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排列应用题常用解题思想解题方法例析论文


排列应用题常用解题思想及解题方法例析 排列应用题是数学教学中的难点,本文就其解题思想及解题方 法举例做些分析,以期能对数学学习者有所启示. 一、常用解题思想 1 ?化归思想 解题意味着什么——就是把所要解决的问题转化为已经解决的问 题. 例 1 同室 4 人各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张 别人的贺卡,求不同的分配方式. 分析我们建立数学模型转化为数学问题——用 1,2,3,4 这 4 个 数字组成无重复数字的四位数,其中 1 不在个位,2 不在十位,3 不在百位,4 不在千位的四位数共有多少个? 2 ?对称思想 挖掘题目中隐含的对称性,运用对称思维解题,能得到简捷的解 法. 例 2a,b,c,d,e 五人并排站成一排,b 必须在 a 的右边(a 与 b 可以不相邻) ,有多少种不同的排法? 分析考虑对称性,b 在 a 的右边与 b 在 a 的左边的机会均等,所以 排列为 a552=60(种). 3 ?逆反思想 对有些数学问题,如果从正面去探求常常一筹莫展,但是若改变 一下思维的角度,从问题的反面进行逆向思考,常能找到解题的方 法. 例 3 一个小组共有 10 名同学,其中 4 名女同学,6 名男同学,要 从小组内选出 3 名代表进行排列,要求至少有一名女同学,一共有 多少种排法? 分析至少一名女同学包括三类.第一类:1 名女生,2 名男生;第 二类:2 名女生,1 名男生;第三类:3 名都是女生. 所以正面考虑的话,就是 c14×c26×a33+c24×c16× a33+a34=600(种)排法.现在我们考虑反面:3 名都是男生的排法有 a36=120(种),所以有 a310-120=600(种). 二、几种方法 1 ?特征分析法 例 4 由 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字可以组成多少个无重复数字 且是 6 的倍数的五位数? 分析一个数是 6 的倍数,与一个数是 2 的倍数且是 3 的倍数是等 价的,而其中为 3 的倍数的数必须满足“各个数位上的数字之和是 3 的倍数” ,因此,满足题意要求的五位数应有以下几类可能: 第一类:1,2,4,5,6 做数码,有 72 种;第二类:1,2,3,4, 5 做数码,有 48 种. 那么根据分类加法计数原理,符合题意的五位数就有 72+48=120(种). 注所谓“特征分析法” ,就是以事物的特征(本质属性)为突破口, 寻找解题思路的方法,当问题比较复杂的时候,还要注意分类和分 步. 2 ?元素、位置分析法 元素及其所占的位置,这是排列问题中的两个基本要素,以元素 为主,分析各种可能性,称为“元素分析法” ;以位置为主,分析 各种可能性,称为“位置分析法”. 例 53 封不同的信,有 4 个信箱可供投递,共有多少种投递方法? 解法一元素分析法(以信为主). 第一步:投第一封信,有 4 种. 第二步:投第二封信,有 4 种. 第三步:投第三封信,有 4 种. 所以共有 64 种. 解法二位置分析法(以信箱为主). 第一类:四个信箱中某一个信箱有 3 封信的有 4 种. 第二类:四个信箱中某一个信箱有 1 封信,一个信箱有 2 封信, 有 c13×c22×a24=36(种). 第三类:四个信箱中某三个信箱各有 1 封信的收信方法有 24 种. 因此收信方法共有 4+36+24=64(种). 注不少排列组合的问题中,某个元素或某个位置有特殊的作用, 这个特殊元素或特殊位置是解题的关键,抓住关键进行展开,问题 往往就会迎刃而解,如此例中的“数学课”或“体育课”便是特殊 元素. 3 ?二分

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