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山东省济南外国语学校2014届高三上学期质量检测文科数学


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高三数学试题(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、

考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把题答卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目 要求的选项. 1.若向量 a ? (2,3), b ? ( x, ?6) ,且 a b ,则实数 x =( ∥ A.-4 B. 4
a

) D.6 )

C.-6

, 3? , 2.设 a ? ??11 2, ,则使函数 y ? x 的值域为 R 且为奇函数的所有 a 值为(
A. 1 , 3 B. ?1 , 1 ) C. ?1 , 3

D. ?1 , 1 , 3

3.下列说法中,正确的是(

A.命题“若 am2 ? bm2 ,则 a ? b ”的逆命题是真命题 B.命题“ p 或 q ”为真命题,则命题“ p ”和命题“ q ”均为真命题 C.命题“ ?x ? R , x 2 ? x ? 0 ”的否定是: ?x ? R , x 2 ? x ? 0 ” “ D.已知 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件 4.设全集 U 是实数集 R , M ? {x x ? 4} ,N=
2

{x| 1 ? x ? 3 },则图中阴影部分表示的集合是( A.{x|-2≤x<1 } C.{x|1<x≤2 } B.{x|-2≤x≤2} D.{x|x<2}

)

5.在 ?ABC 中,已知 sin C ? 2 sin(B ? C ) cos B ,那么 ?ABC 一定是 A.等腰直角三角形 B.等腰三角形

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C.直角三角形 6.已知 ? ? ( , ?) , tan(? ? A. ?

D.等边三角形

? 2

? 1 ) ? ,那么 sin? ? cos? 的值为( ) 4 7 7 5
C. ?

1 5

B.

7 5

D.

3 4

7.给出下列三个等式: f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ) , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ,下列函 数中不满足其中任何一个等式的是( A. f ( x) ? x B. f ( x) ? log 2 x ) C. f ( x) ? 3
x

D. f ( x) ? sin x )

2 2 2 8.已知正实数数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 2, 2an ? an ?1 ? an ?1 (n ? 2) ,则 a6 等于(

A.16

B.8

C. 2 2

D.4

9.设 f ?( x)是函数f ( x)的导函数, 将y ? f ( x)和y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确 的是 ( )

10.各项都是正数的等比数列 {a n } 的公比 q ? 1 , a 2 , 且

a ?a ?a 1 则 ( a3 , a1 成等差数列, 2 3 4 的值为 a3 ? a4 ? a5 2
D.



A. 11.函数

1? 5 2

B.

5 ?1 2

C.

5 ?1 2

5 ?1 5 ?1 或 2 2

f ( x) ? 2 x | log 0.5 x | ?1 的零点个数为
B. 2 C. 3 D. 4

A. 1

12.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的函数,其最小正周期为 3,且 x ? (0,3) 时, f ( x) ? log 2 (3x ? 1) ,则 f(2014)=( A.4 ) B.2 C.-2 D. log 2 7

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第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
2 注意事项: , 1.用 0.5mm 的中性笔答在答题纸相应的位置内。 4 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 , 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案须填在题中横线上. 6 13.已知直线 y ? 3x ? 1 与曲线 y ? x ? mx ? n 相切于点 (1,4) ,则 m ? _____。
3

14.设 f (x) 定义如下面数表,数列 ?xn ? 满足 x0 ? 5 ,且对任意自然数 n 均有 xn ?1 ? f ( xn ) ,则 x2014 的值 为___________________。

x
f (x)

1 4
2 2

2 1

3 3

4 5

5 2

15.已知点 P(1,4) 在圆 C : x ? y ? 2ax ? 4 y ? b ? 0 上,点 P 关于直线 x ? y ? 3 ? 0 的对称点也在圆 C 上,则 a ? _____,b ? _____ 。 16.一次研究性课堂上,老师给出函数 f ( x ) ? 出下列命题: 甲:函数 f ( x) 为偶函数; 乙:函数 f ( x)的值域为(?1,1) ; 丙:若 x1 ? x2 则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 你认为上述三个命题中正确的个数有 个

x ,甲、乙、丙三位同学在研究此函数的性质时分别给 1? | x |

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ? (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 在区间 [0,

1 ( x ? R) . 2

?
4

] 上的函数值的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)设数列 3

?

n ?1

an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ?

n * , a?N . 3

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(Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an

19.(本小题满分 12 分) 某幼儿园在“六·一儿童节”开展了一次亲子活动,此次活动由宝宝和父母之一(后面以家长代称) 共同完成,幼儿园提供了两种游戏方案: 方案一 宝宝和家长同时各抛掷一枚质地均匀的正方体骰子 (六个面的点数分别是 1, 3, 5, , 2, 4, 6) 宝宝所得点数记为 x ,家长所得点数记为 y ; 方案二 宝宝和家长同时按下自己手中一个计算器的按钮(此计算器只能产生区间[1,6]的随机实 数),宝宝的计算器产生的随机实数记为 m ,家长的计算器产生的随机实数记为 n . (Ⅰ) 在方案一中,若 x ? 1 ? 2 y ,则奖励宝宝一朵小红花,求抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概率; (Ⅱ)在方案二中,若 m ? 2n ,则奖励宝宝一本兴趣读物,求按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的 概率. 20.(本小题满分 12 分)

如图,已知四棱锥 P ? ABCD 。 (1)若底面 ABCD 为菱形, ?DAB ? 60? , PA ? PD , 求证: PB ? AD ; (2) 若底面 ABCD 为平行四边形, E 为 PC 的中点, 在 DE 上取点 F ,过 AP 和点 F 的平面与平 面 BDE 的交线为 FG ,求证: AP// FG 。 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 f (x) 的单调区间;

1 2 x ? ln x 。 2

2 3 x ? x 2 ,证明当 x ? 1 时,函数 f (x) 的图象恒在函数 g (x) 图象的上方。 3 22. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大 值为 3 ,最小值为 1 .
(Ⅱ)若 g ( x) ? ? (Ⅰ)求椭圆方程;

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(Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆交于不同的两点 M 、 N ,且线段 MN 的垂直平分线过定点

1 G ( ,0) ,求 k 的取值范围。 8

高三数学(文科)试题参考答案
一、选择题 A A C C B 二、填空题 13.0 14.1 15. a ? ?1, b ? 1 16.2 A D D D C B B

三、解答题 17.解: (1)因为 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ????????????????4 分 2 2

? sin(2 x ? ) ?????????????????????????6 分 6
故 f ( x) 的最小正周期为 ? ??????????????????8 分 (2)当 x ? [0,

?

?
4

] 时, 2 x ?

?
6

? [?

? ?

, ] ????????????????10 分 6 3

故所求的值域为 [? , 18: (I)由题意得

1 3 ] ????????????????????12 分 2 2

n S n = a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ... ? 3n?1 an ? , 3 n ?1 Sn ?1 ? a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ... ? 3n ?2 an ?1 ? (n ? 2), 3
①-②得

① ②

n n ?1 1 ? ? (n ? 2). 3 3 3 1 所以 an ? n (n ? 2). ?????????????4 分 3 3n?1 an ?

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经验证 n ? 1 时也满足上式,所以 an ? (II) 由(1)得 bn ? n ? 3n ,

1 (n ? N * ). ????????6 分 n 3

Tn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ... ? n ? 3n 3Tn ?
两式相减得

1? 32 ? 2 ? 33 ? ... ? (n ? 1) ? 3n ? n ? 3n ?1

?2Tn ? 3 ? 32 ? 33 ? 3n ? n ? 3n ?1 ?????????????8 分

?2Tn ?
Tn ?

3 ? 3n ?1 ? n ? 3n ?1 , 1? 3

n n ?1 1 n ?1 3 ? 3 ? ? 3 ? ? ?????????????12 分 2 4 4

20. 证明:

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??????????????????6 分

?????????????12 分 21. 解: (Ⅰ)? f ( x) ?

1 2 x ? ln x 的定义域为 (0,??) , 2

又 f (x) 求得: f ' ( x) ? x ?

1 x2 ?1 ??2 分 ? x x

令 f ' ( x) ? 0 ,则 x ? 1 ??3 分 当 x 变化时, f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)

(0,1)
-

1

(1,??)
+

0 极小

f (x)

↘ 值



故 f (x) 的单调递减区间是 (0,1) 。单调递增区间是 (1,??) ??6 分 (Ⅱ)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 则 h' ( x ) ? 2 x ? x ?
2

2 3 1 2 x ? x ? ln x 3 2

1 2x3 ? x 2 ? 1 ? x x

( x ? 1)( 2 x 2 ? x ? 1) ? ??8 分 x
? x ? 1? h' ( x) ? 0

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? h(x) 在 (1,??) 上单调递增??10 分
又 h(1) ?

1 ?0 6

? f ( x) ? g ( x)
∴当 x ? 1 时, f (x) 的图象恒在 g (x) 图象的上方。??12 分

22. 解: (I)由题意设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

a ? c ? 3, a ? c ? 1 , a ? 2, c ? 1, b 2 ? 3

x2 y 2 ? ? ? 1. ?????????????4 分 4 3
(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 4 3 ? y ? k x? m ?
消去 y 并整理得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 ??6 分
2 2 2

∵直线 y ? kx ? m 与椭圆有两个交点

? ? (8km)2 ? 4(3 ? 4k 2 )( 4m2 ? 12) ? 0 ,即 m2 ? 4k 2 ? 3 ??8 分
又 x1 ? x2 ? ?

8km 3 ? 4k 2

? MN 中点 P 的坐标为 (?

4km 3m , ) ??10 分 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 1 1 设 MN 的垂直平分线 l ' 方程: y ? ? ( x ? ) k 8

? p 在 l'上

?

3m 1 4km 1 ? ? (? ? ) 2 2 3 ? 4k k 3 ? 4k 8

即 4k 2 ? 8km ? 3 ? 0

?m ? ?

1 (4k 2 ? 3) ??12 分 8k

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将上式代入得

(4k 2 ? 3) 2 ? 4k 2 ? 3 64 k 2

?k 2 ?
即k ?

1 20
5 5 或k ? ? 10 10 5 5 ) ? ( ,??) ??14 分 10 10

? k 的取值范围为 (??,?


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