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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案17 任意角的三角函数


第四章 三角函数与三角恒等变换 学案 17 任意角的三角函数
导学目标: 1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化.3.理解 任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

自主梳理 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线 OA 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 OB 所成的图 形.旋转开始时的射线 OA 叫做角的__

______,射线的端点 O 叫做角的________,旋转终止 位置的射线 OB 叫做角的________,按______时针方向旋转所形成的角叫做正角,按______ 时针方向旋转所形成的角叫做负角.若一条射线没作任何旋转,称它形成了一个________角. (1)象限角 使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象限,就 说这个角是__________角. (2)象限界角(即终边在坐标轴上的角) 终边在 x 轴上的角表示为____________________; 终边在 y 轴上的角表示为__________________________________________; 终边落在坐标轴上的角可表示为____________________________. (3)终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合______________________或 __________________________,前者 α 用角度制表示,后者 α 用弧度制表示. (4)弧度制 把长度等于________长的弧所对的__________叫 1 弧度的角.以弧度作为单位来度量角 的单位制,叫做________,它的单位符号是________,读作________,通常略去不写. (5)度与弧度的换算关系 360° =______ rad;180° =____ rad;1° =________ rad; 1 rad=_______________≈57.30° . (6)弧长公式与扇形面积公式 l=________,即弧长等于_________________________________________________. S 扇=________=____________. 2.三角函数的定义 任意角的三角函数定义: 设 α 是一个任意角, 它的终边与单位圆交于点 P(x, y), 那么①____ 叫做 α 的正弦, 记作 sin α, 即 sin α=y; ②____叫做 α 的余弦, 记作 cos α, 即 cos α=x; ③________ y 叫做 α 的正切,记作 tan α,即 tan α= (x≠0). x (1)三角函数值的符号 各象限的三角函数值的符号如下图所示,三角函数正值歌:一全正,二正弦,三正切, 四余弦.

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(2)三角函数线 下图中有向线段 MP, OM, AT 分别表示__________, __________________和____________.

自我检测 π 1 1.“α= ”是“cos 2α= ”的 6 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2011· 济宁模拟)点 P(tan 2 009° , cos 2 009° )位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(2010· 山东青岛高三教学质量检测)已知 sin α<0 且 tan α>0,则角 α 是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 2π 2π ? 4.已知角 α 的终边上一点的坐标为?sin 3 ,cos 3 ? ?,则角 α 的最小正值为 5π 2π 5π 11π A. B. C. D. 6 3 3 6













(

)

探究点一 角的概念 例 1 (1)如果角 α 是第三象限角,那么-α,π-α,π+α 角的终边落在第几象限; (2)写出终边落在直线 y= 3x 上的角的集合; θ (3)若 θ=168° +k· 360°(k∈Z),求在[0° ,360° )内终边与 角的终边相同的角. 3

α 变式迁移 1 若 α 是第二象限的角,试分别确定 2α, 的终边所在位置. 2

探究点二 弧长与扇形面积

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例 2 (2011· 金华模拟)已知一个扇形的圆心角是 α,0<α<2π,其所在圆的半径是 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积; (2)若扇形的周长是一定值 C(C>0),当 α 为多少弧度时,该扇形有最大面积?

变式迁移 2 (1)已知扇形的周长为 10,面积为 4,求扇形中心角的弧度数; (2)已知扇形的周长为 40,当它的半径和中心角取何值时,才能使扇形的面积最大?最大 面积是多少?

探究点三 三角函数的定义 例 3 已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α,cos α,tan α 的值.

变式迁移 3 已知角 α 的终边经过点 P(-4a,3a) (a≠0),求 sin α,cos α,tan α 的值.

1.角的度量由原来的角度制改换为弧度制,要养成用弧度表示角的习惯.象限角的判断, 终边相同的角的表示,弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础. 2.三角函数都是以角为自变量(用弧度表示),以比值为函数值的函数,是从实数集到实 数集的映射,注意两种定义法,即坐标法和单位圆法.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 2π 1.(2011· 宣城模拟)点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 逆时针方向运动 弧长到达 Q, 3 则 Q 的坐标为 ( ) 1 3 3 1 A.(- , ) B.(- ,- ) 2 2 2 2 1 3 3 1 C.(- ,- ) D.(- , ) 2 2 2 2 1 1 2.若 0<x<π,则使 sin x> 和 cos x< 同时成立的 x 的取值范围是 ( ) 2 2 π π π 5 A. <x< B. <x< π 3 2 3 6 π 5 π 2 C. <x< π D. <x< π 6 6 3 3 α 3.已知 α 为第三象限的角,则 所在的象限是 ( ) 2 A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 4.若 1 弧度的圆心角所对弦长等于 2,则这个圆心角所对的弧长等于 ( )
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A.sin 1 C. 1 sin 2

1 2

π B. 6 D.2sin 1 2

π π? 5.已知 θ∈? ?-2,2?且 sin θ+cos θ=a,其中 a∈(0,1),则关于 tan θ 的值,以下四个答案 中,可能正确的是 A.-3 1 B.3 或 3 ( )

1 1 C.- D.-3 或- 3 3 1 2 3 4 5 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6 .已知点 P(sin α - cos α , tan α) 在第一象限,且 α ∈ [0,2π] ,则 α 的取值范围是 ________________. 3π 3π sin ,cos ?落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值 7.(2011· 龙岩模拟)已知点 P? 4 4? ? 为________. 8.阅读下列命题: 2 5 ①若点 P(a,2a) (a≠0)为角 α 终边上一点,则 sin α= ; 5 1 3 ②同时满足 sin α= ,cos α= 的角有且只有一个; 2 2 1 3π 5 ③设 tan α= 且 π<α< ,则 sin α=- ; 2 2 5 ④设 cos(sin θ)· tan(cos θ)>0 (θ 为象限角), 则 θ 在第一象限. 其中正确命题为________. (将 正确命题的序号填在横线上) 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)已知扇形 OAB 的圆心角 α 为 120° ,半径长为 6, (1)求 AB 的弧长; (2)求弓形 OAB 的面积.

10.(12 分)在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围,并由此写出角 α 的集合: 3 (1)sin α≥ ; 2 1 (2)cos α≤- . 2

11.(14 分)(2011· 舟山月考)已知角 α 终边经过点 P(x,- 2) (x≠0),且 cos α= 1 α+ 的值. tan α

3 x.求 sin 6

答案

自主梳理
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1.始边 顶点 终边 逆 顺 零 (1)第几象限 π kπ ? ? ? ? (2){α|α=kπ,k∈Z} ?α|α=kπ+2,k∈Z? ?α|α= 2 ,k∈Z? (3){β|β=α+k· 360° ,k∈Z} ? ? ? ? π ?180? ° {β|β = α + 2kπ , k ∈ Z} (4) 半径 圆心角 弧度制 rad 弧度 (5)2π π 180 ? π ? 1 1 2 y (6)|α|· r 弧所对的圆心角 (弧度数)的绝对值与半径的积 lr |α|r 2.①y ②x ③ (2)α 2 2 x 的正弦线 α 的余弦线 α 的正切线 自我检测 1.A 2.D 3.C 4.D 课堂活动区 例 1 解题导引 (1)一般地,角 α 与-α 终边关于 x 轴对称;角 α 与 π-α 终边关于 y 轴 对称;角 α 与 π+α 终边关于原点对称. (2)利用终边相同的角的集合 S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断一个角 β 所在的象限时,只需 把这个角写成[0,2π)范围内的一角 α 与 2π 的整数倍,然后判断角 α 的象限. (3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法为先写出与这个角的终边相 同的所有角的集合,然后通过对集合参数 k 赋值来求得所需角. 3π 解 (1)π+2kπ<α< +2kπ (k∈Z), 2 3π ∴- -2kπ<-α<-π-2kπ(k∈Z), 2 π 即 +2kπ<-α<π+2kπ (k∈Z).① 2 ∴-α 角终边在第二象限. 3π 又由①各边都加上 π,得 +2kπ<π-α<2π+2kπ (k∈Z). 2 ∴π-α 是第四象限角. 同理可知,π+α 是第一象限角. π (2)在(0,π)内终边在直线 y= 3x 上的角是 , 3 ∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为 π ? ? ?α|α= +kπ,k∈Z?. 3 ? ? (3)∵θ=168° +k· 360°(k∈Z), θ ∴ =56° +k· 120°(k∈Z). 3 ∵0° ≤56° +k· 120° <360° , θ ∴k=0,1,2 时, ∈[0° ,360° ). 3 θ 故在[0° ,360° )内终边与 角的终边相同的角是 56° ,176° ,296° . 3 变式迁移 1 解 ∵α 是第二象限的角, ∴k· 360° +90° <α<k· 360° +180°(k∈Z). (1)∵2k· 360° +180° <2α<2k· 360° +360°(k∈Z), ∴2α 的终边在第三或第四象限,或角的终边在 y 轴的非正半轴上. α (2)∵k· 180° +45° < <k· 180° +90°(k∈Z), 2 当 k=2n (n∈Z)时, α n· 360° +45° < <n· 360° +90° ; 2 当 k=2n+1 (n∈Z)时, α n· 360° +225° < <n· 360° +270° . 2
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α ∴ 是第一或第三象限的角. 2 α ∴ 的终边在第一或第三象限. 2 例 2 解题导引 本题主要考查弧长公式和扇形的面积公式,并与最值问题联系在一 起.确定一个扇形需要两个基本条件,因此在解题中应依据题目条件确定出圆心角、半径、 弧长三个基本量中的两个,然后再进行求解. 解

(1)设扇形的弧长为 l,该弧所在弓形的面积为 S,如图所示, π 当 α=60° = , 3 R=10 cm 时, 10π 可知 l=αR= cm. 3 1 1 π 而 S=S 扇-S△OAB= lR- R2sin 2 2 3 1 10π 1 3 = × ×10- ×100× 2 3 2 2 50π 2 ? =? ? 3 -25 3? cm . (2)已知 2R+l=C,即 2R+αR=C, 1 1 1 S 扇= αR2= · αR· R= · αR· 2R 2 2 4 1 ?αR+2R?2 1 ?C?2 C2 ≤ · = · = . 4 ? 2 ? 4 ? 2 ? 16 1 当且仅当 αR=2R,即 α=2 时,等号成立,即当 α 为 2 弧度时,该扇形有最大面积 C2. 16 变式迁移 2 解 设扇形半径为 R,圆心角为 θ,所对的弧长为 l. 1 ? ?2θR2=4, (1)依题意,得?

?θR+2R=10, ?

1 ∴2θ2-17θ+8=0.∴θ=8 或 . 2 1 ∵8>2π,舍去,∴θ= . 2 (2)扇形的周长为 40,即 θR+2R=40, 1 1 1 1 θR+2R?2 S= lR= θR2= θR· 2R≤ ? =100. 2 2 4 4? 2 ? 当且仅当 θR=2R,即 R=10,θ=2 时扇形面积取得最大值,最大值为 100. 例 3 解题导引 某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关,当终边确定时三角函 数值就相应确定了.但若终边落在某条直线上时,这时终边实际上有两个,因此对应的函数 值有两组,要分别求解. 解 ∵角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上, ∴在角 α 的终边上任取一点 P(4t,-3t) (t≠0), 则 x=4t,y=-3t, r= x2+y2= ?4t?2+?-3t?2=5|t|, 当 t>0 时,r=5t,

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y -3t 3 sin α= = =- , r 5t 5 x 4t 4 cos α= = = , r 5t 5 y -3t 3 tan α= = =- ; x 4t 4 当 t<0 时,r=-5t, y -3t 3 sin α= = = , r -5t 5 x 4t 4 cos α= = =- , r -5t 5 y -3t 3 tan α= = =- . x 4t 4 3 4 3 综上可知,t>0 时,sin α=- ,cos α= ,tan α=- ; 5 5 4 3 4 3 t<0 时,sin α= ,cos α=- ,tan α=- . 5 5 4 变式迁移 3 解 r= ?-4a?2+?3a?2=5|a|. 若 a>0,则 r=5a,α 角在第二象限, y 3a 3 sin α= = = , r 5a 5 x -4a 4 cos α= = =- , r 5a 5 y 3a 3 tan α= = =- . x -4a 4 若 a<0,则 r=-5a,α 角在第四象限, y 3a 3 x -4a 4 sin α= = =- ,cos α= = = , r -5a 5 r -5a 5 y 3a 3 tan α= = =- . x -4a 4 课后练习区 1.A 2.B 3.D 4.C 5.C π π? ? 5π? 6.? ?4,2?∪?π, 4 ? ?sin α>cos α, ? 解析 由已知得? ?tan α>0, ? π π 5π ∴ +2kπ<α< +2kπ 或 π+2kπ<α< +2kπ,k∈Z. 4 2 4 π π 5π ∵0≤α≤2π,∴当 k=0 时, <α< 或 π<α< . 4 2 4 7 7. π 4 3π cos 4 y 解析 由三角函数的定义,tan θ= = =-1. x 3π sin 4 3π 3π 7π 又∵sin >0,cos <0,∴P 在第四象限,∴θ= . 4 4 4 8.③ 解析 ①中,当 α 在第三象限时, 2 5 sin α=- ,故①错. 5
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1 3 π ②中,同时满足 sin α= ,cos α= 的角为 α=2kπ+ (k∈Z),不只有一个,故②错.③ 2 2 6 正确.④θ 可能在第一象限或第四象限,故④错.综上选③. 2π 9.解 (1)∵α=120° = ,r=6, 3 2π ∴ AB 的弧长为 l=αr= ×6=4π.……………………………………………………(4 分) 3 1 1 (2)∵S 扇形 OAB= lr= ×4π×6=12π,……………………………………………………(7 分) 2 2 12 2π 1 2 3 S△ABO= r · sin = ×6 × 2 3 2 2 =9 3,……………………………………………………………………………………(10 分) ∴S 弓形 OAB=S 扇形 OAB-S△ABO=12π-9 3.………………………………………………(12 分) 10.解 (1)

3 交单位圆于 A、B 两点,连结 OA、OB,则 OA 与 OB 围成的区域即为角 α 2 π 2π ? ? 的集合为?α|2kπ+3≤α≤2kπ+ 3 ,k∈Z?.…………………………………………………(6 分) ? ? (2) 作直线 y=

1 作直线 x=- 交单位圆于 C、D 两点,连结 OC、OD,则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴 2 影部分)即为角 α 终边的范围.故满足条件的角 α 的集合为 2π 4π ? ? ?α|2kπ+ ≤α≤2kπ+ ,k∈Z?.……………………………………………………(12 分) 3 3 ? ? 11.解 ∵P(x,- 2) (x≠0), ∴点 P 到原点的距离 r= x2+2.…………………………………………………………(2 分) 3 又 cos α= x, 6 x 3 ∴cos α= 2 = x.∵x≠0,∴x=± 10, 6 x +2 ∴r=2 3.…………………………………………………………………………………(6 分) 当 x= 10时,P 点坐标为( 10,- 2), 由三角函数的定义, 6 1 有 sin α=- , =- 5, 6 tan α 6 5+ 6 1 6 ∴sin α+ =- - 5=- ;……………………………………………(10 分) tan α 6 6 当 x=- 10时,

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1 6 5- 6 同样可求得 sin α+ = .………………………………………………(14 分) tan α 6

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