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2015年重庆市高考理科数学真题试卷(有答案)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数 学(文史类)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合 A = {1, 2,3}, B = {1,3} ,则 A B ? (A) {2}
2

(B) {1, 2}

(C

) {1,3}

(D)

{1, 2,3}

2.“ x = 1 ”是“ x - 2 x +1 = 0 ”的 (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 3.函数 f (x) = log2 (x 2 + 2 x - 3) 的定义域是 (A) [- 3,1] (C) (??, ?3] [1, ??) (B) (- 3,1) (D) (??, ?3)

(1, ??)

4.重庆市 2013 年各月的平均气温(°C)数据的茎叶图如下

则这组数据中的中位数是 (A) 19 (B) 20

(C ) 21.5

(D )23

5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

(A)

1 ? 2? 3 1 3

(B)

13? 6 1 ,则 tan b = 2

(C)

7? 3

(D)

5? 2

6.若 tan a = , tan(a + b ) = (A)

1 5 5 (C) (D) 6 7 6 7.已知非零向量 a, b 满足 |b|=4|a|,且a ? (2a +b ) 则 a与b 的夹角为 p p 2p 5p (A) (B) (C) (D) 3 6 3 2
(B)

1 7

8.执行如图(8)所示的程序框图,则输出 s 的值为 (A)

3 4

(B)

5 6

(C)

11 12

(D)

25 24

x2 y 2 = 1(a > 0, b > 0) 的右焦点是 F,左、右顶点分别是 A1 , A2 ,过 F 做 A1A 2 的垂线 a 2 b2 与双曲线交于 B,C 两点,若 A1B ? A2 C ,则双曲线的渐近线的斜率为
9.设双曲线 (A) ±

1 2

(B) ±

2 2

(C) ± 1

(D) ± 2

? x? y?2?0 4 ? 10.若不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,表示的平面区域为三角形,且其面积等于 ,则 m 的值为 3 ? x ? y ? 2m ? 0 ?
(A)-3 (B) 1 (C)

4 3

(D)3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.复数 (1 + 2i)i 的实部为________. 12.若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点 P 处的切线方程为___________. 13. 设 ?ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c , 且 a = 2, cos C = c=________. 14.设 a, b > 0, a + b = 5 ,则 a +1+ b+3 的最大值为 ________. 15. 在 区 间 [0,5] 上 随 机 地 选 择 一 个 数 p , 则 方 程 x + 2 px +3 p - 2 = 0 有 两 个 负 根 的 概 率 为 ________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分 12 分, (I)小问 7 分, (II)小问 6 分) 已知等差数列 ?an ? 满足 a3 =2,前 3 项和 S3 =
2

1 , 3sin A = 2sin B , 则 4

9 . 2

(I) (II)

求 ?an ? 的通项公式;

设等比数列 ?bn ? 满足 b1 = a1 , b4 = a15 ,求 ?bn ? 前 n 项和 Tn .

17、(本小题满分 13 分, (I)小问 10 分, (II)小问 3 分) 随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额) 如下表: 2010 2011 2012 2013 2014 年份 1 2 3 4 5 时间代号 t 5 6 7 8 10 储蓄存款 y(千亿元) (I) (II) 附:回归方程 求 y 关于 t 的回归方程 用所求回归方程预测该地区 2015 年(t=6)的人民币储蓄存款. 中

18、(本小题满分 13 分, (I)小问 7 分, (II)小问 6 分) 已知函数 f(x)= (I) (II)

1 2 sin2x- 3 cos x . 2

求 f(x)的最小周期和最小值; 将函数 f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数 g(x) 的图像.当 x ? ?

?? ? , ? 时,求 g(x)的值域. ?2 ? ?

19、(本小题满分 12 分, (I)小问 4 分, (II)小问 8 分) 已知函数 f(x)=a x + x (a ? R)在 x= ?
3 2

4 处取得极值. 3

(I) (II)

确定 a 的值; 若 g(x)= f(x) e ,讨论的单调性.
x

20、(本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分) 如题(20)图,三棱锥 P-ABC 中,平面 PAC ? 平面 ABC, ? ABC= AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点 F 在线段 AB 上,且 EF//BC. (I) 证明:AB ? 平面 PFE.

? ,点 D、E 在线段 AC 上,且 2

(II)

若四棱锥 P-DFBC 的体积为 7,求线段 BC 的长.

21、(本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分)

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b >0)的左右焦点分别为 F1 , F2 ,且过 F2 的直线交 a 2 b2 椭圆于 P,Q 两点,且 PQ ? PF1 .
如题(21)图,椭圆

(I)
(II)

若| PF1 |=2+ 2 ,| PF2 |=2- 2 ,求椭圆的标准方程. 若|PQ|= ? | PF1 |,且
3 4 ? ? ? ,试确定椭圆离心率的取值范围. 4 3

答案 一.选择题 1. C 2.A 二.填空题 11. -2 12.x+2y-5=0 13.4 14. 3 2 15.

3.D

4.B

5.B

6.A

7.C

8.D

9.C

10.B

2 3

三.解答题 16.解: (1)设 {an } 的公差为 d,则由已知条件得

3? 2 9 d= , 2 2 3 化简得 a1 + 2d = 2, a1 + d = , 2 1 解得 a1 =1,d = , 2 n- 1 n +1 故通项公式 an =1+ ,即 an = . 2 2 15+1 =8 . (2)由(1)得 b1 =1,b4 =a15 = 2 b 3 设 {bn } 的公比为 q,则 q = 4 = 8 ,从而 q = 2 . b1 a1 + 2d = 2,3a1 +
故 {bn } 的前 n 项和

Tn =

b1 (1 - q n ) 1? (1 2n ) = = 2n - 1 . 1- q 1- 2

17. 解: (Ⅰ)列表计算如下

这里 n = 5, t = 又 lnt =
n

1 n 15 1 ti = = 3, y = 邋 n i =1 5 n
2

n i =1

yi =
n i =1

36 = 7.2. 5 ti yi - nt y = 120 - 5创 3 7.2 = 12.

t - nt 邋
i =1 i

= 55 - 5? 32 10, lny =

12 ? = 7.2 - 1.2? 3 3.6 . ? = y - bt = 1.2, a lnt 10 ? = 1.2t +3.6 . 故所求回归方程为 y (Ⅱ)将 t = 6 代入回归方程可预测该地区 2015 年的人民币储蓄存款为 ? = 1.2? 6 3.6 = 10.8(千亿元). y ?= 从而 b =
1 1 3 sin 2 x - 3 cos 2 x = sin 2 x (1 + cos 2 x) 2 2 2 1 3 3 p 3 , = sin 2 x cos 2 x = sin(2 x - ) 2 2 2 3 2 2+ 3 因此 f ( x ) 的最小正周期为 p ,最小值为 . 2 p 3 (Ⅱ)由条件可知: g( x) = sin( x - ) . 3 2 p p p 2p p 1 p 3 [ , ] ,从而 sin( x - ) 的值域为 [ ,1] ,那么 sin( x - ) 当 x ? [ , p ] 时,有 x 的值域 2 3 6 3 3 2 3 2 1- 3 2 - 3 , ]. 为[ 2 2 p 1- 3 2 - 3 , ]. 故 g( x) 在区间 [ , p ] 上的值域是 [ 2 2 2
18. 解: (Ⅰ) f ( x) = 19. 解: (Ⅰ)对 f ( x ) 求导得 f ? ( x) = 3ax2 + 2 x 因为 f ( x ) 在 x = -

lny

4 4 (- ) = 0 , 处取得极值,所以 f ? 3 3

16 4 16a 8 1 2? ( ) = - = 0 ,解得 a = . 9 3 3 3 2 骣 1 3 2 x (Ⅱ)由(Ⅰ)得, g( x) = 琪 琪 x +x e , 2 桫 骣 骣 1 3 2 1 3 2 x 骣 1 3 5 2 x x x 故 g? ( x) = 琪 琪 x + 2x e +琪 琪 x +x e =琪 琪 x + x + 2 x e = 2 x( x +1)( x + 4)e 2 2 2 2 桫 桫 桫 令 g? ( x) = 0 ,解得 x = 0, x = - 1或x=-4 . 当 x < -4 时, g? ( x) < 0 ,故 g( x) 为减函数; 当 - 4 < x < - 1 时, g? ( x) > 0 ,故 g( x) 为增函数; ( x) < 0 ,故 g( x) 为减函数; 当 -1 < x < 0 时, g? 当 x > 0 时, g? ( x) > 0 ,故 g( x) 为增函数; 综上知 g( x) 在 (- ? , 4)和(- 1,0) 内为减函数, (- 4, - 1)和(0, + ) 内为增函数.
即 3a ? 20. (Ⅰ)证明:如题(20)图.由 DE=EC,PD=PC 知,E 为等腰 D PDC 中 DC 边的中点,故 PE ^ AC,

P

A

D F
题(20)图

E

C

B

又平面 PAC ^ 平面 ABC,平面 PAC ? 平面 ABC=AC,PE ? 平面 PAC,PE ^ AC,所以 PE ^ 平 面 ABC,从而 PE ^ AB.

ABC= 因衈

p , EF BC , 故AB 2

EF .

从而 AB 与平面 PEF 内两条相交直线 PE,EF 都垂直, 所以 AB ^ 平面 PFE. (Ⅱ)解:设 BC=x ,则在直角 D ABC 中,

1 1 AB= AC2 - BC 2 = 36 - x2 .从而 SDABC = AB? BC= x 36 x 2 2 2 AF AE 2 S 2 4 AEF D ABC ,故 DAEF = ( )2 = , = = ,得 D 由 EF BC ,知 AB AC 3 SDABC 3 9 4 即 SDAEF = SDABC . 9 1 1 1 4 2 1 SDABC = x 36 - x 2 , 由 AD= AE , SDAFB = SDAFE = ? SDABC 2 2 2 9 9 9 1 1 7 2 2 x 36 - x 2 从而四边形 DFBC 的面积为 SDFBC = SDABC -SDADF = x 36 - x - x 36 - x = 2 9 18
由(Ⅰ)知,PE ^ 平面 ABC,所以 PE 为四棱锥 P-DFBC 的高.

PEC 中, PE= PC2 - EC 2 = 42 - 22 = 2 3 , 在直角 D

1 1 7 x 36 x 2 ?2 3 7 , 3 3 18 4 2 2 2 故得 x - 36 x + 243 = 0 ,解得 x = 9或x = 7 ,由于 x > 0 ,可得 x = 3或x = 3 3 . SDFBC PE = ? 体积 VP - DFBC = 鬃
所以 BC = 3或BC = 3 3 . 21. 解: (Ⅰ)由椭圆的定义, 2a =| PF 1 | + | PF 2 |= 2 + 2 + 2 设椭圆的半焦距为 c,由已知 PF 1 ^ PF 2 ,因此

(

) (

2 = 4,故a=2.

)

2c =| F1F2 |= | PF1 |2 + | PF2 |2 =
从而 b = a2 - c2 = 1

(

2+ 2

) (
2

+ 2-

2

)

2

= 2 3, 即 c= 3.

x2 2 +y =1 . 故所求椭圆的标准方程为 4 (Ⅱ)如题(21)图,由 P F 1 ^ PQ,| PQ |= l | P F 1 | ,得
| QF1 |= | PF1 |2 + | PQ |2 = 1 + l 2 | PF1 |
由椭圆的定义, | PF 1 | + | PF 2 |= 2a,| QF 1 | + | QF 2 |= 2a ,进而 | PF 1 | + | PQ | + | QF 1 |= 4a
2 于是 (1 + l + 1 + l ) | PF1 |= 4a .

解得 | PF 1 |=

4a

1+l + 1+l 2 1+l + 1+l 2 2 2 2 2 由勾股定理得 | PF , | PF2 | = (2c) = 4c 1 | +| P F 2 | =

,故 | PF2 |= 2a - | PF 1 |=

2a(l + 1 + l 2 - 1)
2

.

骣 4a 从而 琪 琪 1+l + 1+l 桫
两边除以 4 a ,得
2

2 2

骣 2a(l + 1 + l 2 - 1) +琪 琪 2 桫 1+l + 1+l
1
2 2

2

= 4c 2 ,
= e2 ,
2

(1 + l + 1 + l ) (1 + l + 1 + l )
2

+

(l + 1 + l 2 - 1) 2
2

若记 t = 1 + l + 1 + l 由

2

,则上式变成 e2 =

骣 4 + (t - 2)2 1 1 = 8琪 琪2 t t 4 桫

1 + . 2
4, 即

3 ?l 4

4 , 并注意到 1 + l + 1 + l 2 关于 l 的单调性, 得3 ? t 3

1 1 1 1 2 < , 进而 < e 4 t 3 2

5 , 9



2 <e 2

5 . 3


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