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2016-2017年数学·必修5(苏教版)练习:章末知识整合2 Word版含解析


章末知识整合

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专题 1 求数列的通项公式 一、观察法 [典例 1] 写出以下数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是 下列各数. 1 1 1 (1)-1, ,- , ; 2 3 4 1 4 9 16 (2)1 ,2 ,3 ,4 ; 2 5 10 17

(3)-3,7,-15,31,…; (4)2,6,2,6,…. 分析: 观察数列中的每一项与它的序号之间的对应关系, 每一项 分子与分母的关系,前后项间的关系归纳通项. 解:(1)这个数列的前 4 项的绝对值都是序号的倒数,并且奇数 项为负,偶数项为正,故有: 1 an=(-1)n· . n 1 1 (2)1 =1+ 2 , 2 1 +1 4 22 2 =2+ 2 , 5 2 +1 9 32 3 =3+ 2 , 10 3 +1 16 42 4 =4+ 2 , 17 4 +1 …, n2 故 an=n+ 2 (n∈N*). n +1 (3)正负相间,且负号在奇数项,故可用(-1)n 来表示符号,各项 的绝对值恰是 2 的整数次幂减 1,所以 an=(-1)n·(2n+1-1). (4)这样的摆动数列,一般求两数的平均数 2+6 =4, 2

而 2=4-2,6=4+2,中间符号用(-1)n 来表示.
? ?2 (n是奇数), an=4+(-1)n·2 或 an=? ?6 (n是偶数). ?

归纳拓展 (1)观察是归纳的前提,合理的转换是完成归纳的关键.

(2)由数列的前 n 项归纳出的通项公式不一定唯一. 如数列 5,0, (n-1)π -5,0,5,…的通项公式可为 5cos (n∈N*),也可为 an= 2 nπ 5sin (n∈N*). 2 (3)已知数列的前 n 项,写出数列的通项公式时,要熟记一些特
?1 ? 殊数列.如{(-1)n},{n},{2n-1},{2n},{2n-1},{n2},?n?等,观 ? ?

察所给数列与这些特殊数列的关系,从而写出数列的通项公式. [变式训练] 1.写出下列数列的一个通项公式. 1 1 1 (1)1,- , ,- ,…; 4 9 16 (2) 2, 6,2 3,2 5,…; (3)1,3,6,10,15,…; (4)1,-4,7,-10,13,…. 1 解:(1)an=(-1)n+1 2(n∈N*). n (2)原数列可写成 2, 6, 12, 20,…,

易得 an= n(n+1)(n∈N*). (3)因为 3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,15=1+2+3 +4+5,…,所以 an=1+2+3+…+n= n(n+1) (n∈N*). 2

(4)因为 1,4,7,10,13,…组成 1 为首项,3 为公差的等差数 列,易得 an=(-1)n+1(3n-2)(n∈N*).
?S1,n=1, ? 二、利用 an=? 求 an ? ?Sn-Sn-1,n≥2

[典例 2] 数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 an=5Sn-3(n∈N+),

求 an 的通项公式.
? ?S1 分析:利用 an=? ? ?Sn-Sn-1

(n=1), (n≥2),

将式中的 Sn 去掉求解.

解:当 n=1 时,a1=5S1-3=5a1-3, 3 得:a1= , 4 当 n≥2 时,由已知 an=5Sn-3, 得:an-1=5Sn-1-3, 两式作差得 an-an-1=5(Sn-Sn-1)=5an, 1 所以 an=- an-1. 4 3 1 所以数列{an}是首项 a1= ,公比 q=- 的等比数列. 4 4 所以 an=a1·q 归纳拓展 已知数列的前 n 项和公式,求数列的通项公式,其方法是 an =Sn-Sn-1(n≥2).这里常常因为忽略了 n≥2 的条件而出错,即由 an=Sn-Sn-1 求得 an 时的 n 是从 2 开始的自然数, 否则会出现当 n= 1 时 Sn-1=S0,而与前 n 项和定义矛盾.可见由 an=Sn-Sn-1 所确定 的 an,当 n=1 时的 a1 与 S1 相等时,an 才是通项公式,否则要用分
? ?S1,n=1, 段函数表示为 an=? ?Sn-Sn-1,n≥2. ?
n-1

3 ? 1? = ·?-4? 4 ? ?

n- 1

.

[变式训练] 2.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{Sn}的前 n 项和为 Tn,满 足 Tn=2Sn-n2,n∈N*. (1)求 a1 的值;

(2)求{an}的通项公式. 解:(1)当 n=1 时,T1=2S1-1,而 T1=S1=a1, 所以 a1=2a1-1,解得 a1=1. (2)n≥2 时, Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]=2Sn-2Sn
-1

-2n+1. 所以 Sn=2Sn-1+2n-1,① Sn+1=2Sn+2n+1.② ②-①得 an+1=2an+2, an+1+2 即 an+1+2=2(an+2),亦即 =2. an+2 a1+2=3,a2+2=6, a2+2 =2, a1+2

所以{an+2}是首项为 3,公比为 2 的等比数列. 所以 an+2=3· 2n-1,故 an=3· 2n-1-2(n∈N*). 三、叠加法 [典例 3] 已知 a1=1,an+1-an=2n-n. (1)求 a2,a3; (2)求证:an=2n- n(n-1) -1. 2

分析:由数列{an}的递推公式,令 n=1,2 逐项求出 a2,a3;由 递推公式的特点,可采用叠加法求通项. (1)解:因为 a1=1, 所以 a2=a1+2-1=2, a3=a2+22-2=4. (2)证明:因为 an+1-an=2n-n, 所以 a2-a1=21-1,a3-a2=22-2,a4-a3=23-3,…,

当 n≥2 时,an-an-1=2n-1-(n-1). 所以 n≥2 时,将以上(n-1)个式子相加,得 an-a1=(21+22+…+2n-1)-[1+2+…+(n-1)], 所以 an=2n- n(n-1) -1. 2

而 n=1 时,a1=1 也适合上式. n(n-1) 所以数列{an}的通项公式为 an=2n- -1. 2 归纳拓展 3n-1 (1)对 n=1 时,检验 a1 =1 是否满足 an= 是必要的,否则 2 就要写成分段函数的形式. (2)如果给出数列{an}的递推公式为 an=an-1+f(n)型,并且{f(n)} 容易求和,这时可采用叠加法. 对 n=1 检验是必要的,否则就要写成分段函数的形式,这里说 的 f(n)易求和,指的是 f(n)的形式为等差数列前 n 项和、等比数列前 n 项 和 , 或 是 常 见 的 特 殊 公 式 , 如 12 + 22 + 32 + … + n2 = n(n+1)(2n+1) 等. 6 [变式训练] 3. 已知数列{an}满足 an+1=an+n2, 且 a1=1, 求{an}的通项公式. 解:因为 an+1=an+n2,所以 an+1-an=n2.

? ?a - a = 2 , 所以? 叠加即得 … ? ?a -a =(n-1) .
3 2 2 n n-1 2

a2-a1=12,

(n-1)n(2n-1) an-a1=12+22+…+(n-1)2= , 6

1 所以 an= n(n-1)(2n-1)+1(n∈N*). 6 四、叠乘法 [典例 4] 已知数列{an}满足 a1=1,nan+1=(n+2)an,求 an. 分析:数列{an}中的递推公式可化为 通项. 解:因为 an+1 n+2 = , an n an+1 n+2 = 可采用叠乘法求 an n

a2 a3 a4 an 3 4 5 6 7 所以 n≥2 时, · · · …· = × × × × ×…× a1 a2 a3 a n -1 1 2 3 4 5 n+1 n(n+1) n · = , 2 n-2 n-1 an n(n+1) 即 = . a1 2 又因为 a1=1, 所以 an= n(n+1) . 2

而 a1=1 也适合上式, 1 所以{an}的通项公式为 an= n(n+1). 2 归纳拓展 如果数列{an}的递推公式为 an+1 =f(n)型时, 并且{f(n)}容易求前 n an

项的积,这时可采用叠乘法.叠乘的目的是使分子、分母相抵消. [变式训练] 1 4.在数列{an}中,已知 a1= ,an+1=2nan,求 an. 4 解:由 an+1=2nan 得 an+1 =2n, an

a2 a3 an an 所以 =21, =22,…, =2n-1.叠乘得 =2×22×…×2n-1 a1 a2 a1 an-1
n(n-1)

=2

2


n(n-1) n2-n-4 2

所以 an=2

1 · =2 4

2

(n∈N*).

五、构造转化法
?1? 5 1 [典例 5] 已知{an}中,a1= ,an+1= an+?2? 6 2 ? ? ?1? 分析:两边同除以?2? ? ?
n+ 1 n+ 1

,求 an.

,可转化为 bn+1=bn+t 的形式,即{bn}

为等差数列.
?1? 1 解:在 an+1= an+?2? 2 ? ?
n+ 1

的两边同乘以 2n+1,得 2n+1an+1=2nan

+1,令 bn=2nan, 则 bn+1=bn+1. 5 于是{bn}是以 为首项,以 1 为公差的等差数列. 3 5 2 则 bn= +(n-1)· 1,即 2nan=n+ , 3 3 n+ 故 an= 2 2 3 n .

归纳拓展 根据已知条件构造一个与{an}有关的新的数列,通过新数列通项 公式的求解求得{an}的通项公式.新的数列往往是等差数列或是等比 数列.例如形如 an=pan-1+q(p,q 为常数)的形式,往往变为 an-λ =p(an-1-λ),构成等比数列,求 an-λ 通项公式,再求 an. [变式训练]

5.已知数列{an}中,a1=2,an+1=3an-2,求 an. 解:由 an+1=3an-2,设 an+1+k=3(an+k), 其中 k 是待定系数,即 an+1=3an+2k 与条件进行对比, 得 2k=-2,所以 k=-1. 故 an+1-1=3(an-1), 所以{an-1}是 2-1=1 为首项,公比为 3 的等比数列. 所以 an-1=1×3n-1. 所以 an=3n-1+1(n∈N*). 专题 2 数列的求和 一、公式法 [典例 6] (1)求 1+4+7+…+(3n+1)的值;

(2)若数列{xn}满足 logaxn+1=1+logaxn(n∈N*,a>0,且 a≠1) 且 x1+x2+x3+…+x100=100,求 x101+x102+…+x200 的值. 分析:(1)中 1,4,7,…,3n+1 是个等差数列,但容易这样求 n[1+(3n+1)] 3n2 解:Sn= = +n.这是错误的,错在没搞清此数列 2 2 x n +1 有多少项. (2)可以作个变换 logaxn+1-logaxn=loga =1, 推导出{xn} xn 是等比数列再求解. 解:(1)因为数列中 3×0+1=1, 所以第 1 项 1 是 n=0 时得到的. 所以此数列是首项为 1,末项为 3n+1,项数为 n+1 的等差数 列. (n+1)[1+(3n+1)] 3n2 5n 所以 Sn= = + +1. 2 2 2 (2)由 logaxn+1=1+logaxn 得 logaxn+1-logaxn=1,

x n+1 所以 loga =1. xn 所以 xn+1 = a. xn

所以数列{xn}是公比为 a 的等比数列. 由等比数列的性质得: x101+x102+…+x200=(x1+x2+…+x100)a100=100×a100. 归纳拓展 数列求和常用的公式有: 等差数列:Sn= n(a1+an) n(n-1) =na1+ d. 2 2

na ,q=1, ? ? 1 等比数列:Sn=?a1(1-qn) a1-anq ? ? 1-q = 1-q ,q≠1.

k= 1

?k=1+2+3+…+n=2n(n+1). ?k2=12+22+32+…+n2=6n(n+1)(2n+1).
n

n

1

1

k= 1

[变式训练] 6.设{an}为等比数列,{bn}为等差数列,且 b1=0,cn=an+bn, 若{cn}是 1,1,2,…,求{cn}的前 10 项之和. 解:设{an}的首项为 a,公比为 q,{bn}首项为 b,公差为 d,b1 =0,由 c1=a1+b1=1,知 a1=1. c2=a2+b2=q+d=1, c3=a3+b3=q2+2d=2, 解得 q=2,d=-1,所以 an=2n-1(n∈N*), bn=1-n(n∈N*).

所以 cn=2n-1+(1-n)(n∈N*). 所以 {cn} 前 10 项和为 a1 + a2 + … + a10 + (b1 + b2 + … + b10) =
? 1-210 ? 10×9 +?10×0+ ×(-1)?=978. 2 1-2 ? ?

二、分组求和法
?n (n为奇数), ? [典例 7] 求数列 an=? n 的前 2n 项和, ?2 (n为偶数) ?

分析:由数列{an}的通项可知,数列{an}中的奇数项构成一个等 差数列,偶数项构成一个等比数列,故可将所有奇数项分成一组,将 所有的偶数项分成一组求和. 解:因为 2n 为偶数所以奇数项与偶数项各有 n 项, 所以 S2n = [1 + 3 + 5 + … + (2n - 1)] + (22 + 24 + 26 + … + 22n) = n[1+(2n-1)] 4(1-4n) 4 + =n2+ (4n-1). 2 3 1-4 归纳拓展 将数列的每一项拆成多项, 然后重新分组, 将一般数列求和问题 转化为特殊数列的求和问题, 运用的是化归的数学思想, 通项变形是 这种方法的关键. [变式训练] 7.已知数列{an}的通项公式为 an=n(n+1),求{an}的前 n 项和 Sn. 解:an=n(n+1)=n+n2(n∈N*), n(n+1) 所以 Sn=(1+2+3+…+n)+(12+22+32+…+n2)= 2 n(n+1)(2n+1) n(n+1)(n+2) + = . 6 3 三、裂项相消法

1 1 1 1 [典例 8] 求和: 2 + 2 + 2 +…+ 2 ,n≥2. 2 -1 3 -1 4 -1 n -1 分 析 : 由 于 通 项 an = 1 1 = = n -1 (n+1)(n-1)
2

1 ? 1 ? 1 ·?n-1-n+1?(n≥2),所以采用裂项相消法. 2 ? ? 解:因为 1 ? 1 1 1? 1 = = ?n-1-n+1?, n -1 (n-1)(n+1) 2? ?
2

1? ?1 1? ?1 1? 1?? 所以原式= ??1-3?+?2-4?+?3-5?+…+ 2?? ? ? ? ? ?
? 1 1 ?? 1? 1 1 1 ? 3 2n+1 - ? ??= ?1+ - - ?= - 2 n n+1? 4 2n(n+1). ?(n-1) n+1?? 2?

归纳拓展 裂项相消求和就是将数列的每一项拆成二项或多项. 使数列中的 项出现有规律的抵消项,从而达到求和的目的. 常见的拆项公式有: 1 1 1 (1) = - ; n(n+1) n n+1 1 ? 1 1? 1 (2) = ?2n-1-2n+1?; (2n-1)(2n+1) 2? ?
? 1 1 1 1? (3) = ?n(n+1)-(n+1)(n+2)?; n(n+1)(n+2) 2? ?

(4)

1 1 = ( a- b); a+ b a-b

(5)an=Sn-Sn-1(n≥2). [变式训练] 8.已知数列{an}的通项公式为 an= 项和 Sn. 2n+1 ,求{an}的前 n n (n+1)2
2

2n+1 (n+1)2-n2 1 1 解:因为 2 , 2= 2 2 = 2- n (n+1)2 n (n+1) n (n+1)
?1 ? 1 ? 1? ?1 1? ?1 1? 所以 Sn=?1-22?+?22-32? +?32-42?+…+?n2-(n+1)2?=1 ? ? ? ? ? ? ? ?

n(n+2) 1 - . 2= (n+1) (n+1)2 四、错位相减法 [典例 9] 求数列{n· 22n-1}的前 n 项和. 分析:该数列为非等差非等比数列,其通项 an=n· 22n-1 可看成 一个等差数 bn=n,与一个等比数列 Cn=22n-1 相应项的积,所以本 题可用错位相减法求解. 解:Sn=1×2+2×23+3×25+…+n· 22n-1,① 从而 22·Sn=1×23+2×25+3×27+…+n· 22n+1.② ①-②得(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1, 1 即 Sn= [(3n-1)22n+1+2]. 9 归纳拓展 若数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,由这两个数列的 对应项乘积组成的新数列为{anbn},当求该新数列前 n 项和时,常常 采用将 {anbn}的各项乘以公比,并向后错一项与 {anbn}的同项对应相 减,即可转化为特殊数列的求和,这种求和的方法称为错位相减法. [变式训练] 9.求和:Sn=1×2+4×22+7×23+…+(3n-2)· 2n. 解:因为 Sn=1×2+4×22+7×23+…+[3(n-1)-2]· 2n-1+ (3n-2)· 2n,① 2Sn=1×22+4×23+…+[3(n-1)-2]· 2n+(3n-2)· 2n+1,② 所以①-②得-Sn

=1×2+3×22+3×23+…+3· 2n-(3n-2)×2n+1 =3(2+22+…+2n)-(3n-2)· 2n+1-4 =3(2n+1-2)-(3n-2)· 2n+1-4 =3×2n+1-6-3n· 2n+1+2n+2-4 =2n+2+3(1-n)· 2n+1-10. 所以 Sn=3(n-1)· 2n+1-2n+2+10. 五、倒序相加法求和
?1 ? [典例 10] 已知函数对一切 x∈R, f(x)+f(1-x)=1.求 f(0)+f?n? ? ? ?n-2? ?n-1? ?2 ? ?+f? ?+f(1). +f?n?+…+f? ? ? ? n ? ? n ? ?n-2? ?1 ? ?2? ?+ 解:因为 S=f(0)+f?n?+f?n?+…+f? ? ? ? ? ? n ? ?n-1? ?+f(1),① f? ? n ?

将①式右边反序得
?n-1? ?n-2? ?2 ? ?1 ? ?+f? ?+…+f? ?+f? ?+f(0),② S=f(1)+f? ?n? ?n? ? n ? ? n ?

①+②,得 2S=n+1,所以 S= 归纳拓展

n+1 . 2

倒序相加法是推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法,就是 将一个数列倒过来排序(反序),再把它与原数列相加,这样就得数列 {ak+an+1-k}(k=1,2,…,n)的前 n 项和,若该数列为等差(或等比) 数列,则{an}可用倒序相加法求和. [变式训练] x2 10.设 f(x)= ,求和 S=f(2 014)+f(2 013)+f(2 012)+…+ 1+x2

?1? ?1? ? 1 ? ? 1 ? f(1)+f?2?+f?3?+…+f?2 013?+f?2 014?. ? ? ? ? ? ? ? ?

x2 解:因为 f(x)= , 1+x2
?1? 所以 f?x?= ? ? ?1? ? ? ?x?
2 2=

?1? 1+?x? ? ? ? ?

1 . 1+x2

?1? 所以 f(x)+f?x?=1. ?1? ? 1 ? S=f(2 014)+f(2 013)+…+f(1)+f?2?+…+f?2 014?, ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? 又 S=f?2 014?+f?2 013?+…+f(1)+f(2)+…+f(2 014), ? ? ? ?

两式相加得 2S=2 014+2 013,所以 S= 专题 3 数列应用题 一、与等差数列有关的实际应用题 [典例 11]

4 027 . 2

一个水池有若干出水量相同的水龙头, 如果所有水龙

头同时放水,那么 24 min 可注满水池.如果开始时全部放开,以后 每隔相等的时间关闭一个水龙头, 到最后一个水龙头关闭时, 恰好注 满水池, 而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时 间的 5 倍,问最后关闭的这个水龙头放水多长时间? 分析: 由于本题每隔相等的时间关闭一个水龙头, 使每个水龙头 放水的时间构成等差数列.故可利用等差数列,前 n 项和的知识求 解. 解:设共有 n 个水龙头,每个水龙头放水时间从小到大依次为 x1,x2,…,xn, 由已知可知 x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1,

所以数列{xn}成等差数列. 每个水龙头 1 min 放水 1 (这里不妨设水池的容积为 1), 24n

1 所以 ·(x1+x2+…+xn)=1,即 Sn=24n. 24n 所以 n(x1+xn) =24n.所以 x1+xn=48. 2

又因为 xn=5x1,所以 6x1=48.所以 x1=8,xn=40. 故最后关闭的水龙头放水 40 min. 归纳拓展 建立数学模型的一般步骤: (1)认真审题,准确理解题意,达到如下要求: ①明确问题属于哪类应用问题; ②弄清题目中的主要已知事项; ③明确所求的结论是什么. (2)抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变 量或适当建立坐标系, 将文字语言翻译成数学语言, 将数量关系用数 学式子表达. (3)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,根据 题意列出满足题意的数学关系式(如函数关系式或方程或不等式). 建立数列模型时,应明确是否是等差数列模型,是求 an,还是 求 Sn,n 是多少. [变式训练] 11.有一种零存整取的储蓄项目,它是每月某日存入一笔相同金 额,这是零存,到一定时期到期,可以提出全部本金及利息,这是整 取,它的本利和公式如下:本利和=每期存入金额×

? 1 ? ?存期+ 存期×(存期+1)×利率?. 2 ? ?

(1)试解释这个本利和公式; (2)若每月初存入 100 元,月利率为 5.1‰,则到第 12 个月底的 本利和是多少? (3)若每月初存入一笔金额,月利率是 5.1‰,希望到第 12 个月 底取得本利和 2 000 元,那么每月初应存入多少钱? 解:(1)设每期存入金额为 A,每期利率为 p,存的期数为 n,则 1 各期利率之和为 Ap+2Ap+3Ap+…+nAp= n(n+1)Ap,连同本金 2
? 1 ? 1 可得本利和 nA+ n(n+1)Ap=A?n+2n(n+1)p?. 2 ? ?

(2) 当 A = 100 , p = 5.1 ‰ , n = 12 时 , 本 利 和 = 100 ×
? 1 ? ?12+ ×12×13×5.1‰?=1 239.78(元). 2 ? ?

(3) 将 (1) 中 公 式 变 形 , 得 2 000 1 12+ ×12×13×5.1‰ 2

A =

本利和 1 n+ n(n+1)p 2



≈161.32(元),

即每月初应存入 161.32 元. 二、与等差、等比数列有关的综合应用题 [典例 12] 某工厂三年的生产计划中,从第二年起,每一年比上 一年增长的产值都相同,三年的总产值为 300 万元,如果第一年、第 二年、第三年分别比原计划的年产值多 10 万元、10 万元、11 万元, 那么每一年比上一年的产值增长的百分数都相同, 求原计划中每年的 产值. 分析: 将实际问题转化为数列, 弄清哪部分为等差数列或等比数

列,结合等差、等比数列性质求解. 解:由题意得原计划三年中每年的产值组成等差数列,设为 a- d,a,a+d(d>0), 则有(a-d)+a+(a+d)=300, 解得 a=100. 又由题意得(a-d)+10,a+10,(a+d)+11 组成等比数列, 所以(a+10)2=[(a-d)+10][(a+d)+11]. 将 a=100 代入上式,得 1102=(110-d)(111+d), 所以 d2+d-110=0,解得 d=10,或 d=-11(舍). 所以原计划三年中每年的产值分别为 90 万元、100 万元、110 万元. 归纳拓展 读懂题意,将实际问题转化为等差或等比数列问题,找准首项, 公差(公比),弄清求什么.混合型应用题常有两种解法: 一是归纳法, 归纳出前 n 次(项),寻找规律,再写出前 n 次(项)的通项(前 n 项和), 此时要注意下标或指数的规律. 二是逆推法, 寻找前后两项的逆推关 系,再从逆推关系求 an,Sn,此时应注意第(n-1)次变到第 n 次的变 化过程. [变式训练] 12.某地房价从 2004 年的 1 000 元/m2 增加到十年后 2014 年的 5 000 元/m2,问平均每年增长百分之几?[注意:当 x∈(0,0.2)时, ln(x+1)≈x,取 lg 2=0.3,ln 10=2.3] 解:设年增长率为 x,则每年的房价依次排列组成首项为 1 000, 公比为(1+x)的等比数列. 由题意可得 1 000×(1+x)10=5 000,即(1+x)10=5.

取自然对数有 10ln(1+x)=ln 5=ln 10×lg 5=2.3×(1-lg 2)= 1.61, 再利用 ln(x+1)≈x,可得 x≈ 故每年约增长 16%. ln 5 ≈0.16=16%. 10


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