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陕西省西安市昆仑中学2014届高考数学一轮复习讲义 第26课时 合情推理和演绎推理 理


课题:合情推理与演绎推理
考纲要求: ①了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推理,体会并认识合 情推理在数学发现中的作用;②了解演绎推理的含义,了解合情推理和演绎推理的联系和 差异;③掌握演绎推理的“三段论” ,能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理. 教材复习 定义:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物 都有 归纳 这种属性的推理 合 推理 特点:是由 到 、由 到 的推理. 情 定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的其它特征,推出另一类 推 类比 对象也具有 的推理. 理 推理 特点:类比推理是 到 的推理. 演 绎 推 理 概念:从 的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理. 一般模式:①大前提---已知的一般原理; ②小前提---所研究的特殊情况; ③结论---根据一般原理,对特殊情况作出判断. 特点:①演绎推理是由 到 的推理. ②用演绎推理得出的结论,只要大前提,小前提,推理正确,得出的结论

归纳推理的方法步骤:

?1? 观察分析所列情况的共性,如图形中的点、线的个数、位置关系,数列中数的变化规 律,一系列式子的共同运算特点等; ? 2 ? 将观察到的共性进行推广,形成一般的结论.
类比推理的方法步骤:

?1? 找出两类事物之间的相似性或一致性; ? 2 ? 用一类事物的性质去推测另一类事物的性

质,得出一个明确的命题,即猜想. 典例分析: 考点一 归纳推理 问题 1. ?1? ( 2013 陕西)观察下列等式:

12 ? 1 12 ? 22 ? ?3 12 ? 22 ? 32 ? 6 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ?10 ???
照此规律, 第 n 个等式可为 .

179

? 2 ? ( 09 浙江理)观察下列等式:
1 5 9 13 1 5 1 5 9 ? C13 ? C13 ? C13 ? 211 ? 25 , C5 ? C5 ? 23 ? 2 , C9 ? C9 ? C9 ? 27 ? 23 , C13 1 5 9 13 17 C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? 215 ? 27 , ??,由以上等式推测到一个一般的结论: 1 5 9 4 n?1 对于 n ? N , C4 n?1 ? C4 n?1 ? C4 n?1 ? …? C4 n?1 ?
*

某同学在一次研究性学习中发现, 以下五个式子的值都等于同一个常数. ? 3?( 2012 福建)

?1? sin 2 13? ? cos2 17? ? sin13? cos17? ;
? 2 ? sin 2 15? ? cos2 15? ? sin15? cos15? ; ? 3? sin 2 18? ? cos2 12? ? sin18? cos12? ; ? 4 ? sin2 ? ?13? ? ? cos2 48? ? sin ? ?13? ? cos 48? ; ? 5? sin2 ? ?25? ? ? cos2 55? ? sin ? ?25? ? cos55? 。
(I)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (II)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.

180

? 4 ? ( 2013 湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数
1 , 3 , 6 , 10 ,?,第 n 个三角形数为

n ? n ? 1? 1 2 1 ? n ? n . 记第 n 个 k 边形数为 2 2 2

N ? n, k ? ? k ? 3? ,以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式:
三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 ?? 可以推测 N ? n, k ? 的表达式,由此计算 N ?10, 24 ? ?

N ? n,3? ?

1 2 1 n ? n 2 2

N ? n, 4 ? ? n 2

N ? n,5? ?

3 2 1 n ? n 2 2

N ? n,6 ? ? 2n 2 ? n

考点二 类比推理 问题 2. ?1? ( 09 江苏)在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1 : 2 ,则它们的面积比
181

为 1 : 4 ,类似地,在空间,若两个正四面体的棱长的比为 1 : 2 ,则它们的体积比为

? 2 ? 在平面几何里,有“若 △ ABC 的边长分别为 a, b, c ,内切圆半径为 r ,则三角形的面
1 “若四面体 ABCD 的四个面 ? a ? b ? c ? r ”,拓展到空间,类比上述结论, 2 的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4 ,内切球的半径为 r ,则四面体的体积为 V ? .”
积为 S△ ABC ?

2 二维测度(面积) S ? ? r , ? 3? ( 2013 郑州模拟)二维空间中圆的一维测度(周长) l ? 2? r , 2 观 察 发 现 S ? ? l ; 三 维 空 间 中 球 的 二 维 测 度 ( 表 面 积 ) S ? 4? r , 三 维 测 度 ( 体

4 3 ? r ,观察发现 V ? ? S .则由四维空间中“超球”的三维测度 V ? 8? r 3 ,猜想其 3 四维测度 W ?
积) V ?

? 4 ? 平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质,例如在三角形中:①三角形
两边之和大于第三边;②三角形的面积 S ?

1 ×底×高;③三角形的中位线平行于第三边 2

且等于第三边的

1 ;?? 2

请类比上述性质,写出空间中四面体的相关结论.

考点三 演绎推理

问题 3. ?1?? 用三段论形式写出下列演绎推理: ? ① 0.33 2 是有理数;

② y ? f ( x) ? sin x ? x ? R ? 是周期函数.

182

? 2 ? 在锐角 △ ABC 中, AD ? BC , BE ? AC , D 、 E 是垂足, AB 的中点为 M .
求证: MD ? ME

课后作业:

1. 有下列各式: 1 ?

1 1 1 ? ? 1 ,1 ? ? 2 3 2

?

1 3 1 1 ? ,1 ? ? ? 7 2 2 3

?

1 ? 2 ,?? 15

则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为: 2. 黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图 的规律拼成若干个图案,则第五个图案中有 白色地面砖( )块.

A. 20

B. 21

C. 22

D. 23

3. 一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?
若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前 120 个圈中的●的个 数是

4. ( 2014 届湖北潜江中学暑期阶段性考试) ? n ? 表示不超过 n 的最大整数. ? ?

183

S1 ? [ 1] ? [ 2] ? [ 3] ? 3 S2 ? [ 4] ? [ 5] ? [ 6] ? [ 7] ? [ 8] ? 10 S3 ? [ 9] ? [ 10] ? [ 11] ? [ 12] ? [ 13] ? [ 14] ? [ 15] ? 21
那么 S5 ?

5. ( 2013 台州联考)观察下列几个三角恒等式:
① tan10? tan 20? ? tan 20? tan 60? ? tan 60? tan10? ? 1 ; ② tan5? tan100? ? tan100? tan ? ?15? ? ? tan ? ?15? ? tan5? ? 1 ; ③ tan13? tan 35? ? tan 35? tan 42? ? tan 42? tan13? ? 1 一般地,若 tan ? , tan ? , tan ? 都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论 为

6. ( 2013 济南一中模拟)下图中 ?1? 、 ? 2 ? 、 ? 3? 、 ? 4 ? 为四个平面图形.表中给出了各平
面图形中的顶点数、边数以及区域数. 现已知某个平面图形有 1009 顶点,且 围成了 1006 个区域,试根据以上关系 确定这个平面图形的边数为

平面图形

?1? ? 2?

顶点

边数

区域数

3
8

3
12

2

6
184

? 3? ? 4?

6
10

9 15

5

7

7. 在 △ ABC 中, AB ? AC 于 A , AD ? BC 于 D .求证:

1 1 1 ? ? , 2 2 AD AB AC 2

那么在四面体 ABCD 中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明你的理由.

8. ( 2013 福州质检)将正奇数 1,3,5, 7 ,?排成五列(如下表) ,按此表的排列规律, 89
所在的位置是 A. 第一列 B. 第二列 C. 第三列 D. 第四列

走向高考:
185

1. ( 2011 江西)观察下列各式: 55 ? 3125 , 56 ? 15625 , 57 ? 78125 ,?,则 52011`
的末四位数字为

A. 3125

B. 5625

C. 0625

D. 8125

2. ( 2010 陕 西 文 ) 观 察 下 列 等 式 : 13 ? 23 ? ?1 ? 2 ? , 13 ? 23 ? 33 ? ?1 ? 2 ? 3? ,
2 2

13 ? 23 ? 33 ? 43 ? ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ,?,根据上述规律,第四个等式 为 .....
2

3. ( 2013 福建)当 x ? R, x ? 1 时,有如下表达式: 1 ? x ? x 2 ? ... ? x n ? ... ?
两边同时积分得:

1 . 1? x

?

1 2 0

1dx ? ? xdx ? ? x dx ? ... ? ? x dx ? ... ? ?
2 n

1 2 0

1 2 0

1 2 0

1 2 0

1 dx. 1? x

从而得到如下等式: 1?

1 1 1 2 1 1 3 1 1 ? ? ( ) ? ? ( ) ? ... ? ? ( ) n ?1 ? ... ? ln 2. 2 2 2 3 2 n ?1 2
3 n ?1

请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:

1 1 1 ?1? 1 2 ?1? 1 n ?1? C ? ? Cn ? ? ? ? Cn ? ? ? ? ??? ? Cn ?? ? 2 2 n ?1 ?2? 3 ?2? ?2?
0 n

2

?

186


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