2 2 14. 已知双曲线 C 经过点 3, 2 2 ,渐近线方程为 y ? ? x ,则双曲线的标准方程为________. 3

13.已知双曲线 C:

?

?

15.若 x ? (1, ??) ,则 y ? x ?

2 的最小值是 x ?1

.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分,须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,且 c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab . (1)求角 C 的值;

-2-

(2)若 b ? 2 ,△ABC 的面积 S ?

3 3 ,求 a 的值. 2

17. (本小题满分 12 分) 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? 1, ?BAC ? 90? , 异面直线 A1 B 与 B1C1 所成的角 等于 60? ,设 AA1 ? a . (1)求 a 的值; (2)求平面 A1 BC1 与平面 B1 BC1 所成的锐二面角的大小. A B B B1 A1 C1

C

18. (本小题满分 12 分) 在数列{an}中,a1=2, an ?1 =4an-3n+1, n ? N * . (1)令 bn ? an ? n ,求证数列{bn}为等比数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

19. (本小题满分 12 分)
1 1 已知等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和为 Sn,且 S1 , S3 , S5 成等差数列. 2 3

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;
bn ? 的前 (2)若数列{bn}为递增的等比数列,且集合 ?b1 , b2 , b3 ? ? ?a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ? ,设数列 ?an ?

n 项和为 Tn ,求 Tn .

-3-

20. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系中,已知点 A(1, 0) ,点 B 在直线 l : x ? ?1上运动,过点 B 与 l 垂直的直 线和线段 AB 的垂直平分线相交于点 M. (1)求动点 M 的轨迹 E 的方程; (2)过(1)中轨迹 E 上的点 P (1, 2) 作轨迹 E 的切线,求切线方程.

21. (本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 a 2 b2 2 ,F1、F2 为其左、右焦点,过 F1 的直 2

线 l 交椭圆于 A、B 两点,△F1AF2 的周长为 2( 2 ? 1) . (1)求椭圆的标准方程; (2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点).

高二数学(理)参考答案(B) 一、选择题:D 二、填空题: 11. ?? ?,?2? ? ?2,???
2 2 ?1

B

A

C

D

C

C

B

B

C

12.

6

13.

1 5 2

14.

y 2 x2 ? ?1 4 9

15.

三、解答题:

a2 ? b2 ? c2 ab 1 ? ? , ??4 分 16. 解: (1)∵ c ? a ? b ? ab ,∴ cosC ? 2ab 2ab 2
2 2 2

∴ C ? 60? ;

???6 分

-4-

(2)由 S ?

1 3 3 及 b ? 2 , C ? 60? 得 absin C ? 2 2
???10 分 ???12 分

1 3 3 , ? 2a sin 60? ? 2 2
解得 a ? 3 .

17.解:(I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 B(1,0,0) , B1 (1, 0, a) , C1 (0,1, a) ,

A1 (0,0, a) ( a ? 0 )
∴ B1C1 ? (?1,1,0) , A1 B ? (1,0,?a)

????????????????1 分

????? ???? ∴ B1C1 ? A1 B ? ?1 , ??3 分
z
A1 B1 C1

∵异面直线 A1 B 与 B1C1 所成的角 60°,
???? ????? A1 B ? B1C1 ∴ ???? ????? ? cos 60? A1 B ? B1C1



1 ? ,????????5 分 2 1? a ? 2 2

?1

又 a ? 0 ,所以 a ? 1 ;??????6 分 B

A C

y

x
(2)设平面 A1 BC1 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,则

n ? A1 B , n ? A1C1 ,即 n ? A1 B ? 0 且 n ? A1C1 ? 0 ,
又 A1 B ? (1,0,?1) , A1C1 ? (0,1,0) ,∴ ?

?x ? z ? 0 ,不妨取 n ? (1,0,1) ,???8 分 ?y ? 0
???9 分

同理得平面 BB1C1 的一个法向量 m ? (1,1,0) , 设 m 与 n 的夹角为 ? ,则
? ?

cos? ?

m?n m?n

?

1 2? 2

?

1 , 2

∴ ? ? 60? ,

???11 分

∴平面 A1 BC1 与平面 B1 BC1 所成的锐二面角的大小为 60°.

??12 分

18. (1)证明:由题设 an ?1 ? 4an ? 3n ? 1 ,得 an ?1 ? (n ? 1) ? 4(an ? n) , n ? N * .所以 bn+1=4bn; 所以 b1= a1 ? 1 ? 1 ,数列 ?an ? n? 是首项为 1,且公比为 4 的等比数列.????6 分

-5-

(2)解:由(1)可知 bn= an ? n ? 4n ?1 ,于是数列{an}的通项公式为 an ? 4n ?1 ? n . 所以数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ?
1 ? 4n n(n ? 1) 4n ?1 n(n ? 1) ? ? ? . 1? 4 2 3 2

?????12 分

1 1 1 19. 解: (1)设等差数列的公差为 d ,由 S1 , S3 , S5 成等差数列,得 S1 ? S5 ? S3 , 2 3 3 1 即 a1 ? ? 5a3 ? 3a2 ,????????????????????..2 分 3

即1?

5 ?1 ? 2d ? ? 3 ?1 ? d ? ,解得 d ? 1 ,∴ an ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n ????.6 分 3

(2)由 ?b1 , b2 , b3 ? ? ?a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ? ,即 ?b1 , b2 , b3 ? ? ?1, 2,3, 4,5? ,
?b ? ∵数列 ?bn ? 为递增的等比数列,∴ b1 ? 1, b2 ? 2, b3 ? 4 ,∴ bn ? b1 ? 2 ? ? b1 ?
n ?1

? 2n ?1 ,?..8 分

∴ Tn ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ?? ? an ?1bn ?1 ? anbn 则 2Tn ? a1 ? 2b1 ? a2 ? 2b2 ? a3 ? 2b3 ? ?? ? an ?1 ? 2bn ?1 ? an ? 2bn , 即
2Tn ? a1b2 ? a2b3 ? a3b4 ? ?? ? an ?1bn ? anbn ?1





① ? ②得

?Tn ? a1b1 ? ? a2 ? a1 ? b2 ? ? a3 ? a2 ? b3 ? ? a4 ? a3 ? b4 ??? ? an ? an ?1 ? bn ?an bn ?1 ,

即 ?Tn ? 1 ? 2 ? 22 ? ?? ? 2n ?1 ? n ? 2n ? ∴ Tn ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 .

1 ? 2n ? n ? 2n ? 2n ? 1 ? n ? 2 n ? ?1 ? n ? 2n ? 1 , 1? 2

????????????????????12 分 ???1 分

20. 解: (1)依题意,得 MA ? MB

∴动点 M 的轨迹 E 是以 A(1,0) 为焦点,直线 l : x ? ?1 为准线的抛物线,???3 分 ∴动点 M 的轨迹 E 的方程为 y ? 4 x .
2

???????????????5 分 ????????. 6 分 ?????????10 分

(2)设经过点 P 的切线方程为 y-2=k(x-1), 联立抛物线 y ? 4 x 消去 x 得:ky -4y-4k+8=0,
2
2

由△=16-4k(-4k+8)=0,得 k=1, ∴所求切线方程为:x-y+1=0. 21. 解: (1)设椭圆的半焦距为 c ,则

?????????????????12 分 ?????????????????13 分
c 2 ? ,由题意知 2 ? a ? c ? ? 2 a 2

?

2 ?1 ,

?

二者联立解得 a ? 2 , c ? 1 ,则 b 2 ? 1 ,所以椭圆的标准方程为 (2)设直线 l 的方程为: x ? ky ? 1 ,与

x2 ? y2 ? 1 . 2

?.6 分

x2 ? y 2 ? 1 联立,消 x ,整理得: 2
-6-

?k

2

? 2? y 2 ? 2ky ? 1 ? 0 , ? ? ? ?2k ? ? 4 ? k 2 ? 2? ? 8k 2 ? 8 ? 0 ,
2

y1 ?

2k ? 8k 2 ? 8 2 ? k 2 ? 1?

, y2 ?

2k ? 8k 2 ? 8 2 ? k 2 ? 1?

,???????????????? 10 分

所以 S?AOB ? S?AOF ? S?BOF ?
? 2 k 2 ?1

1 8k 2 ? 8 k 2 ?1 1 1 ? 2 ,?12 分 OF1 y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? 2 k2 ? 2 k2 ? 2 2 2

?k

2

? 2?

2

? 2

k 2 ?1 ?? k 2 ? 1? ? 1? ? ?
? 2
2

? 2

k 2 ?1

?k

2

? 1? ? 2 ? k 2 ? 1? ? 1
2

? 2

1

? k 2 ? 1? ? k 21? 1 ? 2

1 2 1 ? (当且仅当 k 2 ? 1 ? 2 , 2?2 2 k ?1

即 k ? 0 时等号成立) ,所以 ?AOB 面积的最大值为

2 ????????.10 分 2

-7-


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