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【金版新学案】2013版高考数学总复习 课时作业44 均值不等式 理 新人教B版


课时作业(四十四)
A 级

均值不等式
2 2

?a+b?2≤a +b , 1.(2012·太原模拟)设 a,b∈R,已知命题 p:a +b ≤2ab;命题 q:? ? 2 ? 2 ?
2 2

则 p 是 q 成立的(

) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要

条件

A.必要不充分条件 C.充分必要条件

1 2.已知 f(x)=x+ -2(x<0),则 f(x)有(

x

)

A.最大值为 0 C.最大值为-4

B.最小值为 0 D.最小值为-4 ) 1 ≥2(x≠kπ ,k∈Z) sin x

3.(2012·福建卷)下列不等式一定成立的是(

? 2 1? A.lg?x + ?>lg x(x>0) 4? ?
C.x +1≥2|x|(x∈R)
2

B.sin x+ D. 1

x2+1

>1(x∈R)

→ → → 4.设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若 A,

B,C 三点共线,则 + 的最小值是( a b
A.4 C.8

1 2

) B.6 D.10

5.(2011·北京卷)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批 生产 x 件,则平均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产 8 品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( A.60 件 C.100 件 B.80 件 D.120 件 )

x

6.已知 x,y 为正实数,且满足 4x+3y=12,则 xy 的最大值为________. 1 1 7.(2013·西安长安一中质检)已知 a>0,b>0,且 ln(a+b)=0,则 + 的最小值是

a b

________. 8.(2012·豫西五校联考)已知 a,b∈R,且 ab=50,则|a+2b|的最小值是________. 9.当 x -2x<8 时,函数 y=
2

x2-x-5 的最小值是________. x+ 2

10.(1)求函数 y=x(a-2x)(x>0,a 为大于 2x 的常数)的最大值; 2 5 (2)已知 x>0,y>0,lg x+lg y=1,求 z= + 的 最小值.

x y

1

11.已知 lg(3x)+lg y=lg(x+y+1). (1 )求 xy 的最小值; (2)求 x+y 的最小值.

B



1.(2012·陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均 时速为 v,则( ) B.v= ab D.v=

A.a<v< ab C. ab<v<

a+b
2

a+b
2
2

2.(2012·皖北四市联考)已知二次函数 f(x)=ax +2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞), 则

a+1 c+1 + 的最小值为__________. c a
3.某种商品原来每件售价为 25 元,年销售 8 万件. (1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2 000 件,要使销售的总收入

不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革 1 2 新和营销策略改革,并提高定价到 x 元.公司拟投入 (x -600)万元作为技改费用,投入 50 6 1 万元作为固定宣传费用,投入 x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量 a 5 至少应达到多少万件时, 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时 商品的每件定价.

2

详解答案 课时作业(四十四) A
2


2

1.B 命题 p:(a-b) ≤0?a=b;命题 q:(a-b) ≥0.显然,由 p 可得 q 成立, 但由

q 不能推出 p 成立,故 p 是 q 的充分不必要条件.
2.C ∵x<0,∴-x>0, 1 ? 1 ? ∴x+ -2=-?-x+ ?-2≤-2 -x? x ? ? 1 -x? · -2=-4, -x

1 当且仅当-x= ,即 x=-1 时,等号成立. -x 3.C 应用基本不等式:x,y∈R ,


x+y
2

≥ xy(当且仅当 x=y 时取等号)逐个分析,

1 1 ? 2 1? 注意基本不等式的应用条件及取等号的条件. 当 x>0 时, x2+ ≥2·x· =x, 所以 lg?x + ? 4? 4 2 ? ≥lg x(x>0),故选项 A 不正确;运用基本不等式时需保证一正二定三相等,而当 x≠kπ ,

k∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项 B 不正确;由基本不等式可知,选项 C 正确;当 x=0
时,有 1

x2+1

=1,故选项 D 不正确.

→ → → → → → 4.C AB=OB-OA=(a-1,1),AC=OC-OA=(-b-1,2), → → ∵AB与AC共线,∴2(a-1)+b+1=0,即 2a+b=1. ∵a>0,b>0, 1 2 ?1 2? b 4a ∴ + =? + ?(2a+b)=4+ + ≥4+4=8,

a b ?a b?

a

b

当且仅当 =

b 4a ,即 b=2a 时等 号成立. a b

800 x 5.B 若每批生产 x 件产品,则每件产品的生产准备费用是 ,存储费用是 ,总的费 x 8 800 x 用是 + ≥2 x 8 800 x 800 x · = 20,当且仅当 = 时取等号,即 x=80. x 8 x 8

6.解析: ∵12=4x+3y≥2 4x×3y,∴xy≤3.

3

? ?4x=3y, 当且仅当? ?4x+3y=12, ?

3 ? ?x= , 即? 2 ? ?y=2.

时 xy 取得最大值 3.

答案: 3 1 1 ?1 1? 7.解析: 由已知条件 ln(a+b)=0 得 a+b=1,又 a>0,b>0, + =(a+b)? + ?

a b

?a b?

a+b=1, ? ? b a =2+ + ≥4,当且仅当?b a a b = , ? ?a b
4. 答案: 4

1 1 1 即 a=b= 时取“=”号,所以 + 的最小值是 2 a b

8. 解析: 依题意得, a, b 同号, 于是有|a+2b|=|a|+|2b|≥2 |a|×|2b|=2 2|ab| =2 100=20(当且仅当|a|=|2b|时取等号),因此|a+2b|的最小值是 20. 答案: 20 9.解析: 由 x -2x<8 得 x -2x-8<0, 即(x-4)(x+2)<0,得-2<x<4,∴x+2>0, 而 y=
2 2

x2-x-5 ? x+2? = x+2
1

2

-5? x+2? +1 x+2

=(x+2 )+

x+2

-5≥2-5=-3.

等号当且仅 当 x=-1 时取得. 答案: -3 10.解析: (1)∵x>0,a>2x,
2 1 1 ?2x+? a-2x? ?2 a ∴y=x(a-2x)= ×2x(a-2x)≤ ×? = , ? 2 2 2 ? ? 8

当且仅当 x= 时取等号,故函数的最大值为 . 4 8 (2)由已知条件 lg x+lg y=1,可得 xy=10. 2 5 2y+5x 2 10xy ?2 5? 则 + = ≥ =2.∴? + ?min=2. x y 10 10 ?x y? 当且仅当 2y=5x,即 x=2,y=5 时等号成立.故 z 的最小值为 2.

a

a2

x>0 ? ? 11.解析: 由 lg(3x)+lg y=lg(x+y+1)得?y>0 ? ?3xy=x+y+1
(1)∵x>0,y>0,∴3xy=x+y+ 1≥2 xy+1, ∴3xy-2 xy-1≥0,即 3( xy) -2 xy-1≥0,
4
2

∴(3 xy+1)( xy-1)≥0,∴ xy≥1,∴xy≥1, 当且仅当 x=y=1 时,等号成立.∴xy 的最小值为 1. (2)∵x>0,y>0,∴x+y+1=3xy≤3·? ∴3(x+y) -4(x+y)-4≥0, ∴[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0,∴x+y≥2, 当且仅当 x=y=1 时取等号,∴x+y 的最小值为 2. B 1.A 设甲乙两地相距为 s,则 v= 级
2

?x+y?2, ? ? 2 ?

2s 2 = . s s 1 1 + + a b a b

1 1 2 由于 a <b,∴ + < ,∴v >a,

a b a

1 1 又 + >2

1

a b

ab

,∴v< ab.故 a<v< ab,故选 A.
2

2.解析: ∵f(x)=ax +2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞), 1 ∴a>0 且 Δ =4-4ac=0,∴c= ,

a

a+1 c+1 a+1 a ? 2 1 ? ? 1? ∴ + = + =?a + 2?+?a+ ?≥4(当且仅当 a=1 时取等号), a ? ? a? c a 1 a ? a


1 +1

a+1 c+1 + 的最小值为 4. c a

答案: 4 3.解析: (1)设每件定价为 t 元, 依题意,有?8-
2

? ?

t-25
1

×0.2? ?t≥25×8,

?

整理得 t -65t+1 000≤0,解得 25≤t≤40. ∴要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为 40 元. (2)依题意,x>25 时, 1 2 1 不等式 ax≥25×8+50+ (x -600)+ x 有解, 6 5 150 1 1 等价于 x>25 时,a≥ + x+ 有解, x 6 5 ∵ 150 1 + x≥2 x 6 150 1 · x=10(当且仅当 x=30 时,等号成立), x 6

∴a≥10.2. ∴当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时,才可能使明年的销售收入不低于
5

原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为 30 元.

6


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