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解析版--长沙市一中2016年高一第一次月考


长沙市一中 2016 年高一第一次月考
时量:120 分钟 第I卷 一、 选择题 (共 60 分) 满分:150 分

选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1. 下列关系式中正确的是( ) A. 0 ? {| 2 = 0} C. π ? 解析:C 2. 设集合 A={| = 3 ? 1, ∈ },

= {| 2 ? 4 ? 5 = 0},那么集合 ∩ 为 () A. {-1,5} 解析:A 3.函数() = √ + 3 + A. [?3,1) C. [?3, ?2)?(?2,1) 解析:C 4. 下列各组函数中,相等的是 ( )
lg(1?) +2

B. {0} ∈ { | 2 ? = 0} D. √2 ?

B. {-1}

C. {5}

D.

的定义域是 (

)

B .(?3, ?2)?(?2,1] D. [?3, ?2)?(?2,1]

A. () = , () = √ 2 B. () = log 2 , () = 2og C. () = , () = √ 3 D. 表示炮弹飞行高度 h 与时间 t 的函数? = 80 ? 3 2 和二次函数 = 80 ? 3 2 . 解析:C 5. 下列函数中,既是偶函数又在(0, + ∞)上单调递增的函数是() A.() = 2 + 1, ∈ (?1,1] C . () = 解析:D
1 2
3

B. () = |log 4 | D. () = || +2

6. 函数() = { A.-2 解析:C

2?3 , > ?2 log 3 ( 2 ? 1), ≤ ?2 C.3 或-2

,若() = 1,则的值是()

B.2

D.3 或 2 或-2

7. 已知函数()在 R 内是减函数,若 = (log 2 ) , = (23 ) , = (3?2 ),则()
3

1

1

1

A.a>b>c 解析:B

B. a>c>b

C.c>b>a

D.b>c>a

8. 某同学从家里骑自行车行驶到学校,出发后心情轻松,缓慢行进,后来为了赶时间开始加 速,下列函数的图像最能符合上述情况的是 ( )

A 解析:B

B

C

D

9. 当 > 1时,在同一坐标系中,函数 = ? 与 = log 的图像是()

A 解析:A

B

C

D

10.学校举办秋季运动会,高一(1)班共有 30 名同学参加比赛,有 15 人参加田径比赛,16 人 参加球类比赛,8 人参加跳绳比赛,同时参加田径比赛和球类比赛的有 3 人,同时参加田 径比赛和跳绳比赛的有 5 人,没有人同时参加三项比赛,问只参加跳绳一项比赛的有()

人。 A. 2 解析:A 11. 某公司为了提高产品销售业绩,计划逐年加大宣传资金投入,若该公司 2015 年全年投入研 发资金 100 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投 入的研发资金开始超过 200 万元的年份是(参考数据:lg1.12≈ 0.05, lg2 ≈ 0.30 ) A. 2019 年 B. 2020 年 C.2021 年 D. 2022 年 B. 3 C.4 D.5

解析:D 12. 给出以下四个命题: (1)若函数()的定义域为[0,2],则函数(2 + )的定义域为 (2)函数() =
2 +4 2 ?1

[?2,0];

( > 1)的值域是(1, + ∞);

(3)已知集合 A={a,b,c},B={0,1},则从 A 到 B 的映射共有 8 个; (4)若( + ) = ()(),且(1) = 2, 其中正确的命题有 A. (3) C. (1) (2) (3) 解析:D B.(1) (2) (4 ) D. (1) (2 ) (3) (4)
(2) (1)

+

(4) (3)

+ ?+

(2014) (2013)

+

(2016) (2015)

= 2016

第 II 卷 二、

非选择题 (共 90 分)

填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) () = 2 + log ( + 1)+1 ( > 0, ≠ 1)恒过定点 P,则点 P 的坐标为______.

13.函数

解析: (0,2)

14. 已 知 函 数 () = 2 ? 4 + 7, ∈ [1, ], 并 且 () 的 最 小 值 为 () , 则 实 数 的 取 值 区 间 是 ______. 解析:[1,2] 15.已知 a>b>1,若log + log = , = ,则 a+b=______.
2 5

解析:6 16. 函数 f(x) = { ______. 解析:(?∞, ?3] 三、解答题(本大题共 7 小题共 70 分) 17(本小题 10 分)计算 | 2 + 2|, ≤ ?, > , 若 () 在定义域内单调递减,则实数 的取值范围是

1 2 ? ln e ? 2log2 3 ? log 2 3 ? log9 8 100 3 1 2 3 解析:原式= 2 ? (?2) ? ? 3 ? log 2 3 ? log3 2 2 3 2 7 2 2 9 = ? ? = 2 3 3 2
(1) log5 25 ? lg (2) (5

1 0.5 3 ) ? (?10)2 ? 2 3 ? 6 27 ? 4 ? ? 0 ? ( ) ?2 16 4
3 1 81 1 3 2 2 ) +10-2 ? 3 2 ? 36 -4( ? ) 16 4

解析:原式=(

=

9 9 +10-6- = 4 4 4

18(本小题满分 12 分) 已知全集为 R ,集合 A= ? x | (1) 求

? ?

x ?1 ? ? 0 ? ,B= ? x | ( x ? 2)( x ? 10) ? 0? ,C= ? x |1 ? a ? x ? a ? 3? x ?5 ?

R

( A ? B)
R

(2) 求 A ?

B

(3) 若 B ? C ? B ,求实数 a 的取值范围 解析: (1)由已知可解得 A ? ? x |1 ? x ? 5? , B ? ? x | 2 ? x ? 10? 所以
R

( A ? B) ? ?x | x ? 2或x ? 5?

(2)

R

B ? ?x | x ? 2或x ? 10? ,可得 A ? R B= ?x | x ? 5或x ? 10?
? 1? a ? 2 ?a ? 3 ? 10

(3) B ? C ? B 即 C 是 B 的子集,所以有 ?

解得 ?

?a ? ?1 所以 a ? ?1 ?a?7

19(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 [ x],(?1 ? x ? 3). 其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,例如 [?1.5] ? ?2 , 2

[2.1] ? 2

2

5

5

2

(1) 写出函数 f ( x) 的解析式,并作出函数的图像 (2) 若函数 f ( x) 与 g ( x ) ? log a x 只有一个交点,求 a 的取值范围。 解析: (1)根据 f ( x) 的定义可知, 当 ?1 ? x ? 0 时, [ x] =-1 当 0 ? x ? 1 时, [ x] =0 当 1 ? x ? 2 时, [ x] =1 当 2 ? x ? 3 时, [ x] =2
6 4 2 3

2

1

2

4

6

8

1

2

3

4

? 1 ?? 2 , ?1 ? x ? 0 ? ? 0, 0 ? x ? 1 所以 f ( x ) ? ? ? 1 ,1 ? x ? 2 ? 2 ? 1, 2 ? x ? 3 ?
(2)当 0 ? a ? 1 时,无交点; 当 a ? 1 时,分为以下几种情况,
1 g (2) ? 1? log 2 ? 1?1 ? a ? 2 ; ○ a

1 ? ? g (2) ? 2 ? ○ 2 ?3 ? a ? 4 ? ? g (3) ? 1 1 ? ?4 ? a ? g (2) ? 3 ? ○ ,无解 2 ?? a?3 ? ? ? g (3) ? 1
综上, a 的取值范围是 (1, 2) 20(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) 是定义在 [?1,1] 上的奇函数,且当 0 ? x ? 1 时, f ( x)=a x ? (1) 求 a 的值和 f ( x) 的解析式 (2) 用定义证明 f ( x) 在 [?1,1] 上是增函数 (3) 解不等式 f (t ? 1) ? f (t ) ? 0 上

[3, 4)
1 , f (1)=1 x

解析: (1)通过奇函数可以求出解析式 因为 f (1) ? 1 ,所以得到 a ? 2 当 -1 ? x ? 0 时, 0 ? - x ? 1 此时 f (? x) ? a ? x ? 因为 f (? x) ? ? f ( x) 所以 f ( x) ? ?a ? x ?

1 x

1 1 ? ?2? x ? x x

? x 1 ? 2 ? x ,0 ? x ?1 ? 综上可知 f ( x) ? ? 0, x ? 0 ? 1 ??2? x ? , ?1 ? x ? 0 x ?

(2)此证明题有误。 21(本小题 12 分) 某电影院共有 1000 个座位,票价不分等次,根据以往影院的经营经验,当每张票价不超过 10 元 时,票可全售出,当每张票价高于 10 元时,每提高 1 元,就会有 30 张票不可以售出,为了获得 更好的利益,需要给影院限定一个合适的票价,要求符合的基本条件是 ①为了方便和找零,票价定为一元的整数倍 ②电影院放映一场电影的成本为 5750 元,且票房的收入必须高于成本支出 用 x (元)表示每张电影票的价格。用 y (元)表示该影院放映一场的净收入,试问: (1) 求 y 关于 x 的函数的解析式,并且求其定义域 (2) 试问在符合基本条件的前提下,票价定为多少时,放映一场的净收入最多。 解析: (1) 由已知可得出当票价大于 10 元和小于 10 元的收入是不一样的,所以可得出

1000 x ? 5750, 6 ? x ? 10且x ? ? y?? ?[1000 ? 30( x ? 10)]x ? 5750,10 ? x ? 38且x ?
(2) 可以算得 x =10 时, y ? 4250 当 x ? 10 时,

y ? ?30 x 2 ? 1300 x ? 5750 由二次函数在对称轴处取得最大值
可以知道当 x ? ?

b 1300 2 ? ? 21 时, 2a 60 3

因为必须是正数倍所以最接近此值的正数为 22 所以当 x =22 时,净收入最大为 8330 元 22(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( ) x ,函数 g ( x) ? log a x( a ? 0且a ? 1) (1) 当 a ?

1 2

1 2 时,若函数 y ? g (mx ? 2 x ? m) 的定义域为 R ,求实数 m 的取值范围 2
2

(2) 当 x ? [?1,1] 时,求函数 y ? [ f ( x)] ? 2af ( x) ? 3 的最小值 h(a) (3) 设 h( x) ? f (? x) ? f ( x), a ? m ,是否存在正数 m 使得函数

y ? g[h 2 ( x) ? mh( x) ? 2] 在区间 [1, log 2 3] 上最大值为 0,若存在,求出 m 的值,若不存
在,请说明理由 解析: (1) 当 a ?

1 时 , 若 函 数 y ? g (mx 2 ? 2 x ? m) ? log 1 (mx 2 ? 2 x ? m) 定 义 域 为 R 即 2 2

mx2 ? 2 x ? m 大于 0 恒成立
①当 m ? 0 时,得到 2 x ? 0 不恒成立

②当 m ? 0 时,有 ?

m?0 解得 m ? 1 2 ? ? ? 4 ? 4m ? 0 ?
1 2 1 2

(2)当 x ? [?1,1] 时, f ( x) ? ( ) x ?[ , 2] 令 f ( x) ? t 即讨论函数 y ? t ? 2at ? 3 在 [ , 2] 上最小值转化为动轴定区间问题
2

可知该二次函数的对称轴为 t ? a

1 2

①当 a ? 2 时, h(a) = y |t ? 2 ? 4 ? 4a ? 3 ? 7 ? 4a ②当 a ?

1 13 1 ?a 时, h(a) = y | 1 ? ? a ? 3 ? t? 4 4 2 2

1 ? a ? 2 时,在对称轴处取得最小值 h(a) = y |t ?a ? a2 ? 2a2 ? 3 ? ?a2 ? 3 2 1 1 1 (2) 由题意可知 h( x) = ( ) ? x ? ( ) x = 2 x ? ( ) x 易判断其为增函数 2 2 2 3 8 令 h( x) = t 并且当 x ? [1, log 2 3] 时, t ?[ , ] 2 3
③当

y ? g[h2 ( x) ? mh( x) ? 2] ? logm (t 2 ? mt ? 2)
当 0 ? m ? 1 时, t?

m 1 3 3 9 3 13 舍; ? ? ? t ? 时, ymax ? log m ( ? m ? 2) ? 0 ? m ? ? (0,1) , 2 2 2 2 4 2 6

当 m ? 1 时,所以当 t 2 ? mt ? 2 达到最大值时, y 取得最大值。又因为二次函数开口向上,所以

3 8 25 t 2 ? mt ? 2 的最大值一定在端点处取得。考虑到,区间 [ , ] 中点为 ,二次函数 t 2 ? mt ? 2 2 3 12 m 的对称轴为 t ? ,分为以下情况讨论, 2


25 m 25 8 73 8 73 3 , 即m? 时,t ? ,ymax ? log m ( ? m) =0, 可得 m ? , 但是, 当 t ? 时, ? 6 2 12 3 9 3 24 2

5 ) ,不符合,舍去; 16 m 25 25 3 13 3 13 ② ? ,即 m ? 时, t ? , ymax ? log m ( ? m) =0,可得 m ? ,不符合,舍去; 2 12 6 2 4 2 6 y ? log m (?
综上,不存在正数 m 。


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