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3.2.2复数的乘法与除法


日照实验高中 2007 级数学导学案
3.2.2 复数的乘法 3.2.3 复数的除法 学习目标: 掌握复数的乘法和复数的除法的运算法则以及有关运算率。 学习重点、难点:复数中有关 i, (1- i) . (1+ i) .及 (
2 2

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? 1 ? 3i n 1 ? i ) , 1? i 2

/>
的运算。 自主学习 一、知识再现: 复数的加减法及其几何意义 二、.新课研究: (一)复数的乘法 1.乘法运算法则: 设 z1=a+bi , z2=c+di(a 、 b 、 c 、 d ∈R)是任意两个复数,那么它们的积 (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 2 其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把 i 换 成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2.乘法运算律: (1)交换律:z1z2= z2 z1, (2) 结合律:z1(z2z3)=(z1z2)z3 , (3) 乘法对加法的分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3。 练习 计算(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i) ; (2). (3+4i) (3-4i) 3.共轭复数: 当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭 复数 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 通常记复数 z 的共轭
王新敞
奎屯 新疆

复数为 z 。 4.共轭复数的性质 (1) z ? z ? z
2

? z

2

; z 2 ? z ; z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 .(此性质必须记牢并

??

2

会应用) (2)z ? R ? z= z 5.复数的乘方:对复数 z, z1, z2 和自然数 m,n 有 z m

? ?

z m ? z n ? z m? n ,
n

? z mn ,

?z1 ? z 2 ?n ? z1n ? z 2 n .
(二)复数的除法 1.z 的倒数:

1 z ( 证明见课本 p 95 页) 。 ? z z2

2.复数除法定义:满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数 x+yi(x,y∈R)叫复数

a+bi 除以复数 c+di 的商,记为:(a+bi) ? (c+di)或者 3.除法运算规则: z 1 = a+bi 则 ,

a ? bi c ? di

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z 2 = c+di

(a,b,c,d∈R )

z1 z1 ? z 2 (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ac ? bd bc ? ad ? ? 2 ? i =? c2 ? d 2 c ? d 2 c2 ? d 2 z2 z2 ? z2
37 28 19 90

例题讲解 例 1 计算: i , i , i , i 并总结规律(课本 P94 ).

例 2 计算 (1 ? i) 2 , (1 ? i) 2 , (1 ? i) 2008 , (1 ? i) 2009

例 3 已知:

??
3

? 1 ? 3i ,求证: (1) ? ? ? , 2
2

(2) ? ? 1 ,(3) 1 ? ? ? ? ? 0

例 4 计算 (1 ? 2i) ? (3 ? 4i)

王新敞
奎屯

新疆

解: (1 ? 2i) ? (3 ? 4i) ?

1 ? 2i 3 ? 4i
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?

(1 ? 2i)(3 ? 4i) 3 ? 8 ? 6i ? 4i ?5 ? 10i 1 2 ? ? ?? ? i 2 2 (3 ? 4i)(3 ? 4i) 3 ?4 25 5 5

例 5 计算

(1 ? 4i)(1 ? i ) ? 2 ? 4i 3 ? 4i

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新疆

解:

(1 ? 4i)(1 ? i ) ? 2 ? 4i 1 ? 4 ? 3i ? 2 ? 4i 7 ? i (7 ? i)(3 ? 4i) ? ? ? 3 ? 4i 3 ? 4i 32 ? 42 3 ? 4i
? 21 ? 4 ? 3i ? 28i 25 ? 25i ? ? 1 ? i. 25 25

1 z ?1 例 6 已知 z 是虚数,且 z+ 是实数,求证: 是纯虚数. z z ?1
证明:设 z=a+bi(a、b∈R 且 b≠0),于是

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z+

1 a ? bi a b 1 ?a? 2 ? (b ? 2 )i . =a+bi+ =a+bi+ 2 2 2 z a ?b a ?b a ? b2 a ? bi b 1 ∈R,∴b- 2 =0. z a ? b2
2 2

∵z+

∵b≠0,∴a +b =1. ∴

z ? 1 (a ? 1) ? bi [(a ? 1) ? bi][(a ? 1) ? bi] ? ? z ? 1 (a ? 1) ? bi (a ? 1) 2 ? b 2 ? a 2 ? 1 ? b 2 ? [(a ? 1)b ? (a ? 1)b]i 0 ? 2bi b ? ? i. 2 2 a ? b ? 2a ? 1 1 ? 2a ? 1 a ? 1
b i 是纯虚数 a ?1
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∵b≠0,a、b∈R,∴ 课堂巩固 1.设 z=3+i,则

1 等于 z
B.3-i C.

A.3+i 2.

a ? bi a ? bi ? 的值是 b ? ai b ? ai
B.i C.-i

3 1 i? 10 10

D.

3 1 ? i 10 10

A.0

D.1

3.已知 z1=2-i,z2=1+3i,则复数 A.1 4. 设 B.-1

i z2 ? 的虚部为 z1 5
D.-i (x ∈ R,y ∈ R), 则

C.i

x 3 y ? ? 1? i 2 ? i 1? i

x=___________,y=___________.

答案:1.D 2.A 3.A

4.

3 9 , - 5 5

归纳反思

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课后探究 1. 已知复数 z 满足

z ? z ? 2i ? z ? 8 ? 6i ,求复数 z.

2. 复数 z=a+bi,a,b∈R,且 b≠0,若 z ? 4bz 是实数,则有序实数对(a,b)可
2

以是

.(写出一个有序实数对即可)

3.设 z 的共轭复数是 z ,或 z+ z =4,z· z =8,则 (A)1 4.计算复数 (1 ? i ) ?
2

z 等于 D z
(D) ±i

(B)-i

(C)±1 ) C. 3i
4 ? 3i 的值是( z

2?i 等于 ( 1 ? 2i
B.2

A.0 5.

D. ? 3i ) C. 2 D. ?2

Z ?C ,若 z ? z ? 1 ? 2i 则

A.2i

B. ?2i

6.设 a,b ? R 且 b ? 0 ,若复数 (a ? bi) 是实数,则(
3


2 2

A. b ? 3a
2

2

B. a ? 3b
2

2

C. b ? 9a
2

2

D. a ? 9b .

7.若复数 z 满足 z ? i(2 ? z )

(i 是虚数单位),则 z=


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