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高中数学导数典型例题


高中数学导数典型例题
题型一:利用导数研究函数的单调性、极值、最值
1. 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 过曲线 y ? f ( x) 上的点 P(1, f (1)) 的切线方程为 y=3x+1 。 (1)若函数 f ( x )在x ? ?2 处有极值,求 f (x ) 的表达式; (2)在(1)的条件下,求函数 y ? f (x ) 在[-3,1]上的最大值; (3)若函数 y ? f (x ) 在区间[-2,1]上单调递增,求实数 b 的取值范围

2. 已知 f ( x ) ? (1)当|a|?

2 3 x ? 2ax2 ? 3x (a ? R). 3

1 时, 求证: f ( x ) 在 (?1, 1) 内是减函数; 4

(2)若 y ? f ( x ) 在 (?1, 1) 内有且只有一个极值点, 求 a 的取值范围.

题型二:利用导数解决恒成立的问题 3 2 2 例 1:已知 f ( x) ? x ? 6ax ? 9a x ( a ? R ) .
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若对 ?x ??0,3? 有 f ( x) ? 4 恒成立,求实数 a 的取值范围.

例 2:已知函数 f ( x) ? e2 x ? 2t (e x ? x) ? x2 ? 2t 2 ? 1, g ( x) ? (1)证明:当 t ? 2 2 时, g ( x) 在 R 上是增函数;

1 f ?( x) . 2

(2)对于给定的闭区间 [a,b] ,试说明存在实数 k ,当 t ? k 时, g ( x) 在闭区间 [a,b] 上是减函数; (3)证明: f ( x ) ≥

3 . 2

例 3:已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3 (1)求函数 f (x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值 (2)对 ?x ? (0, ??),2 f ( x) ? g( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围

题型三:利用导数研究方程的根
例 4:已知函数 f ( x ) ? ax 3 ? 3x 2 ? 1 ?

3 . a

(I)讨论函数 f (x) 的单调性; (Ⅱ)若曲线 f ( x) 上两点 A、B 处的切线都与 y 轴垂直,且线段 AB 与 x 轴有公共点,求实 数 a 的取值范围.

例 5: 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x(a, b ? R) , 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 ? 0. (1)若对于区间 [?2,2] 上任意两个自变量的值 x1 , x 2 ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? c ,求实数 c 的最小值。 (2)若过点 M (2, m)(m ? 2) ,可作曲线 y ? f (x) 的三条切 线,求实数 m 的取值范围。

题型四:导数与不等式的综合
例 6:已知函数 f ( x ) ?

ln x ? 1 x

当 x ? 1 时,求证: f ( x) ? 1

1 2 例 7: (2009 辽宁)已知函数 f(x)= x -ax+(a-1)lnx,a>1. 2 (I)讨论函数 f(x)的单调性; f(x1)-f(x2) (II)证明:若 a<5,则对任意 x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,有 >-1. x1-x2


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