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高中数学——圆锥曲线试题精选(含答案)


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高考圆锥曲线试题精选
一、选择题: (每小题 5 分,计 50 分)

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为( ) 10 2 A. 3 2 B. 4 2 C. 3 3 D. 4 3 2 x ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的 2.(2004 全国卷Ⅰ文、理)椭圆 4
1、(2008 海南、宁夏文)双曲线 直线与椭圆相交,一个交点为 P,则 | PF2 | = ( A. )

7 D.4 2 2 3. (2006 辽宁文)方程 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 的两个根可分别作为(

3 2

B. 3

C.

A.一椭圆和一双曲线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率

) B.两抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率

4. (2006 四川文、理)直线y=x-3 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A、B 两点,过 A、B 两点向 抛物线的准线作垂线,垂足分别为 P、Q ,则梯形 APQB 的面积为( ) (A)48. (B)56 (C)64 (D)72.

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是 5.(2007 福建理)以双曲线 9 16
( A. C. ) B. D.

6. (2004 全国卷Ⅳ理)已知椭圆的中心在原点,离心率 e ?

1 ,且它的一个焦点与抛物线 2

y 2 ? ?4x 的焦点重合,则此椭圆方程为(
x2 y2 ? ?1 A. 4 3 x2 y2 ? ?1 B. 8 6



x2 ? y2 ? 1 C. 2

x2 ? y2 ? 1 D. 4

x2 y2 ? ? 1(m n ? 0) 离心率为 2,有一个焦点与抛物线 7. (2005 湖北文、理)双曲线 m n ) y 2 ? 4 x 的焦点重合,则 mn 的值为( 3 3 16 8 A. B. C. D. 16 8 3 3 2 2 x 16 y 8. (2008 重庆文)若双曲线 ? 2 ? 1 的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上,则 p 的值为 3 p
( ) (A)2 (B)3 (C)4
2

(D)4 2

9. (2002 北京文)已知椭圆 双曲线的渐近线方程是( A. x ? ?

x y2 x2 y2 ? 2 ? 1 和双曲线 ? 2 ? 1 有公共的焦点,那么 3m 2 5n 2m 2 3n


3 3 D. y ? ? y x 4 4 x2 y2 10. (2003 春招北京文、理)在同一坐标系中,方程 2 ? 2 ? 1与ax ? by 2 ? 0(a ? b ? 0) a b
B. y ? ? C. x ? ? 的曲线大致是 ( )
A
y y y O x x O x O x y O

15 y 2

15 x 2

B

C

D

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启智辅导 二、填空题: (每小题 5 分,计 20 分)

11. (2005 上海文)若椭圆长轴长与短轴长之比为 2,它的一个焦点是 2 15,0 ,则椭圆的 标准方程是_________________________
王新敞
奎屯 新疆

?

?

12.(2008 江西文)已知双曲线

x y 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线方程为 y ? ? x, 2 a b 3

2 2

2

2

若顶点到渐近线的距离为 1,则双曲线方程为 13.(2007 上海文)以双曲线 抛物线方程是

x y ? ? 1 的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的 4 5


14.(2008 天津理)已知圆 C 的圆心与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点关于直线 y ? x 对称.直线

4 x ? 3 y ? 2 ? 0 与圆 C 相交于 A, B 两点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程
为 . 三、解答题: (15—18 题各 13 分,19、20 题各 14 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上, a 2 b2 4 14 . 且 PF1 ? F1 F2 ,| PF1 |? ,| PF2 |? (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 3 3 (Ⅱ)若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M, 交椭圆 C 于 A, B 两点, 且 A、 关于点 M 对称,求 B
15.(2006 北京文)椭圆 C: 直线 l 的方程..

16. (2005 重庆文)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0) ,右顶点为 ( 3,0) (1)求双曲线 C 的方程; 同的 (2)若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不

交点 A 和 B,且 OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点). 求 k 的取值范围.

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启智辅导 17.(2007 安徽文)设 F 是抛物线 G:x =4y 的焦点. (Ⅰ)过点 P(0,-4)作抛物线 G 的切线,求切线方程:
FB (Ⅱ)设 A、B 为抛物线 G 上异于原点的两点,且满足 FA· ? 0 ,延长 AF、BF 分别交抛物线 G 于点 C,D,求四边形 ABCD 面积的最小值.
2

18.(2008 辽宁文) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, 3) , (0,3) 的距离之 ? 和等于 4,设点 P 的轨迹为 C . (Ⅰ )写出 C 的方程; (Ⅱ )设直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A,B 两点.k 为何值时 OA ? OB ?此时 AB 的值是多 少?

??? ?

??? ?

??? ?

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启智辅导 y 2 19. (2002 广东、河南、江苏)A、B 是双曲线 x - =1 上的两点,点 N(1,2)是线段 AB 的 2 中点 (1)求直线 AB 的方程; (2)如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于 C、D 两点,那么 A、B、C、D 四点是否共圆? 为什么?
2

20.(2007 福建理)如图,已知点 F(1,0) ,直线 l:x=-1,P 为平面上的动点,过 P 作直 线 l 的垂线,垂足为点 Q,且 = 。 (1)求动点 P 的轨迹 C 的 方程; (2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A、B 两点,交直线 l 于点 M, 已知 , ,求 的值。

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“圆锥曲线与方程”单元测试(参考答案)
一、选择题: (每小题 5 分,计 50 分)

题号 答案

1 D

2 C

3 A

4 A

5 A

6 A

7 A

8 C

9 D

10 A

二、填空题: (每小题 5 分,计 20 分) 11.

x2 y2 ? ? 1; 80 20

12.

x2 3 y 2 ? ?1 . 4 4

13. y 2 ? 12x .

14.

x2 ? ( y ?1)2 ? 10 .
三、解答题: (15—18 题各 13 分,19、20 题各 14 分) 15..解:(Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a ? PF ? PF2 ? 6 ,a=3. 1 在 Rt△PF1F2 中, F1 F2 ?
2

PF2 ? PF1
2

2

? 2 5, 故椭圆的半焦距 c= 5 ,

从而 b2=a -c2=4, 所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? =1. 9 4

(Ⅱ)解法一:设 A,B 的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2). 、 已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.

x1 ? x 2 18k 2 ? 9k ?? ? ?2. 2 4 ? 9k 2 8 8 解得 k ? , 所以直线 l 的方程为 y ? ( x ? 2) ? 1, 9 9
因为 A,B 关于点 M 对称., 所以 即 8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意) (Ⅱ) 解法二:已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意 x1 ? x2 且

x1 y x2 y ? 1 ? 1, ① ? 2 ? 1, ② 9 4 9 4 ( x ? x2 )(x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ? 0. 由①-②得 1 9 4
因为 A、B 关于点 M 对称,所以 x1+ x2=-4, y1+ y2=2, 代入③得

2

2

2

2



y1 ? y 2 8 8 8 = ,即直线 l 的斜率为 ,所以直线 l 的方程为 y-1= (x+2) , 9 9 9 x1 ? x2
即 8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意.)

16.解: (Ⅰ)设双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0). a2 b2 由已知得 a ? 3, c ? 2, 再由a 2 ? b 2 ? 2 2 , 得b 2 ? 1. 故双曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3 x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. (Ⅱ)将 y ? kx ? 2代入 3 ?1 ? 3k 2 ? 0, ? 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ? ?? ? (6 2k ) 2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 36(1 ? k 2 ) ? 0. ? 1 2 2 即 k ? 且k ? 1. ① 3
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启智辅导 设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则 x A ? x B ?

6 2k ?9 , , x A xB ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 由OA ? OB ? 2得x A xB ? y A yB ? 2,

而 x A xB ? y A y B ? x A xB ? (kxA ? 2 )(kxB ? 2 ) ? (k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2k ?2? 2 . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k ? 1 3k 2 ? 7 ? 3k 2 ? 9 1 ? 2,即 ? 0, 解此不等式得 ? k 2 ? 3. 于是 ② 2 2 3 3k ? 1 3k ? 1 1 ? k 2 ? 1. 由①、②得 3 3 3 故 k 的取值范围为 (?1,? ) ? ( ,1). 3 3 2 x x0 x 由 17.解: (Ⅰ)设切点 Q( x0 , ). y? ? , 知抛物线在 Q 点处的切线斜率为 0 , 2 4 2 2 2 x x x x 故所求切线方程为 y ? 0 ? 0 ( x ? x0 ), 即y ? 0 x? 0 . 2 4 4 2 2 x 2 因为点 P (0, 在切线上, -4) 所以 ? 4 ? ? 0 , x0 ? 16, x0 ? ?4. 所以切线方程为 y=±2x-4. 4 (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ). 由题设知,直线 AC 的斜率 k 存在,由对称性,不妨设 k>0. ? (k 2 ? 1)
因直线 AC 过焦点 F(0,1) ,所以直线 AC 的方程为 y=kx+1. 点 A,C 的坐标满足方程组 ?

? y ? kx ? 1,
2

? x ? 4 y, ? x1 ? x 2 ? 4 k , 由根与系数的关系知 ? ? x1 x 2 ? ?4.

消去 y,得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0,

AC ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 4(1 ? k 2 ).
1 1 因为 AC ? BD ,所以 BD 的斜率为 ? ,从而 BD 的方程 y ? ? x ? 1. k k 2 1 2 4(1 ? k ) . 同理可求得 BD ? 4(1 ? (? ) ) ? 4 k2 1 8(1 ? k 2 ) 1 S ABCD ? AC BD ? ? 8(k 2 ? 2 ? 2 ) ? 32. 2 2 k k
当 k=1 时,等号成立.所以,四边形 ABCD 面积的最小值为 32. 18.解: (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, 3),,3) 为焦点, ? (0 长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b ?

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,故曲线 C 的方程为

y2 x ? ? 1. 4
2

? 2 y2 ? 1, ?x ? (Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足 ? 4 ? y ? kx ? 1. ? 2k 3 2 2 ,x1 x2 ? ? 2 消去 y 并整理得 (k ? 4) x ? 2kx ? 3 ? 0 , 故 x1 ? x2 ? ? 2 . k ?4 k ?4 ??? ??? ? ? OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 而 y1 y2 ? k 2 x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ,

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3 3k 2 2k 2 ?4k 2 ? 1 ? ? ?1 ? 2 于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ? 2 . k ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 k ?4 ??? ??? ? ? 1 所以 k ? ? 时, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,故 OA ? OB . 2 1 4 12 当 k ? ? 时, x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? . 2 17 17 ???? ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ,
而 ( x2 ? x1 )2 ? ( x2 ? x1 )2 ? 4 x1 x2 ? 所以 AB ?

42 4 ? 3 43 ?13 ? 4? ? , 172 17 17 2

???? ?

4 65 . 17
2

19.解:(1)依题意,可设直线方程为 y=k(x-1)+2 y 2 2 代入 x - =1,整理得 (2-k)x -2k(2-k)x-(2-k) -2=0 2
2


2

记 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1、x2 是方程①的两个不同的实数根,所以 2-k ≠0,且 x1+x2= 2k(2-k) 2 2-k 1 由 N(1,2)是 AB 中点得 (x1+x2)=1 2 ∴ k(2-k)=2-k ,解得 k=1,所易知 AB 的方程为 y=x+1. 2 (2)将 k=1 代入方程①得 x -2x-3=0,解出 x1=-1,x2=3,由 y=x+1 得 y1=0,y2 =4 即 A、B 的坐标分别为(-1,0)和(3,4) 由 CD 垂直平分 AB,得直线 CD 的方程为 y=-(x-1)+2,即 y=3-x ,代入双曲线方程, 整理, 2 得 x +6x-11=0 ② 记 C(x3,y3),D(x4,y4),以及 CD 中点为 M(x0,y0),则 x3、x4 是方程②的两个的实数根,所以 1 x3+x4=-6, x3x4=-11, 从而 x0= (x3+x4)=-3,y0=3-x0=6 2 |CD|= (x3-x4) +(y3-y4) = 2(x3-x4) = 2[(x3+x4) -4x3x4=4 10 1 |MC|=|MD|= |CD|=2 10, 又|MA|=|MB|= 2
2 2 2 2 2 2 2



(x0-x1) +(y0-y1) = 4+36=2 10 即 A、B、C、D 四点到点 M 的距离相等,所以 A、B、C、D 四点共圆.

, 20.(Ⅰ)解法一:设点 P( x,y ) ,则 Q(?1 y) ,由
2



得: y Q O A M P B F x

( x ? 1, ? , y) ? ( x ?1,y)? ?2,y) ,化简得 C : y ? 4x . 0) (2 ? ( ??? ??? ??? ? ? ? (Ⅰ)解法二:由 = 得: FQ? PQ ? PF ) ? 0 , ( ??? ? ??? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? 2 ??? 2 ? ? ?( PQ ? PF )? PQ ? PF ) ? 0 ,? PQ ? PF ? 0 , ? PQ ? PF . (
所以点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹 C 的方程为: y ? 4 x .
2

(Ⅱ)设直线 AB 的方程为: x ? my ? 1(m ? 0) .

2? ? 设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,又 M ? ?1 ? ? , , m? ? ? y 2 ? 4 x, 联立方程组 ? ,消去 x 得: ? x ? my ? 1,

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? y ? y ? 4m, y 2 ? 4my ? 4 ? 0 , ? ? (?4m)2 ? 12 ? 0 ,故 ? 1 2 ? y1 y2 ? ?4. ???? ??? ???? ? ??? ? 2 2 由 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF 得: y1 ? ? ??1 y1 , y2 ? ? ??2 y2 , m m 2 2 整理得: ?1 ? ?1 ? , ?2 ? ?1 ? , my1 my2 2 4m 2 y ? y2 2 1 1 ∴ ?1 ? ? 2= ? 2 ? ( ? =-2- · =0. ) = ? 2 ? ·1 m ?4 m y1 y 2 m y1 y 2

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