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(教案2)2.3离散型随机变量的均值与方差


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2.3.2 离散型随机变量的方差
学习目标: 1.记住离散型随机变量方差的概念、公式及意义。 2.会根据离散型随机变量的分布列求出方差。 3.会在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平,当水平相近时,再 用方差比较两个类似事件的稳定程度。 学习

重点: 1.离散型随机变量方差的概念、公式及意义。 2.根据离散型随机变量的分布列求出方差。 学习难点: 1.离散型随机变量方差的概念、公式及意义。 2.在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平,当水平相近时,再用 方差比较两个类似事件的稳定程度。 教学过程设计: 一、回顾与引入 1.离散型随机变量的分布列:
ε P
x1

x2

? ?

xi pi

? ?

p1

p2

两条基本性质
① p i ? 0 ( i ? 1, 2 , ?); ②P1+P2+?=1。

2.离散型随机变量的数学期望:
E ? ? x 1 p 1 ? x 2 p 2 ? ?;反映随机变量取值的平均水平。

性质: E ( a ? ? b ) ? aE ? ? b 3.方差的计算方法 (1)对于一组数据 x1,x2,?,xn, s2=
1 n

[ 1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2] (x
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叫做这组数据的方差,而 s 叫做标准差
1 n

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(2)方差公式: s2= [ 12+x22+?+xn2)-n x 2] (x

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(3)当一组数据 x1,x2,?,xn 中的各数较大时,可以将各数据减去一个适 当的常数 a,得到 x1′=x1-a,x2′=x2-a,?,xn′=xn-a
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则 s2=

1 n

[ 1′2+x2′2+?+xn′2)-n x ? 2 ] (x

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样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度,用它可以刻画样 本数据的稳定性。 在实际问题中,仅依靠期望值或平均值还不能完善地说明随机变量的分布特 征,还需要知道随机变量对期望值的偏离程度,例如,甲、乙两工人,各生产 5 个零件,尺寸如下 甲:8.5 乙:9.5 9.0 9.8 10.0 10.0 11.0 10.2 11.5 10.5

可以看出,甲、乙两工人生产的零件尺寸均值都是 10cm ,而无法区别两人技术 的好坏;但从以上数据可观察到,乙工人生产的零件尺寸比较集中在 10cm,而 甲比较分散.为了描述随机变量取值与其数学期望的偏离程度,本节将介绍另一 个数字特征——方差. 二、方差与标准差的概念及性质 1、概念 (1)一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为
ξ P
2

x1 p1

x2 p2
2

? ?

xn pn
2

? ?

D ? = ( x 1 ? E ? ) ? p 1 + ( x 2 ? E ? ) ? p 2 +?+ ( x n ? E ? ) ? p n +?.

或 或

(2)

D ? 的算术平方根 D ? 叫做随机变量 ξ 的标准差,记作 ?? .

(3)方差的性质:
D ( a ? ? b ) ? a D ? ; D ? ? E (? ) ? ( E ? )
2
2 2
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2、两种分布的方差
(1)两点分布: E X ? p , D X ? p (1 ? p ) 。 (2)二项分布:ξ ~ B ( n , p ),并记 C n p q
k k n?k

=b(k;n,p). q ? 1 ? p

ξ

0

1

?

k

?

n

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P
Cn p q
0 0 n

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n ?1

Cn p q
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1

1

?

Cn p q

k

k

n?k

?

Cn p q

n

n

0

Eξ =np, D ? ? np(1-p)

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三、例题讲析 例 1(课本例 4) 注意:主要把握公式的运用。 例 2(课本例 5) 注意:理解方差的实际意义。 例 3 甲、乙两种冬小麦试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如下(单位: t / hm2) 品种 甲 乙 第1年 98
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第2年 99
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第3年 10 1
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第4年 10 97
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第5年 10 2
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10 3
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10 8
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其中产量比较稳定的小麦品种是
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解:∵ x甲 = 1 ( 9 8 + 9 9 + 10 1 + 10 + 10 2) = 10 0, 5
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x乙
2

= 1 ( 9 4 + 10 3 + 10 8 + 9 7 + 9 8) = 10 0; 5
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s甲 = s乙
2

1 ( 9 82 + ? + 10 22) – 102 = 0 02, 5
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= 1 ( 9 42 + ? + 9 82) – 102 = 0 244 > 0 02 5
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2 2 ∴ s甲 < s乙 ,故产量比较稳定的小麦是甲品种

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例4

对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了 6 次测试,测得他们

最大速度的数据如下: 甲:27,38,30,37,35,31; 乙:33,29,38,34,28,36
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根据以上数据,试判断他们谁更优秀

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分析:根据统计知识可知,需要计算两组数据的 x 与 s 2 ,然后加以比较,最 后再作出判断 解:
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x甲 ?

1 6

( 27 ? 38 ? 30 ? 37 ? 35 ? 31 ) ? 33



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s甲 ?
2

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2

1 5

[ ( 2 ?7

2

3 ? ) 3

? ( 3 8 ? 3 3 ?)
2

(? 0 3

?3 3 ) ?
2

( 3?7
2

3 ?3 )

2

?( 3 5

3 3 )

( 3 1

3

?

1 5

? 9 4 ? 1 8 .8
1 6 ( 33 ? 29 ? 38 ? 34 ? 28 ? 36 ) ? 33
2

x乙 ?
s乙 ?
2


(? 8 3 ?3 3 ) ?
2

1 5

[ ( 3 ?3

3 ? ) 3

?( 2 9 ? 3 3 ?)
2

2

( 3?4
2

3 ?3 )

2

?( 2 8

3 3 )

( 3 6

3

?

1 5

? 7 6 ? 1 5 .2
? s乙
2

2 ∴ x 甲 ? x 乙 , s甲



由此可以说明,甲、乙二人的最大速度的平均值相同,但乙比甲更稳定,故 乙比甲更优秀
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例 5 甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所出 次品数分别为 ? , ? ,且 ? 和 ? 的分布列为:
?

0
6 10

1
1 10

2
3 10

?
P

0
5 10

1
3 10

2
2 10

P

试比较这两名工人谁的技术水平更高 解:? E ? ? 0 ?
E? 6 10 3 ? 1? 1 ? 2? 3 ? 0 .7 10 10 5 2 ? 0? ? 1? ? 2? ? 0 .7 10 10 10

? E? ? E?

,说明两人出的次品数相同,可以认为他们技术水平相当
2

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又? D ? ? ?0 ? 0 . 7 ? ?
D ? ? ?0 ? 0 . 7 ? ?
2

6 10 5 10

? ?1 ? 0 . 7 ? ?
2

1 10 3 10

? ?2 ? 0 .7 ? ?
2

3 10 2 10

? 0 . 81 ? 0 . 61

? ?1 ? 0 . 7 ? ?
2

? ?2 ? 0 .7 ? ?
2

? D? ? D?
?

,说明工人乙的技术比较稳定

可以认为工人乙的技术水平更高 若随机事件 A 在 1 次实验中发生的概率为 p ? 0 ? p ? 1 ? , 用随机变量 ?
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例6

表示 A 在 1 次实验中发生的次数 ①求方差 D ? 的最大值;②求

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2D? ? 1 E?

的最大值

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解:随机变量 ? 的所有可能取值为 0,1,并且有
P (? ? 1) ? p , P (? ? 0) ? 1 ? p

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? E ? ? 0 ? ?1 ? p ? ? 1 ? p ? p
D ? ? ? 0 ? p ? ? ?1 ? p ? ? ?1 ? p ? ? p ? p ? p
2 2 2

1? 1 ? ① D? ? p ? p ? ? ? p ? ? ? 2? 4 ?
2

2

?

0 ? p ?1

?当p ?

1 2

时, D ? 取得最大值,最大值为
? 1 ? ? 2??2p ? ? p? ?
2

1 4



2 D? ? 1 E?

?当p ?

时,取得最大值,最大值为 2 ? 2 2

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四、练习与巩固 课本练习 1、2、3 五、小结
求 E ? 和 D ? 的关键是求 ? 的可能取值的每一个值及相对应的概率
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六、作业布置 1.随机变量 ? ~ B ? 6 ,
? ? 1? ? ,则 P ?? ? 2 ? ? 2?

答案:

15 64 7 6

2.已知某离散型随机变量 ? 的数学期望 E ? ?
?
P

, ? 的分布列如下: 3
b

0
a
b ?

1
1 3

2
1 6

则a ? 答案: ,
3 1 1 6

3.设 ? ~ B ?10 , 0 . 8 ? , ? ? 3? ? 2 ,则 D ? ?
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答案:14 4
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4.口袋中有 5 只球,编号为 1, 2 ,3 , 4 ,5 ,从中任取 3 球,以 ? 表示取出的球的 最大号码,则 E ? =( A、4 答案:C B、5
? ? 1? ? 4?

) C、4 5
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D、4 75
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5.如果 ? ~ B ? 15 ,

,则使 P ?? ? k ? 的最大的 k 值是(



A、3 B、4 C、4 或 5 D、3 或 4 答案:D 6.盒中装有 8 个乒乓球,其中 6 个新的,2 个旧的,从盒中任取 2 个使用, 用完后放回盒中,此时盒中旧球个数 ? 是一个随机变量,请写出以下 ? 的分布
?

2

3

4

P 答案:
1 28 , 3 15 , 7 28

7.若随机变量 ? 的分布列如下表,则 E ? 的值为
?

0
2x

1
3x

2
7x

3
2x

4
3x

5
x

P 答案:
20 9

8.一个筒中放有标号分别为 0,1,2,?,9 的十根竹签,从中任取一根,记所 取出的竹签上的号数为 ? ①写出 ? 的分布列 ②分别求“ ? ? ? , ? ”“ ? ? 7 ”“ 3 . 5 ? ? ? 6 ”的概率 , ,
?2 2? ?1 5?

答案:①
?

0 01
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1
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2
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3
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4
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5
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9
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P
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②0 2 02 03 9.A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A 队队员是 A1,
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A2,A3,B 队队员是 B1,B2,B3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间胜负 概率如下: 对阵队员 A 队队员胜的概率 A 队队员负的概率 A1 对 B1 A2 对 B2 A3 对 B3
2 3 2 5 2 5 1 3 3 5 3 5

现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队、B 队最后所 得总分分别为 ? , ?
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(1)求 ? , ? 的概率分布; (2)求 E ? , E ? 答案: (1) P ?? ? 0 ? ?
P ?? ? 0 ? ? 8 3 25 75 22 15

, P ?? ? 1 ? ?
28 75

2 5

, P ?? ? 2 ? ?
2 5

28 75

, P ?? ? 3 ? ?
3 25

8 75



, P ?? ? 1 ? ? , E? ?
23
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, P ?? ? 2 ? ?

, P ?? ? 3 ? ?



(2) E ? ?

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10.A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A 队队员是 A1、 A2、A3,B 队队员是 B1、B2、B3 按以往多次比赛的统计,对阵队员之间胜负概
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率如下: 对阵队员 A1 对 B1 A2 对 B2 A3 对 B3 A 队队员胜的概 率 2 3 2 5 2 5 A 队队员负的概 率 1 3 3 5 3 5
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现按表中对阵方式出场, 每场胜队得 1 分, 负队得 0 分 设 A 队、 队最后总分 B
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分别为 ?、 ?

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(Ⅰ) 求 ?、 的概率分布; ? (Ⅱ) 求 E?、 E?
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分析:本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念,考查运用概率知 识解决实际问题的能力
2 P(? = 3) = 3 ? 2? 2 ? 8 5 5 75
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解:(Ⅰ) ?、 的可能取值分别为 3, 2, 1, 0 ?

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(即 A 队连胜 3 场) (即 A 队共胜 2 场) (即 A 队恰胜 1 场)

P(? = 2) = 2 ? 3

2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 28 5 5 75 3 5 5 3 5 5

3 3 P(? = 1) = 2 ? 5 ? 5 3

? 1 ? 2 ? 3 ? 1 ? 3 ? 2 ? 30 ? 2 75 5 3 5 5 3 5 5

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3 3 P(? = 0) = 1 ? 5 ? 5 3

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? 9 ? 3 75 25

(即 A 队连负 3 场)

根据题意知 ? +? = 3,所以 8 P(? = 0) = P(? = 3) = 75, P(? = 2) = P(? = 1) = 2 , 5 (Ⅱ) E? = 3 ? P(? = 1) = P(? = 2) = 28 , 75 3 P(? = 3) = P(? = 0) = 25
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8 ? 2 ? 28 ? 1 ? 2 ? 0 ? 3 ? 22 75 75 5 25 15
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23 因为? +? = 3,所以 E? = 3 – E? = 15

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