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2014年人教A版必修五课件 2.5 等比数列的前n项和


本章内容 2.1 2.2 2.3 2.4 数列的概念与简单表示法 等差数列 等差数列的前 n 项和 等比数列 2.5 等比数列的前 n 项和 第二章 小结 等比数列的前n项和 分组求和及求和应用 复习与提高 返回目录 1. 等比数列的前 n 项和公式是怎样的? 它 有哪两种形式? 2. 等比数列的前 n 项和公式是如何推出的? 课本中介绍了一个关于数列问题的

传说 《国际象棋格上的麦粒》 国王为了奖励国际象棋的发明者, 问发明 者需要什么,发明者说: “请按如下的方法赏给 我麦粒: 在棋盘的第一格放 1 粒,第二格放 2 粒,第三格放 4 粒, 第四格放 8 粒,…… 如此 类 推,每一格的麦粒数是前一格的 2 倍,直到把棋 盘的64个格子全部放完。” 国王欣然答应, 结果…… (如下图) 64格麦粒的和为 =18446744073709551615 以每千粒40克算,共有 7378亿 吨重,目前世界年 产小麦6亿吨, 国王给得起吗? 国际象棋棋盘 65536 131072 32768 16384 8192 4096 2048 1024 512 256 128 上面的全部麦粒数是一个等比数列的和. 如果知道等比数列的首项和公比, 怎样求前 n 项 和呢? 请同学们看下面的问题. 问题 1. 等比数列的任一项乘以公比 q 后是一个 什么数? 等比数列的前 n 项和 Sn 的各项乘以公比 q 后发生了什么样的变化? 与 Sn 进行怎样的计算会消 掉许多项? 请同学们试试. Sn=a1+a2+a3+a4+…+an-1+an, ① qSn=qa1+qa2+qa3+qa4+…+qan-1+qan, qSn=a2+a3+a4+a5+…+an+an+1, ② ①-②得 (1-q)Sn = a1-an+1 = a1-a1qn = a1(1-qn), n a ( 1 q ) 当 q≠1 时, 两边同除以 1-q 得 Sn = 1 . 1- q 等比数列的前 n 项和公式: a1(1 - qn ) Sn = (q ? 1) 1- q 当 n 较大时, qn 是一个高次式. 能否用首项, 末项以及 q 的一次式表示? 请同 学们试试. a1 - anq Sn = (q ? 1) 1- q 如: 棋盘上的麦粒数之和为 1? (1 - 264 ) S64 = =18446744073709551615. 1- 2 例 1. 求下列等比数列前 8 项的和: (1) 1 , 1 , 1 , ?; 2 4 8 (2) a1 = 27, a9 = 1 , q ? 0. 243 解: (1) 由题设得 a1 = 1 , q = 1 , 2 2 1 [1 - ( 1 )8 ] 2 = 255 . ? S8 = 2 256 1- 1 2 (2) ∵a9 = a1q8, 得 1 = 27q8 , 1 )8 ] 27 [ 1 ( 243 3 = 1640 . ? S = 1 8 1) 81 q = , 解得 1 ( 3 3 练习: (课本58页) 第 1、 2 题 . 练习: (课本58页) 1. 根据下列各题中的条件, 求相应的等比数列 {an}的前 n 项和 Sn. (1) a1=3, q=2, n=6; (2) a1 = -2.7, q = - 1 , an = 1 . 3 90 解: (1) ∵ a1=3, q=2, n=6, a1(1 - q6 ) 3(1 - 26 ) = 189. = ∴ Sn = S6 = 1

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