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【步步高】届高三数学大一轮复习 正弦定理和余弦定理学案 理 新人教A版


第五章 解三角形与平面向量
学案 23 正弦定理和余弦定理
导学目标: 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化,进而进行恒等变换解决问题.2. 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.

自主梳理 1.三角形的有关性质 (1)在△ABC 中,A+B+C=________; (2)a+b____c,a-b<c; (3)a>b?sin A____sin B?A____B; 1 1 1 (4)三角形面积公式:S△ABC= ah= absin C= acsin B=_________________; 2 2 2 (5)在三角形中有:sin 2A=sin 2B?A=B 或________________?三角形为等腰或直角 三角形; A+B C sin(A+B)=sin C,sin =cos . 2 2 2.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 a2=____________, ________________ 内容 b2=____________, =2R c2=____________. ①a=__________, b=__________, c=__________; ②sin A=________, cos A=________________; 变形 sin B=________, cos B=________________; 形式 sin C=________; cos C=_______________. ③a∶b∶c=__________; a+b+c a ④ = sin A+sin B+sin C sin A ①已知两角和任一边,求另一角和其他 两条边. ①已知三边,求各角; 解决 ②已知两边和其中一边的对角,求另一 ②已知两边和它们的夹角, 求第三边和 的问题 其他两个角 . 边和其他两角. 自我检测 1 .(2010·上海 ) 若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C =5∶11∶13,则 △ABC( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 2 2 2.(2010·天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a -b = 3bc, sin C = 2 3 sin B , 则 A 等 于 ( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 3.(2011·烟台模拟)在△ABC 中,A=60°,b=1,△ABC 的面积为 3,则边 a 的值为
1

(

) A.2 7 B. 21 C. 13 D.3 4.(2010·山东)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2, sin B+cos B= 2,则角 A 的大小为________. 2π 5.(2010·北京)在△ABC 中,若 b=1,c= 3,C= ,则 a=________. 3

探究点一 正弦定理的应用 例 1 (1)在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45°,求角 A、C 和边 c; (2)在△ABC 中,a=8,B=60°,C=75°,求边 b 和 c.

1 变式迁移 1 (1)在△ABC 中,若 tan A= ,C=150°,BC=1,则 AB=________; 3 (2)在△ABC 中,若 a=50,b=25 6,A=45°,则 B=________. 探究点二 余弦定理的应用 2 2 例 2 (2011·咸宁月考)已知 a、b、c 分别是△ABC 中角 A、B、C 的对边,且 a +c 2 -b =ac. (1)求角 B 的大小; (2)若 c=3a,求 tan A 的值.

2π 变式迁移 2 在△ABC 中,a、b、c 分别为 A、B、C 的对边,B= ,b= 13,a+c=4, 3 求 a.

探究点三 正、余弦定理的综合应用 2 2 例 3 在△ABC 中,a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果(a +b )sin(A- 2 2 B)=(a -b )sin(A+B),试判断该三角形的形状.

AC cos B 变式迁移 3 (2010·天津)在△ABC 中, = . AB cos C (1)证明:B=C; π? 1 ? (2)若 cos A=- ,求 sin?4B+ ?的值. 3? 3 ?

2

1.解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用,用到三角变换的基本方法,同时它 是对正、余弦定理,三角形面积公式等的综合应用. 2.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求 出其他的边和角时,有可能出现一解、两解或无解的情况,应结合图形并根据“三角形中大 边对大角”来判断解的情况,作出正确取舍. 3.在解三角形中的三角变换问题时,要注意两点:一是要用到三角形的内角和及正、 余弦定理,二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法.“化繁为简”“化异为同” 是解此类问题的突破口.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1 . (2010· 湖 北 ) 在 △ABC 中 , a = 15 , b = 10 , A = 60° , 则 cos B 等 于 ( ) 2 2 2 2 6 6 A.- B. C.- D. 3 3 3 3 → → 2.在△ABC 中 AB=3,AC=2,BC= 10 ,则AB ? AC等于 ( ) 3 2 2 3 A.- B.- C. D. 2 3 3 2 c-b 2A 3. 在△ABC 中, sin = (a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边), 则△ABC 的形状为( ) 2 2c A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 4.(2011·聊城模拟)在△ABC 中,若 A=60°,BC=4 3,AC=4 2,则角 B 的大小为 ( ) A.30° B.45° C.135° D.45°或 135° 5.(2010·湖南)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若 C=120°, c = 2 a , 则 ( ) A.a>b B.a<b C.a=b D.a 与 b 的大小关系不能确定 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 2 6.在△ABC 中,B=60°,b =ac,则△ABC 的形状为________________. 7.(2010·广东)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b = 3,A+C=2B,则 sin C=________. 8.(2011·龙岩模拟)在锐角△ABC 中,AD⊥BC,垂足为 D,且 BD∶DC∶AD=2∶3∶6, 则∠BAC 的大小为________. 三、解答题(共 38 分) 9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos (1)求△ABC 的面积;
3

A 2 5 →→ ? ,ABAC=3. 2 5

(2)若 b+c=6,求 a 的值.

10.(12 分)(2010·陕西)在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC =14,DC=6,求 AB 的长.

11.(14 分)(2010·重庆)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3b + 2 2 3c -3a =4 2bc. (1)求 sin A 的值; π? ? π? ? 2sin?A+ ?sin?B+C+ ? 4? ? 4? ? (2)求 的值. 1-cos 2A

2

答案

自主梳理

1 π a b c (2)> (3)> > (4) bcsin A (5)A+B= 2. = = b2 2 2 sin A sin B sin C 2 2 2 2 2 + c - 2bccos A a + c - 2accos B a + b - 2abcos C ①2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C 2 a b c b +c2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2 ② ③sin A∶sin B∶sin C 2R 2R 2R 2bc 2ac 2ab 自我检测 1.C 2.A 3.C π 4. 5.1 6 课堂活动区 例 1 解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角,可利用正弦定理求其他的角 和边,但要注意对解的情况进行判断,这类问题往往有一解、两解、无解三种情况.具体判 断方法如下:在△ABC 中.已知 a、b 和 A,求 B.若 A 为锐角,①当 a≥b 时,有一解;②当 a=bsin A 时,有一解;③当 bsin A<a<b 时,有两解;④当 a<bsin A 时,无解.若 A 为直 角或钝角,①当 a>b 时,有一解;②当 a≤b 时,无解. a b 3 解 (1)由正弦定理 = 得,sin A= . sin A sin B 2 ∵a>b,∴A>B,∴A=60°或 A=120°. 当 A=60°时,C=180°-45°-60°=75°, bsin C 6+ 2 c= = ; sin B 2 当 A=120°时,C=180°-45°-120°=15°, bsin C 6- 2 c= = . sin B 2 1.(1)π 综上,A=60°,C=75°,c= 6+ 2 , 2

4

6- 2 . 2 (2)∵B=60°,C=75°,∴A=45°. 或 A=120°,C=15°,c= 由正弦定理 = = , sin A sin B sin C a·sin B a·sin C 得 b= =4 6,c= =4 3+4. sin A sin A ∴b=4 6,c=4 3+4. 10 变式迁移 1 (1) (2)60°或 120° 2 1 解析 (1)∵在△ABC 中,tan A= ,C=150°, 3 1 ∴A 为锐角,∴sin A= . 10 又∵BC=1. BC·sin C 10 ∴根据正弦定理得 AB= = . sin A 2 (2)由 b>a,得 B>A,由 = , sin A sin B 得 sin B=

a

b

c

a

b

bsin A 25 6 2 3 = × = , a 50 2 2

∵0°<B<180° ∴B=60°或 B=120°. 2 2 2 例 2 解 (1)∵a +c -b =ac, a2+c2-b2 1 ∴cos B= = . 2ac 2 π ∵0<B<π ,∴B= . 3 (2)方法一 将 c=3a 代入 a +c -b =ac,得 b= 7a. b2+c2-a2 5 7 由余弦定理,得 cos A= = . 2bc 14 ∵0<A<π , 21 2 ∴sin A= 1-cos A= , 14 sin A 3 ∴tan A= = . cos A 5 2 2 2 方法二 将 c=3a 代入 a +c -b =ac, 得 b= 7a. 由正弦定理,得 sin B= 7sin A. π 21 由(1)知,B= ,∴sin A= . 3 14 又 b= 7a>a,∴B>A, 5 7 2 ∴cos A= 1-sin A= . 14 sin A 3 ∴tan A= = . cos A 5 方法三 ∵c=3a,由正弦定理,得 sin C=3sin A.
5
2 2 2

π 2π ∵B= ,∴C=π -(A+B)= -A, 3 3 2π ∴sin( -A)=3sin A, 3 2π 2π ∴sin cos A-cos sin A=3sin A, 3 3 ∴ 3 1 cos A+ sin A=3sin A, 2 2

∴5sin A= 3cos A, sin A 3 ∴tan A= = . cos A 5 2 2 2 变式迁移 2 解 由余弦定理得,b =a +c -2accos B 2 2 2 =a +c -2accos π 3 2 2 2 =a +c +ac=(a+c) -ac. 又∵a+c=4,b= 13,∴ac=3, ? ?a+c=4 联立? ,解得 a=1,c=3,或 a=3,c=1. ?ac=3 ? ∴a 等于 1 或 3. 例 3 解题导引 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,转化为边边关系或角角关 系. 2 2 2 2 解 方法一 ∵(a +b )sin(A-B)=(a -b )sin(A+B) 2 ?a [sin(A-B)-sin(A+B)] 2 =b [-sin(A+B)-sin(A-B)], 2 2 ∴2a cos Asin B=2b cos Bsin A, 由正弦定理,得 2 2 sin Acos Asin B=sin Bcos Bsin A, ∴sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0, ∴sin 2A=sin 2B,由 0<2A<2π ,0<2B<2π , 得 2A=2B 或 2A=π -2B, 即△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 2 2 方法二 同方法一可得 2a cos Asin B=2b cos Bsin A, 由正、余弦定理,即得 b2+c2-a2 2 a2+c2-b2 a2b× =b a× , 2bc 2ac 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴a (b +c -a )=b (a +c -b ), 2 2 2 2 2 即(a -b )(c -a -b )=0, 2 2 2 ∴a=b 或 c =a +b , ∴三角形为等腰三角形或直角三角形. 变式迁移 3 解题导引 在正弦定理 = = =2R 中,2R 是指什么?a= sin A sin B sin C 2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C 的作用是什么? (1)证明 在△ABC 中,由正弦定理及已知得 sin B cos B = . sin C cos C 于是 sin Bcos C-cos Bsin C=0, 即 sin(B-C)=0. 因为-π <B-C<π ,从而 B-C=0. 所以 B=C.
6

a

b

c

(2)解 由 A+B+C=π 和(1)得 A=π -2B, 1 故 cos 2B=-cos(π -2B)=-cos A= . 3 2 2 2 又 0<2B<π ,于是 sin 2B= 1-cos 2B= . 3 4 2 从而 sin 4B=2sin 2Bcos 2B= , 9 7 2 2 cos 4B=cos 2B-sin 2B=- . 9 π? ? 所以 sin?4B+ ? 3? ? π π =sin 4Bcos +cos 4Bsin 3 3 4 2-7 3 . 18 课后练习区 1.D 2.D 3.B 4.B 5.A 6.等边三角形 2 2 2 解析 ∵b =a +c -2accos B, 2 2 ∴ac=a +c -ac, 2 ∴(a-c) =0, ∴a=c,又 B=60°, ∴△ABC 为等边三角形. 7.1 解析 由 A+C=2B 及 A+B+C=180°知,B=60°. 1 3 由正弦定理知, = , sin A sin 60° 1 即 sin A= . 2 由 a<b 知,A<B,∴A=30°, C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°, ∴sin C=sin 90°=1. π 8. 4 解析 设∠BAD=α ,∠DAC=β , 1 1 则 tan α = ,tan β = , 3 2 tan α +tan β ∴tan∠BAC=tan(α +β )= 1-tan α tan β 1 1 + 3 2 = =1. 1 1 1- × 3 2 π ∵∠BAC 为锐角,∴∠BAC 的大小为 . 4 =

A 2 5 9.解 (1)因为 cos = , 2 5 3 4 2A 所以 cos A=2cos -1= ,sin A= .????????????????????(4 2 5 5
7

分) → → 又由AB·AC=3 得 bccos A=3,所以 bc=5, 1 因此 S△ABC= bcsin A=2.?????????????????????????(8 2 分) (2)由(1)知,bc=5,又 b+c=6, 16 2 2 2 2 由余弦定理,得 a =b +c -2bccos A=(b+c) - bc=20,所以 a=2 5.???(12 5 分) 10.解

在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得, AD2+DC2-AC2 cos∠ADC= 2AD·DC 100+36-196 1 = =- ,????????????????????????? (6 2×10×6 2 分) ∴∠ADC=120°,∠ADB=60°.?????????????????????? (8 分) 在△ABD 中,AD=10,B=45°, ∠ADB=60°, 由正弦定理得 = , sin∠ADB sin B AD·sin∠ADB 10sin 60° ∴AB= = sin B sin 45° 10× = 2 2 3 2

AB

AD

=5 6.???????????????????????????? (12

分) 11.解 (1)∵3b +3c -3a =4 2bc, 4 2 2 2 2 ∴b +c -a = bc. 3
2 2 2

b2+c2-a2 2 2 由余弦定理得, cos A= = , ?????????????????(4 分) 2bc 3
1 2 又 0<A<π ,故 sin A= 1-cos A= .????????????????????(6 3 分) (2) 原 式 = π? ? π? ? 2sin?A+ ?sin?π -A+ ? 4 4? ? ? ? ?????????????????????(8 分) 1-cos 2A

8

? π? ? π? 2sin?A+ ?sin?A- ? 4? 4? ? ? = 2 2sin A
2? = 2 2 ? 2 ?? 2 ? sin A+ cos A?? sin A- cos A? 2 2 ?2 ?? 2 ? 2sin A
2

????????????????

(11 分) 2 2 sin A-cos A 7 = =- . 2 2sin A 2 所 以 π π 2sin? A+ ? sin? B+C+ ? 4 4 1-cos 2A = -

7 .????????????????????(14 分) 2

9


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