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2017届河北省武邑中学高三上学期周考数学(文)试题(解析版)


2017 届河北省武邑中学高三上学期周考数学(文)试题
一、选择题 1.若集合 A ? { y | y ? 2 x , x ? R} , B ? { y | y ? x 2 , x ? R} ,则( ) C. A ? B

B A. A D. A ? B ? ?
【答案】A

B. B

A

>
【解析】试题分析:因 A ? { y | y ? 0}, B ? { y | y ? 0} ,故应选 A. 【考点】集合的包含关系. 2.方程 a|x| ? x 2 (0 ? a ? 1) 的解的个数为( A.0 个 D.2 个 【答案】D B.1 个 ) C . 0 个或 1 个

【解析】试题分析:结合函数的图象可知:函数 y ? x 2 与函数 y ? a|x| (0 ? a ? 1) 有两个 不同的交点,故应选 D. 【考点】指数函数、幂函数的图象与性质. 3.一辆汽车在某段路程中的行使路程 s 关于时间 t 变化的图象如图所示,那么图象对应 的函数模型是( )

A.一次函数 B.二次函数 C.指数函数 D.对数函 数 【答案】A 【解析】试题分析:由函数的图象的形式可知该函数的解析式一定是一次函数,故应选 A. 【考点】一次函数的图象. 4.已知 0 ? a ? 1 , x ? loga 则( ) A. x ? y ? z D. z ? x ? y 【答案】C 【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 x ? loga

2 ? loga 3 , y ? log a 5 , z ? loga 21 ? loga 3 ,
B. z ? y ? x C. y ? x ? z

1 2

6, y ? loga 5, z ? loga 7 , 由 于 0 ? a ? 1 , 故

y ? x ? z ,故应选 C.
【考点】对数函数的单调性. 5.如图给出了一种植物生长时间 t (月)与枝数 y (枝)之间的散点图. 请你根据此 判断这种植物生长的时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好?( )

第 1 页 共 9 页

A.指数函数: y ? 2t C.幂函数: y ? t 3 【答案】A

B.对数函数: y ? log2 t D.二次函数: y ? 2t 2

【解析】 试题分析:由题设中提供的图象信息可以推知这些散点在指数函数 y ? 2t 的图 象上,故应选 A. 【考点】指数函数的图象. 6. 根据统计资料, 我国能源生产自 1992 年以来发展很快, 下面是我国能源生产总量 (折 合亿吨标准煤)的几个统计数据:1992 年 8.6 亿吨,5 年后的 1997 年 10.4 亿吨,10 年后的 2002 年 12.9 亿吨. 有关专家预测,到 2007 年我国能源总量将达到 16.1 亿吨, 则专家是依据哪一类型函数作为数学模型进行预测的( ) A.一次函数 B.二次函数 C.指数函数 D.对数函数 【答案】B 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 题 设 可 设 函 数 的 解 析 式 y ? ax ? bx ? c 将
2

A(0,8.6), B(5,10.4), C (10,12.9) 代 入 可 解 得 a ? 0.014, b ? 0.26, c ? 8.6 , 则

y ? 0.014x 2 ? 0.26x ? 8.6 ,再 D(15,16.1) 成立,故应选 B.
【考点】二次函数的定义及运用.

B ? { y | y ? ( ) x ,0 ? x ? 1} , 7. 已知集合 A ? { y | y ? log2 x, x ? 1}, 则 A? B ? (
A . (0, ) D. (0,2) 【答案】C 【解析】试题分析:因 A ? { y | y ? 0}, B ? { y | 故应选 C. 【考点】指数函数、对数函数的图象和性质.
x 8.已知集合 A ? { y | y ? log2 x, x ? 1}, B ? { y | y ? ( ) , x ? 1} ,则 A ? B ? (

1 2



1 2

B . ( ,?? )

1 2

C . ( ,1)

1 2

1 1 ? y ? 1} ,故 A ? B ? { y | ? y ? 1} , 2 2

1 2



A. { y | 0 ? y ? }

1 2

B. { y | 0 ? y ? 1} 第 2 页 共 9 页

C. { y |

1 ? y ? 1} 2

D. ? 【答案】A 【解析】 试题分析: 因 A ? { y | y ? 0}, B ? { y | 0 ? y ? } ,故 A ? B ? { y | 0 ? y ? } , 故应选 A. 【考点】指数函数、对数函数的图象和性质.
2 2 2 9.已知 loga ( x1 x2 ? x2006 ) ? 4 ,则 loga x1 ? loga x2 ? ? ? loga x2006 ) 的值是(

1 2

1 2



A. 4 D. loga 4 【答案】B 【 解 析 】 试 题 分 析 :

B. 8

C. 2





















2 2 loga ( x12 ? loga x2 ? ? ? loga x2006 ) ? 2 loga ( x1 x2 ? ? ? x2006 ) ? 8 ,故应选 B.

【考点】对数的运算性质. 10.已知 m ? 0.9 , n ? 5.1 , p ? log0.9 5.1 ,则这三个数的大小关系是(
5.1 0.9



A. m ? n ? p D. p ? n ? m 【答案】C

B. m ? p ? n

C. p ? m ? n

5.1 【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 0 ? 0.9 ? 1 , 故 m ? 0.9 ? 1 ; 又 因 5.1 ? 1,0.9 ? 0 , 故

n ? 5.10.9 ? 1 ;又因 0 ? 0.9 ? 1,5.1 ? 1 ,故 p ? log0.9 5.1 ? 0 ,故应选 C.
【考点】指数、对数、幂指数的运算与性质. 【易错点晴】指数函数、对数函数、幂函数是高中数学中重要的基本初等函数, 指数函 数、对数函数、幂函数的图象和性质不仅是高中数学的重要内容和考点,也是解答数学 问题的重要思想和方法.解答本题时,要借助题设条件,综合运用指数、对数、幂指的运 算性质,依据不等式的性质分别算出 m ? 0.9 从而获得正确答案. 11.函数 y ? lg
5.1

? 1 , n ? 5.10.9 ? 1 , p ? log0.9 5.1 ? 0 ,

1 的图象大致是( x ?1



【答案】A 【解析】试题分析:由于 x ? 1 且 x ? 1 ? 0 ,函数 y ? lg

1 是单调递减函数 ,故应选 x ?1

A. 【考点】对数函数的单调性. 【易错点晴】对数函数是高中数学中重要的基本初等函数之一,对数函数的图象和性质 第 3 页 共 9 页

不仅是高中数学的重要内容和考点,也是解答数学问题的重要思想和方法.解答本题时, 要充分运用题设条件,借助对数函数的图象和性质,结合题设中所提供的图形信息,综合 运用所学知识进行分析和推断 ,从而判断出与函数所给 y ? lg 象,进而使得问题获解. 12. 若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在区间 [a, 则a等 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍, 于( A. )

1 的图象相匹配的图 x ?1

2 4
1 2

B.

2 2

C.

1 4

D.

【答案】A 【解析】试题分析:因 0 ? a ? 1 ,故函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 是单调递减函数,所 以 f max ( x) ? f (a) ? 1, f min ( x) ? f (2a) ? loga 2a , 由 题 设 可 得 log a 2a ?

1 ,即 3

(2a)3 ? a ,故 a ?

2 ,应选 A. 4

【考点】对数函数的图象和性质及运用. 【易错点晴】指数函数对数函数是高中数学中重要的基本初等函数,指数函数与对数函 数的图象和性质不仅是高中数学的重要内容 ,也是解答数学问题的重要思想和方法 .解 答 本 题 时 , 要 充 分 运 用 题 设 条 件 , 借 助 当 因 0 ? a ?1 , 故 对 数 函 数

f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 是 单 调 递 减 函 数 这 一 性 质 , 分 别 求 出 函 数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1)
的 最 大 值 和 最 小 值

f max ( x) ? f (a) ? 1, f min ( x) ? f (2a) ? loga 2a .再依据题设建立方程 log a 2a ?
后通过解方程求得 a ?

1 ,最 3

2 . 4

评卷人

得分 二、填空题

13.已知函数 f ( x) ? log3 【答案】 4 或 0

2 x 2 ? bx ? c 的值域为 [0,1] ,则 b 与 c 的和为 x2 ? 1

.

2 x 2 ? bx ? c ?1 , ∴ 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 题 设 可 得 0 ? l o3 g 2 x ?1

第 4 页 共 9 页

? 2 x 2 ? bx ? c ?1 2 ? ? ? x2 ? 1 ? x ? bx ? c ? 1 ? 0 ? , ? 2 ? 2 ? 2 x ? bx ? c x ? bx ? 3 ? c ? 0 ? ?3 ? ? ? x2 ? 1
2 ? ??1 ? 0 2 x 2 ? bx ? c ??1 ? b ? 4(c ? 1) ? 0 ? 1 取等号. ,当且仅当 ? 时, 0 ? log3 ? 2 x2 ? 1 ? ?? 2 ? 0 ?? 2 ? b ? 4(3 ? c) ? 0

解方程组可得 ?

?b ? 2 ?b ? ?2 或? ,故 b ? c ? 4 或 0 ,应填 4 或 0 . c ? 2 c ? 2 ? ?

【考点】函数的值域和对数函数的图象和性质及有关知识的综合运用. 【易错点晴】函数的值域问题一直是高中数学中难点之一,本题将分式函数与对数函数 进行有机地整合,有效地考查和检测学生综合运用所学知识去分析问题解决问题的能力 和一些数学思想方法的灵活运用.解答时,要充分利用题设中所提供的值域,逆向分析和 推证 , 最后将不等式组转化为方程组的问题 , 通过解方程组求得参数 b, c 的值 , 再求得

b ? c ? 4或0 .
1 的解是 9 【答案】 x ? ?1
14.方程 3
x ?1

?

.

【解析】试题分析:由题设可知 3x?1 ? 3?2 ,故 x ? 1 ? ?2 ,即 x ? ?1 ,故应填 x ? ?1 . 【考点】指数方程. 15.方程

1 ? 3? x ? 3 的解是 1 ? 3x

.

【答案】 x ? ?1 【解析】试题分析:将方程的左右两边都乘以 3 可得
x

3x ? 1 ? 3 ? 3x , 即 3 x?1 ? 1 , 故 1 ? 3x

x ? 1 ? 0 , x ? ?1 ,应填 x ? ?1 . 【考点】指数的运算性质及运用.
16.函数 y ? log 1 ( x ? 2 x) 的定义域是
2 2

,单调递减区间是

.

【答案】 (??,0) ? (2,??)

(2,??)

2 2 【解析】 试题分析: 令 u( x) ? x ? 2 x ,其对称轴 x ? 1 ,当 x ? 1 时,函数 u( x) ? x ? 2 x 2 单 调 递 减 ; 当 x ? 1 时 , 函 数 u( x) ? x ? 2 x 单 调 递 增 . 由 于 当 x ? 1 时 , 函 数

u( x) ? x 2 ? 2x ? 0 , 即 x ? 0 或 x ? 2 时 函 数 y ? log1 ( x 2 ? 2 x) 有 意 义 , 故 函 数
2

y ? log1 ( x ? 2 x) 的 定 义 域 是 (??,0) ? (2,??) , 单 调 递 减 区 间 是 (2,??) , 故 应 填
2 2

(??,0) ? (2,??) 和 (2,??) .
【考点】对数函数和二次函数复合而成的函数的单调性及运用. 第 5 页 共 9 页

【易错点晴】复合函数的有关问题是高中数学中难点之一,本题将二次函数与对数函数 进行有机地整合,有效地考查和检测学生综合运用所学知识去分析问题解决问题的能力 和一些数学思想方法的灵活运用.解答本题的关键是先求出函数 y ? log1 ( x ? 2 x) 的
2 2

定义域,然后在定义域内判断二次函数的单调情况和最值情况 ,最后再运用复合函数的 单调性,求出其单调递减区间和值域分别为 (??,0) ? (2,??) 和 (2,??) .

评卷人

得分 三、解答题

17.已知 lg x ? lg y ? 2 lg( x ? 2 y) ,求 log 【答案】 4 .

2

x 的值. y

【解析】试题分析:借助题设条件运用对数运算的性质求出 试题解析:

x 即可求解. y

2 由已知得 xy ? ( x ? 2 y) ,即 ( x ? y)(x ? 4 y) ? 0 ,得 x ? y 或 x ? 4 y .

∵ x ? 0 , y ? 0 , x ? 2 y ? 0 ,∴ x ? 2 y ? 0 . ∴ x ? y 应舍去. ∴ x ? 4 y ,即

x ? 4. y

∴ log

2

x ? log 2 4 ? 4 . y

【考点】对数运算的性质及有关知识的综合运用.

1? x ( a ? 0 且 a ? 1 )在 (1,??) 上的单调性,并予以证明. x ?1 1? x 【 答 案 】 当 a ? 1 时 , f ( x) ? l oga 在 (1,??) 上 为 减 函 数 ; 当 0 ? a ? 1 时 , x ?1 1? x f ( x) ? l oga 在 (1,??) 上为增函数. x ?1
18.讨论函数 f ( x) ? log a 【解析】试题分析:借助题设条件对底数 a 分类讨论,运用单调性的定义进行推证求解. 试题解析: 设u ?

1? x ,任取 x2 ? x1 ? 1 ,则 x ?1

u2 ? u1 ?

1 ? x2 1 ? x1 (1 ? x2 )(x1 ? 1) ? (1 ? x1 )(x2 ? 1) 2( x1 ? x2 ) , ? ? ? x2 ? 1 x1 ? 1 ( x2 ? 1)(x1 ? 1) ( x2 ? 1)(x1 ? 1)

∵ x1 ? 1, x2 ? 1 ,∴ x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 . 又∵ x2 ? x1 ,∴ x1 ? x2 ? 0 .

第 6 页 共 9 页



2( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 u2 ? u1 . ( x2 ? 1)(x1 ? 1)

当 a ? 1 时, y ? loga x 是增函数,∴ loga u2 ? loga u1 ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ; 当 0 ? a ? 1 时, y ? loga x 是减函数,∴ loga u2 ? loga u1 ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) .

1? x 在 (1,??) 上为减函数; x ?1 1? x 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) ? log a 在 (1,??) 上为增函数. x ?1
综上,当 a ? 1 时, f ( x) ? log a 【考点】对数函数单调性及有关知识的综合运用. 19.解不等式 loga (2x ? 5) ? loga ( x ? 1) . 【答案】当 a ? 1 时,解集为 {x | x ? 4} ;当 0 ? a ? 1 时,解集为 {x |

5 ? x ? 4} . 2

【解析】试题分析:借助题设条件运用对数函数单调性转化分析求解. 试题解析:

?2 x ? 5 ? 0 ? 当 a ? 1 时,原不等式等价于 ? x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 4 . ?2 x ? 5 ? x ? 1 ? ?2 x ? 5 ? 0 5 ? 当 0 ? a ? 1 时,原不等式等价于 ? x ? 1 ? 0 ,解得 ? x ? 4 . 2 ?2 x ? 5 ? x ? 1 ?
综上,当 a ? 1 时,原不等式的解集为 {x | x ? 4} ; 当 0 ? a ? 1 时,原不等式的解集为 {x |

5 ? x ? 4} . 2

【考点】对数函数的单调性及有关知识的综合运用. 20.设 a 是实数, f ( x ) ? a ?

2 ( x ? R) . 2 ?1
x

(1)证明不论 a 为何实数, f ( x) 均为增函数; (2)试确定 a 的值,使 f (? x) ? f ( x) ? 0 成立. 【答案】(1)证明见解析;(2) a ? 1 . 【解析】试题分析:(1)借助题设条件运用单调函数的定义推证;(2)借助题设条件运用 指数运算的性质求解. 试题解析: (1)证明:设 x1,x2 ? R 且 x1 ? x2 , ?x ? x1 ? x2 ? 0 ,则

?y ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?


2 2 2 2 2(2 x1 ? 2 x2 ) ) ? ( a ? ) ? ? ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

第 7 页 共 9 页

x x ∵函数 y ? 2 x 在 R 上是增函数且 x1 ? x2 ,∴ 2 1 ? 2 2 ,即 2 1 ? 2 2 ? 0 .

x

x

又由 2 x ? 0 得 2 1 ? 1 ? 1 , 2 2 ? 1 ? 1 , ∴ ?y ? 0 .
x x

∵此结论与 a 的取值无关,∴不论 a 为何实数, f ( x) 均为增函数. (2)解:由 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,得 a ?

2 2 ?a? x ? 0, 2 ?1 2 ?1
?x

2 ? 2x 2 2(2 x ? 1) ∴ 2a ? ? x ? ? x ? 2 ,∴ a ? 1 . (2 ? 1) ? 2 x 2 x ? 1 2 ?1
【考点】函数的单调性定义和指数运算的性质及有关知识的综合运用. 21.求函数 y ? log1 ( x ? 5x ? 4) 的定义域、值域和单调区间.
2 3

【答案】定义域为 (??,1) ? (4,??) ,值域是 R ,单调区间是 (?? , ) 和 [ ,?? ) . 【解析】试题分析:借助题设条件运用对数和二次函数的复合函数的知识求解. 试题解析: . ? ( x) ? x 2 ? 5x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 4 或 x ? 1 ,∴ x ? (??,1) ? (4,??) 当 x ? (??,1) ? (4,??) 时, {? | ? ? x 2 ? 5x ? 4} ? R ? ,∴函数 ? ( x) 的值域是 R .
?

5 2

5 2

∵函数 y ? log1 ( x ? 5x ? 4) 是由 y ? log1
2 3
3

? ( x) 与 ? ( x) ? x 2 ? 5x ? 4 复合而成,

函数 y ? log1
3

? ( x) 在其定义域上是单调递减的,
5 2

5 2 2 考虑到函数的定义域及复合函数单调性, 函数 y ? log1 ( x ? 5x ? 4) 的增区间是定义域
2 函数 ? ( x) ? x ? 5x ? 4 在 (?? , ) 上为减函数,在 [ ,?? ) 上为增函数,

3

内使 y ? log1
3

? ( x) 为减函数, ? ( x) ? x ? 5x ? 4 也为减函数的区间,即 (??,1) ;
2

函数 y ?log 1 ( x ? 5 x ? 4) 的 减 区 间 是 定 义 域 内 使 y ? log1
2 3
3

? ( x) 为 减 函 数 ,

. ? ( x) ? x 2 ? 5x ? 4 为增函数的区间,即 (4,??) 【考点】对数函数、二次函数的图象与性质等有关知识的综合运用. 【易错点晴】复合函数的有关问题一直是高中数学中难点之一,本题将二次函数与对数 函数进行有机地整合,有效地考查和检测学生综合运用所学知识去分析问题解决问题的 能力和一些数学思想方法的灵活运用.解答本题的关键是先求出函数

y ? log1 ( x 2 ? 5x ? 4) 的定义域为 (??,1) 或 (4,??) , 然后在定义域内判断二次函数
3

? ( x) ? x 2 ? 5x ? 4 的单调情况,最后再运用复合函数的单调性,求出其单调递增区间为
,单调递减区间为 (??,1) . (4,??)

第 8 页 共 9 页

22.已知函数 f ( x) ? log3

2 x 2 ? bx ? c 的值域为 [0,1] ,求 b 和 c 的值. x2 ? 1

【答案】 ?

?b ? 2 ?b ? ?2 或? . ?c ? 2 ?c ? 2

【解析】试题分析:借助题设条件运用最大值和最小值的定义建立不等式组和方程组求 解. 试题解析: 函数 f ( x) ? log3

2 x 2 ? bx ? c 的值域为 [0,1] , x2 ? 1

? 2 x 2 ? bx ? c ?1 2 ? ? 2 x 2 ? bx ? c ? x2 ? 1 ? x ? bx ? c ? 1 ? 0 ?? 2 ? 1 ,∴ ? 2 即 0 ? log3 , x2 ? 1 ? 2 x ? bx ? c ? 3 ? ? x ? bx ? 3 ? c ? 0 ? ? x2 ? 1
2 ? ??1 ? 0 2 x 2 ? bx ? c ??1 ? b ? 4(c ? 1) ? 0 ? 1 取等号. ,当且仅当 ? 时, 0 ? log3 ? 2 x2 ? 1 ? ?? 2 ? 0 ?? 2 ? b ? 4(3 ? c) ? 0

解方程组可得 ?

?b ? 2 ?b ? ?2 或? . ?c ? 2 ?c ? 2

【考点】函数的值域和最大最小值等有关知识的综合运用. 【易错点晴】函数的值域问题一直是高中数学中难点之一,本题将分式函数与对数函数 进行有机地整合,有效地考查和检测学生综合运用所学知识去分析问题解决问题的能力 和一些数学思想方法的灵活运用.解答时,要充分利用题设中所提供的值域,逆向分析和 推证,最后将不等式组转化为方程组的问题,通过解方程组求得参数 b, c 的值,从而使得 问题获解.

第 9 页 共 9 页


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